Avanzado Simetrías de la matriz S con interacciones

[alshain]

Estaba echándole una ojeada al Weinberg "The Quantum Theory Of Fields, Volume 1", cuando me he dado de bruces con una afirmación que no entiendo y a primera vista me parece sorprendente.

Se trata del capítulo 3.3 sobre simetrías de la matriz S (en concreto las páginas 118 y 119). Primero argumenta sobre la invarianza de los estados correspondientes a campos libres frente al grupo de Poincaré, mostrando relaciones de conmutación de los generadores del grupo entre si y con el Hamiltoniano $H_0, P_0, J_0, K_0$ - siendo estos operadores el Hamiltoniano, el momento lineal, el momento angular y los Lorentz boosts.

Luego, nos dice que para la teoría con interacciones en general debemos conformarnos con encontrar estas simetrías para los estados iniciales en la matriz S ("in states") y los operadores correspondientes serán $H, P, J, K$ en general. Pues bien, en general, para la mayoría de las interacciones modelables, va a ocurrir que $H = H_0 + V$, $P = P_0$ y $J = J_0$. Estas condiciones, no obstante, fuerzan a que $K \neq K_0$ para poder satisfacer las relaciones de conmutación entre generadores del grupo de Poincaré y el nuevo Hamiltoniano.

Visto así lo primero que se me ocurre interpretar es que las transformaciones de Lorentz no pueden ser universales, puramente cinemáticas, e independientes de la interacciones. De ser así, pienso, debería poder encontrarse un generador de boosts independiente de la interacción. Evidentemente esta idea no es acorde con la relatividad especial. El caso es que no entiendo realmente qué hay detrás de ese $K \neq K_0$, no recuerdo haber visto ejemplos de esto y sus consecuencias. Por ejemplo, si tengo espinores libres con $K_0 = i \sigma / 2$ ¿Cómo cambia o puede cambiar $K$ al considerar interacciones?

Un saludo.

[alshain]

Re: Simetrías de la matriz S con interacciones

... pensando un poquito más sobre esto supongo que la cuestión está en que sólo se trata de representaciones diferentes de las mismas relaciones de conmutación - las del grupo de Poincaré y el Hamiltoniano. No obstante me parece extraño. Y sigo sin entender qué modificación hace falta en $K$ para poder describir interacciones.

[pod]

Re: Simetrías de la matriz S con interacciones

Uhm, hay algo que no entiendo... ahora no tengo ganas de coger el libro y buscar ese pasaje (que es $\mu$ tarde); pero si el hecho de añadir un término V al hamiltoniano te hace cambiar el generador de los boosts, ¿no significa que ese término no es invariable Lorentz? De serlo, conmutaría con K y problema resuelto.

Pero si añades un término que no es invariante Lorentz, ya no tienes por qué esperar que Poincaré sea una simetría de la teoría. Habría que buscar un generador diferente, para volver a tener una simetría.

Igual he dicho una tontería de las mías, pero es lo primero que se me ha ocurrido al leerte a estas horas

[alshain]

Re: Simetrías de la matriz S con interacciones

Voy a copiar las relaciones aquí porque no cuesta mucho y así creo que cualquiera que lea este hilo tendrá más claro el problema sin necesidad de recurrir al libro. El problema que plantea Weinberg es el siguiente. Las relaciones de conmutación para los generadores del grupo de Poincaré y el Hamiltoniano en caso de no considerar interacciones son:

$[J^i_0, J^j_0] = i \epsilon_{ijk}J^k_0$
$[J^i_0, K^j_0] = i \epsilon_{ijk}K^k_0$
$[K^i_0, K^j_0] = - i \epsilon_{ijk}J^k_0$
$[J^i_0, P^j_0] = i \epsilon_{ijk}P^k_0$
$[K^i_0, P^j_0] = - i H_0 \delta_{ij}$
$[J^i_0, H_0] = [P^i_0, H_0] = [P^i_0, P^j_0] = 0$
$[K^i_0, H_0] = - i P^i_0$

Si consideramos interacciones con un Hamiltoniano nuevo $H$ podemos escribir de forma general:

$[J^i, J^j] = i \epsilon_{ijk}J^k$
$[J^i, K^j] = i \epsilon_{ijk}K^k$
$[K^i, K^j] = - i \epsilon_{ijk}J^k$
$[J^i, P^j] = i \epsilon_{ijk}P^k$
$[K^i, P^j] = - i H \delta_{ij}$
$[J^i, H] = [P^i, H] = [P^i, P^j] = 0$
$[K^i, H] = - i P^i$

Weinberg argumenta que en casi todas las teorías razonables se puede tomar $H = H_0 + V$ mientras que se mantienen el momento y el momento angular $P = P_0$ y $J = J_0$. Veamos cómo quedan las relaciones de conmutación:

$[J^i_0, J^j_0] = i \epsilon_{ijk}J^k_0$
$[J^i_0, K^j] = i \epsilon_{ijk}K^k$
$[K^i, K^j] = - i \epsilon_{ijk}J^k_0$
$[J^i_0, P^j_0] = i \epsilon_{ijk}P^k_0$
$[K^i, P^j_0] = - i (H_0 + V) \delta_{ij}$
$[J^i_0, H_0 + V] = [P^i_0, H_0 + V] = [P^i_0, P^j_0] = 0$
$[K^i, H_0 + V] = - i P^i_0$

Pues bien, si ahora quisiésemos tomar $K = K_0$, obtendríamos:

$[K_0^i, P^j_0] = - i (H_0 + V) \delta_{ij}$

Lo cual no puede ser, porque de las relaciones sin interacción de arriba tenemos:

$[K^i_0, P^j_0] = - i H_0 \delta_{ij}$

De ahí que Weinberg diga que hace falta un $K = K_0 + W$. Luego procede a mostrar que un $K = K_0 + W$ con ciertas condiciones sobre $W$ cumple las relaciones de conmutación requeridas en el caso de interacción.

[carroza]

Re: Simetrías de la matriz S con interacciones

Hola.

Yo creia que H_0 conmutaba con J^i_0 en el grupo de poincaré:

$[H_0, J^i_0] =0$

[alshain]

Re: Simetrías de la matriz S con interacciones

Sí, se me había olvidado el = 0 en $[J^i_0, H_0] = [P^i_0, H_0] = [P^i_0, P^j_0] = 0$.

[carroza]

Re: Simetrías de la matriz S con interacciones

Hola.

El grupo de Poincaré tiene un operador invariante (un casimir) que es
$H_0^2 - \sum_i (P_0^i)^2$ (la masa al cuadrado).

Parecería que, para introducir una interacción, uno debería modificar tanto el Hamiltoniano como el operador momento.

$H=H_0 + V$
$P^i = P_0^i + A^i$

Entiendo que esto es, al fin y al cabo, lo que uno hace en teorías Gauge.

Parece que, si uno cambia $K^i$, se modificarían las propiedades del grupo de Lorenz generado por $K^i, J^i$

[alshain]

Re: Simetrías de la matriz S con interacciones

Pues lo que mencionas no me parece incorrecto. Esto aún recrudece más mi desconcierto con ese capítulo del libro porque ese parece un punto bastante básico. Weinberg menciona ahí:

In virtually all known field theories, the effect of interactions is to add an interaction term V to the Hamiltonian, while leaving the momentum and angular momentum unchanged... (The only known exceptions are theories with topologically twisted fields, such as those with magnetic monopoles, where the angular momentum of the states depends on the interaction.)

El capítulo se puede leer íntegro en google.books AQUÍ (páginas 116-121).

[Entro]

Re: Simetrías de la matriz S con interacciones

No se que ha pasado... no me ha dejado enviar y he perdido lo escrito y como estoy hecho polvo y paso de volver a escribirlo y además no era nada importante:

http://philsci-archive.pitt.edu/arch...oosts_.pdf.pdf

[alshain]

Re: Simetrías de la matriz S con interacciones

A ver si encuentro tiempo para leerlo y saco algo en claro.

Un saludo.