Avanzado Densidad de energía gravitatoria

Existen fórmulas sencillas en el electromagnetismo que suministran el valor de las densidades espaciales de energía electrostática y magnetostática en función del valor de sus campos respectivos, me refiero a las archiconocidas:

$\rho_{e} = \displaystyle\frac{\epsilon_0 E^2}{2} \qquad\qquad\qquad\rho_{m} = \displaystyle\frac{B^2}{2 \mu_0}$

y quería saber si existe alguna fórmula similar para el campo gravitatorio, es decir si es posible interpretar la energía del campo gravitatorio (estático) como una distribución de densidad espacial de energía y cuya densidad pueda expresarse de forma similar a las anteriores en función del campo. Imagino que sí, pero he estado buscando algo al respecto en Internet y no he sido capaz de encontrarlo.

Salu2 y gracias. Jabato.

[Visitante]

Re: Densidad de energía gravitatoria

Lo único que he visto en cuánto a densidad en el campo gravitorio es que la densidad es proporcional al módulo del vector intensidad de campo.

[visitante20160513]

Re: Densidad de energía gravitatoria

Y donde viste eso si puede saberse

[Weip]

Re: Densidad de energía gravitatoria

Lo único que he visto en cuánto a densidad en el campo gravitorio es que la densidad es proporcional al módulo del vector intensidad de campo.

Supongo que Jabato se refiere a la densidad de energía gravitatoria en el contexto de la relatividad. En mecánica clásica se hace de forma análoga al campo eléctrico y magnético (energía entre volumen), pero la expresión no da demasiada información.

[visitante20160513]

Re: Densidad de energía gravitatoria

Bueno, la verdad es que al menos por ahora no me preocupa demasiado si la respuesta viene dada en el contexto de la mecánica clásica o de la relatividad. La forma en que se hace para la gravitación de Newton es efectivamente la misma que para el campo electrostático ya que las expresiones del campo son similares, aunque hay un asuntillo del que no estoy seguro. Para la gravitación la densidad de energía parece que debería ser negativa ya que las fuerzas siempre son atractivas, pero no ocurre lo mismo para el campo electrostático ya que la expresión siempre adopta un valor positivo incluso aunque se consideren distribuciones de carga positiva y negativa. La verdad es que ese resultado me desconcierta y no estoy seguro de saber interpretar correctamente una densidad de energía negativa. Por eso me decidí a plantear la pregunta aquí, para ver si era capaz de interpretar correctamente ese resultado, y por supuesto conocer la expresión resultante que por paralelismo con el campo electrostático creo que debería ser, si no me equivoco, algo parecido a esto:

$\rho_g=-\displaystyle\frac{g^2}{8\pi G}$········[$ML^{-1}T^{-2}$]

que tiene las dimensiones de una presión, tal como corresponde a una densidad de energía, aunque la salvedad es que la constante parece que debería ser en este caso negativa, lo cual realmente resulta sorprendente. En fin, solo trataba de poner algo de luz sobre este asunto y estuve buscando algo de información en Internet o en la bibliografía de que dispongo pero sin resultado. Un poco de ayuda me vendría bien, con Newton o con Einstein, de momento no me preocupa demasiado cual de los dos me ayude, han sido los dos grandes genios.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: Densidad de energía gravitatoria

Pues no debiera sorprendente, porque se interpreta de la misma forma que la energía potencial gravitatoria (que es negativa). Piensa que solo estás midiendo la energía por unidad de volumen, así que es lógico tener un signo negativo en la constante. Es posible que te refieras a que en el caso de los campos eléctrico y magnético, la densidad nunca puede ser negativa por los cuadrados. En el caso de la gravedad lo que pasa es que el signo aparece para que cuadren los cálculos, no por otra cosa. Bueno, tu mismo has llegado a la expresión (para el campo constante en toda la superfície de una esfera), así que de esto ya debes haberte dado cuenta.

PD: Para los que no sabemos Relatividad resulta curioso que el factor $8 \pi G$ aparezca también en las ecuaciones de Einstein. Bueno, igual es menos raro si consideramos las unidades. No sé, era por comentarlo.

[visitante20160513]

Re: Densidad de energía gravitatoria

Pues quizás para mi es menos significativo el hecho de que aparezca el factor $8\pi G$ al hecho de que la densidad de energía sea siempre negativa. Parece (mi intuición me lo dice, aunque no se bien decir porqué) que el hecho de que la densidad de energía en el campo gravitatorio sea siempre negativa y en los campos electrostático y magnético sea siempre positiva es un dato trascendente, relevante, derivado de la misma esencia del campo gravitatorio y que quizás admitiera una interpretación física más profunda, pero no se bien como dar esa interpretación.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: Densidad de energía gravitatoria

Pues quizás para mi es menos significativo el hecho de que aparezca el factor $8\pi G$ al hecho de que la densidad de energía sea siempre negativa. Parece (mi intuición me lo dice, aunque no se bien decir porqué) que el hecho de que la densidad de energía en el campo gravitatorio sea siempre negativa y en los campos electrostático y magnético sea siempre positiva es un dato trascendente, relevante, derivado de la misma esencia del campo gravitatorio y que quizás admitiera una interpretación física más profunda, pero no se bien como dar esa interpretación.

Salu2, Jabato.

Sí, bueno, lo de la constante era más tontería mía que otra cosa. Lo de la interpretación no lo sé, igual sí es cierto que tiene implicaciones más interesantes. Así que hasta aquí mi intervención, a ver si alguien nos puede iluminar.

[arivasm]

Re: Densidad de energía gravitatoria

Recordemos que la energía potencial gravitatoria es negativa sólo si se toma como 0 la situación en la que el sistema está completamente disgregado, es decir, con las partículas infinitamente alejadas unas de otras. En este sentido, lo único que muestra ese signo es el carácter atractivo de la interacción gravitatoria.

La comparación del caso que aborda Jabato, de una esfera, con el equivalente de una carga esférica está marcada por el diferente carácter (atractivo vs. repulsivo) de ambas interacciones: mientras que en el gravitatorio la esfera es más estable que sus partículas disgregadas, en el eléctrico sucede justamente al revés (y por eso, mientras que la esfera gravitatoria se mantiene unida por esta fuerza, en el caso de la carga es imprescindible la participación de otras fuerzas de cohesión)

[visitante20160513]

Re: Densidad de energía gravitatoria

Sí, bueno eso es bastante claro. Lo que a mi me extraña es que sea posible establecer campos eléctricos con distribuciones cualesquiera de carga eléctrica, positiva y negativa, y sin embargo el signo de la energía sea siempre positivo, y sin embargo los campos gravitatorios, que siempre son atractivos, conduzcan a energías negativas en todos los casos, parece que existe ahí algún tipo de asimetría extraña que no acabo de comprender. Es decir lo extraño no parece estar en el comportamiento del campo gravitatorio, sino que lo extraño parece estar en el comportamiento del campo eléctrico, ya que cualquiera que sea la distribución de carga eléctrica (positiva o negativa) la densidad de energía sea siempre positiva. Aunque no sé, quizás estoy viendo fantasmas donde no los hay.

Meditando un poco más sobre este asunto lo que parecen referir estas fórmulas es que la construcción de un sistema gravitatorio estático supone siempre una pérdida de energía, sin embargo la construcción de cualquier sistema electrostático o magnetostático supone siempre la ganancia de energía. Es decir los primeros evolucionan en el sentido de formarse desde la disgregación, pero los segundos tienden a disgregarse si se los deja libres. ¿Es correcta esta conclusión?

Salu2, Jabato.

[arivasm]

Re: Densidad de energía gravitatoria

...me extraña es que sea posible establecer campos eléctricos con distribuciones cualesquiera de carga eléctrica, positiva y negativa, y sin embargo el signo de la energía sea siempre positivo...

No sé si estoy equivocado, pero creo que, por ejemplo, en un sistema formado por una carga positiva y una negativa la energía puede ser negativa si el término de interacción entre ambas supera al de las propias cargas (supuestas éstas no puntuales -si lo son entonces es negativa directamente-).

De todos modos, sí es cierto que la densidad de energía asociada al campo es siempre positiva, con lo que no acabo de ver cómo ese enfoque puede dar respuesta de lo que acabo de señalar. De hecho, un sistema de cargas puntuales implicaría una energía total infinita si se recurre al enfoque de la energía almacenada en el campo (pues para una carga puntual la integral $\dst \int_0^a 4\pi r^2\frac{\epsilon_0 E^2}{2}\dd r$ diverge).

Respecto de lo último que expresas está claro que es correcto, pero sólo si no hay cargas de diferente signo.

Como ves, tampoco puedo decir que tenga demasiado claro el tema éste de la densidad de energía. A ver si alguien echa una mano y aclara la aparente incongruencia entre que un sistema con cargas de diferentes signos la energía pueda ser negativa, a pesar de que la densidad de energía en el campo siempre es positiva.

[visitante20160513]

Re: Densidad de energía gravitatoria

Creo que el truco esta en que la consideración de cargas puntuales no es un concepto físicamente correcto, son entes imaginarios de muy dudosa existencia. El hecho de que para ellos la energía tome valores no finitos es una prueba de ello. Es mas correcto utilizar distribuciones continuas de carga, y en esos casos siempre se llega a resultados congruentes, aunque cierto que la densidad de energía siempre toma valores positivos, la expresión que da dicha densidad en el caso de distribuciones continuas de carga no deja lugar a dudas. Dicha energía hace referencia al trabajo necesario para construir la distribución a partir de una posición disgregada de energía potencial nula. Esa es al menos mi interpretación. Lo curioso es que para el campo gravitatorio siempre se obtienen valores negativos, y también en este caso es muy improbable la existencia real de masa puntuales con lo que deben considerarse siempre distribuciones continuas de masa. La verdad es que no estoy seguro de si dichos valores (positivos y negativos) son peculiaridades de los modelos matemáticos o realmente son consecuencia directa de la distinta naturaleza de los campos respectivos. También es cierto que en el mundo físico no existen distribuciones de materia que solo contengan carga o masa, cualquier distribución real de materia tendrá en general ambas propiedades y es posible que la pérdida de energía de un tipo pueda compensar en parte la ganancia de energía del otro o incluso producirse incrementos de energía térmica, radiación, etc. Un punto de vista más realista parece que debe conducir a un problema muy complejo. En astrofísica se estudian sistemas que son ejemplo de lo que digo.

Salu2, Jabato.

[Weip]

Re: Densidad de energía gravitatoria

Creo que la pregunta no es porqué el signo de la densidad de energía gravitatoria es negativo, si no porqué el signo de la densidad de energía eléctrica y magnética es positivo. Me explico. Jabato, ya has visto la demostración, entonces si lo has hecho como conozco llega un momento en que has sustituido por el potencial en el exterior de una esfera maciza. El signo de ese potencial sale de que la gravedad es atractiva, así que ahí no hay misterio. Todo eso pasa porque el área no se te cancela, y en general la expresión no nos dice nada. Por eso hemos llegado al caso particular de la esfera. A pesar que las demostraciones son análogas, en el caso del campo eléctrico y el magnético eso no pasa porque el área y las distancias se te cancelan, y llegas a un número positivo siempre.

Esto tan sólo es una comparativa de la parte calculística. Por eso digo que igual la pregunta es porqué el signo de la densidad de energía eléctrica y magnética es positivo, para saber si hay una interpretación a parte del hecho calculístico para estos dos campos, puesto que el signo de la gravedad es natural, viene de que es atractiva. Pero aunque los otros dos campos puedan atraer dos cargas, la densidad sigue siendo positiva.

No sé si me he explicado bien.

[visitante20160513]

Re: Densidad de energía gravitatoria

Si, claro, esa es la asimetría a la que me refería. Pero no parece que exista una explicación salvo los pasos a los que se llega directamente con el cálculo, al menos a primera vista. Yo estoy bastante perdido, no acabo de ver la razón. Y la verdad que me intriga.

Salu2, Jabato.