2o ciclo Espacio/métrica de Minkowski vs Hilbert vs Riemann

[skan]

¿Dónde puedo ver un resumen/diagrama comparativo de Minkowski vs Hilbert vs Riemann y dónde se usa cada uno u otras alternativas (Lie, Banach...)?

Por ejemplo el de Hilbert se suele usar en algunas formulaciones de la mecánica cuántica, y el de Minkowski en relatividad general.
Supongo que la teoría cuántica de campos, la física de particulas, la teoría de cuerdas... usarán otras métricas o espacios.

[Weip]

Re: Espacio/métrica de Minkowski vs Hilbert vs Riemann

Hola. La verdad es que algunas de las estructuras por las que preguntas difícilmente son comparables y no es información que se pueda resumir en un esquema o en un diagrama comparativo. Cada una de ellas se usan en ramas de la Física y de las Matemáticas muy distintas entre sí. Si tienes preguntas más concretas las podemos responder pero tratar de hacer un resumen del espacio de Minkowski, los espacios de Hilbert, las variedades de Riemann, los grupos de Lie, los espacios de Banach más todo lo que metas en los puntos suspensivos y compararlos entre sí es como intentar resumir toda la Física y todas las Matemáticas que se conocen en un mensaje de foro.

[skan]

Re: Espacio/métrica de Minkowski vs Hilbert vs Riemann

Hola. La verdad es que algunas de las estructuras por las que preguntas difícilmente son comparables y no es información que se pueda resumir en un esquema o en un diagrama comparativo. Cada una de ellas se usan en ramas de la Física y de las Matemáticas muy distintas entre sí. Si tienes preguntas más concretas las podemos responder pero tratar de hacer un resumen del espacio de Minkowski, los espacios de Hilbert, las variedades de Riemann, los grupos de Lie, los espacios de Banach más todo lo que metas en los puntos suspensivos y compararlos entre sí es como intentar resumir toda la Física y todas las Matemáticas que se conocen en un mensaje de foro.

Un resumen muy resumido me vale.


Mira lo que son capaces de hacer los estadísticos. La camparativa de métricas y espacios no debe ser mucho más complicada.

[Jaime Rudas]

Re: Espacio/métrica de Minkowski vs Hilbert vs Riemann

Quizás te sirva este resumen.

[Weip]

Re: Espacio/métrica de Minkowski vs Hilbert vs Riemann

Un resumen muy resumido me vale.

No conozco esquemas sobre estos temas así que voy a intentar explicarlo un poco por encima. Yo soy estudiante, no soy experto, aún así espero decirlo todo bien.

El espacio de Minkowski es el espaciotiempo que se utiliza en Relatividad Especial y tiene como métrica $ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2$. La Relatividad General generaliza la Relatividad Especial considerando variedades de Lorentz que cumplen las ecuaciones de Einstein. En esta teoría se interpreta la curvatura del espaciotiempo como gravedad. Fíjate que tanto el espacio de Minkowski como el espaciotiempo de la Relatividad General poseen métricas que no son definidas positivas, así que en este contexto no son métricas en el sentido de Riemann. Aún así el teorema fundamental de la geometría de Riemann sigue siendo válido en variedades de este estilo así que por eso podemos hablar de la conexión de Levi-Civita, de las ecuaciones de las geodésicas y de la curvatura de forma totalmente análoga a como lo hacemos en las variedades de Riemann. Ya que Jaime Rudas te ha pasado un link de espacios métricos, déjame relacionarlo con el tema: Si tienes una variedad de Riemann entonces puedes definir la distancia entre dos puntos de la variedad como el ínfimo de la longitud de las curvas diferenciables que unen los dos puntos y así ver estas variedades como espacios métricos.

Por otro lado tienes los espacios de Hilbert, que generalizan en cierta forma la geometría euclídea. A pesar del nombre, no deben ser confundidos con el espacio físico. Estos espacios son los análogos cuánticos del espacio de fases y hasta lo que sé del tema los más habituales son $L^2$ y $\mathbb{C}^n$. Matemáticamente son espacios vectoriales con un producto interior y completo respecto la norma inducida. Así pues todo espacio de Hilbert es un espacio de Banach (este último solo exige que el espacio vectorial sea normado y completo). Estos dos tipos de espacios vectoriales son muy distintos a las variedades que hemos comentado en el anterior párrafo así que intentar compararlos no creo que sea provechoso.

Mira lo que son capaces de hacer los estadísticos. La camparativa de métricas y espacios no debe ser mucho más complicada.

Créeme, lo que has pedido en tu primer mensaje es muchísimo más complicado que ese esquema de estadística. Aunque si quieres restringirte solo a espacios métricos, lo hablamos.

Espero haberte ayudado con el resumen, no sé si era algo así lo que buscabas. Saludos.