Avanzado Grados de libertad de la gravitación

[alshain]

La métrica del espacio-tiempo en el límite lineal de la relatividad general $h_{\mu \nu}$ se acopla a los campos que generan y sufren la interacción gravitatoria en una supuesta teoría cuántica del campo gravitatorio. La métrica es un tensor de 16 componentes. Al ser simétrico quedan 10, e imponiendo la conservación local de energía-momento (una ecuación por cada coordenada espacio-temporal) quedan 6 grados de libertad.

En la aproximación lineal de la relatividad general la métrica se puede separar en su parte escalar, vectorial y tensorial. De entre esos 6 grados de libertad mencionados sólo dos grados de libertad corresponden con el gravitón (parte tensorial) y sus polarizaciones, por lo que sigue habiendo cuatro grados de libertad físicos restantes que supongo van a corresponder con el potencial newtoniano (parte escalar) y el gravitomagnetismo (parte vectorial).

Quiero suponer que la existencia del gravitón como bosón portador implica la existencia del resto de los grados de libertad asumiendo que las ecuaciones de movimiento son las ecuaciones de Einstein. No entiendo si no que valga con decir que la gravitación queda descrita por medio de una teoría de una partícula de espín 2. Me gustaría saber cómo se procede para mostrar eso (sin detalles, sólo a grosso modo). Me parece chocante -aunque no me había percatado hasta ahora- que haya grados de libertad físicos del campo portador que no están codificados en la partícula portadora.

Un saludo.

[carroza]

Re: Grados de libertad de la gravitación

Hola.

Si te plantearas la misma pregunta con respecto al campo electromagnético
(Un tensor $F_{\mu \nu}$, una partícula portadora de masa cero con dos posibles polarizaciones), ¿Cómo sería la cuenta de los grados de libertad?

[alshain]

Re: Grados de libertad de la gravitación

En efecto, esa pregunta me la he hecho ya, pero en mi opinión difiere un poco del planteamiento que tú propones.

La analogía de lo que aquí es la métrica $h_{\mu \nu}$ es, creo yo, el potencial vector $A_{\mu}$. El tensor de Faraday $F_{\mu \nu}$ correspondería con el tensor de curvatura de Riemann $R_{\mu\nu\rho\sigma}$, si piensas en la analogía con teorías gauge donde el tensor de Faraday es algo así como una curvatura en su interpretación geométrica. Otra forma de verlo es pensar que el propagador del campo se obtiene diréctamente de $A_{\mu}$ en un caso y de $h_{\mu \nu}$ en el otro.

Bien, el caso es que tomando el potencial vector $A_{\mu}$ como análogo de la métrica $h_{\mu \nu}$, lo que tenemos son dos grados de libertad físicos y el resto son grados de libertad no físicos debidos a la covarianza y la invarianza de gauge del electromagnetismo. La situación es similar, pero con la diferencia esencial de que en $h_{\mu \nu}$ lo que hay son grados de libertad físicos adicionales además de los no físicos. Estos grados de libertad físicos no "se propagan" como lo hacen los del gravitón, pero están ahí. Supongo que son consecuencia de la existencia del gravitón cumpliendo las ecuaciones de Einstein, pero me parece chocante.

Un saludo.

[carroza]

Re: Grados de libertad de la gravitación

Hola.

Gravitacion no es mi especialidad, así que perdona si digo alguna chorrada, pero, ¿No es la gravitación también una teoría Gauge?

¿Qué ocurre si al tensor métrico, o a sus desviaciones, les sumamos una derivada de un cuadrivector arbitrario? ¿Se modificarían las ecuaciones de la gravitación?

$h_{\mu \nu}=h_{\mu \nu} + d_\mu A_\nu +d_\nu A_\mu$

No impondrían estas invariancias una restricción en el número de componentes físicamente independientes del tensor métrico?


He encontrado una referencia en internet que parece que trata algo similar.
Seguro que tú lo entiendes mejor que yo

http://hera.ugr.es/tesisugr/17115875.pdf

[alshain]

Re: Grados de libertad de la gravitación

La referencia esa creo que sobrepasa ampliamente en extensión y dificultad lo que yo puedo abordar y lo que quiero tratar aquí. En cualquier caso lo que escribes es cierto. La transformación que pones ahí es una consecuencia de asumir que la física es invariante frente a transformaciones de coordenadas del tipo:

$x^{\bar{\mu}} = x^{\mu} + A^{\mu}$

siendo $A^{\mu}$ un vector de componentes del mismo orden que $h_{\mu \nu}$ en el régimen lineal. Esta invarianza lleva a una ley de conservación que es ni más ni menos que la conservación local de energía-momento que mencioné en el primer post. En general en la relatividad general (no necesariamente en su régimen lineal) es la invarianza frente a difeomorfismos $x^{\bar{\mu}} = x^{\mu} + A^{\mu} d\lambda$ la que lleva a la ley de conservación local $\nabla_{\mu} T^{\mu \nu} = 0$. Detalles de esto por ejemplo aquí.

En defintiva, esta invarianza se come cuatro grados de libertad de los 10 de $h_{\mu \nu}$, dejando en 6 los grados de libertad físicos.

[alshain]

Re: Grados de libertad de la gravitación

Creo que intuyo dónde está el error en mi razonamiento. La condición $h_{\bar \mu \bar \nu}=h_{\mu \nu} + d_\mu A_\nu +d_\nu A_\mu$ es consecuencia de asumir que la física es invariante frente a transformaciones de coordenadas $x^{\bar{\mu}} = x^{\mu} + A^{\mu}$. Esto son cuatro grados de libertad que quedan eliminados. Exigir que la acción sea invariante frente a estas transformaciones lleva adicionalmente a la conservación local de energía y momento, que son otros cuatro grados de libertad eliminados. En definitiva, de los diez grados de libertad originarios en $h_{\mu \nu}$ quedan sólo dos que corresponden con los del gravitón.

[petruxx]

Re: Grados de libertad de la gravitación

No he podido seguir del todo tus razonamientos, mis conocimientos de relatividad general son recientes y muy primitivos. Disculpa si meto la pata, porque a mi tampoco me salen las cuentas. Del libro que estoy estudiando sale:

"las ecuaciones de Einstein forman un sistema de 10 ecuaciones diferenciales parciales...de segundo orden"

"las ecuaciones de Einstein tiene 10 componentes, pero la condicion $\nabla_{\mu} G^{\mu \nu}= 0$ impone 4 ligaduras (supongo conservacion de la energia) de modo que solo 6 ecuaciones son realmente independientes."

Segun esto, son seis las condiciones que tienen que salir de la resolucion de la ecuacion de Einstein, y por lo que indicas es en ellas donde debe de andar escondido el graviton.
La ligadura de conservacion de la energia, creo que (y esto lo dice alguien que no sabe) es la misma que la del cambio de sistema de coordenadas. Esto lo entiendo asi por lo del teorema de Noether: la invarianza frente a cambios infinitesimales de coordenadas es lo conserva lo que debe conservarse.

Perdona si ando metiendo la pata como siempre.

P.D. Gracias otra vez por la ayuda.

[alshain]

Re: Grados de libertad de la gravitación

Tu comentario es muy acertado. Habría que entender qué es realmente lo que dice tu libro en ese pasaje, porque si los grados de libertad no son dos sino seis, entonces estoy igual de confundido que antes porque mi explicación anterior no vale.

La ligadura de conservacion de la energia, creo que (y esto lo dice alguien que no sabe) es la misma que la del cambio de sistema de coordenadas. Esto lo entiendo asi por lo del teorema de Noether: la invarianza frente a cambios infinitesimales de coordenadas es lo conserva lo que debe conservarse.

Yo creo que no es la misma. Fíjate que la invarianza frente a ciertos cambios de coordenadas (difeomorfismos) es algo independiente de las ecuaciones de movimiento. Es algo impuesto sobre magnitudes físicas y medibles: estas deben ser independientes de las coordenadas elegidas. Por contra, la aplicación del teorema de Noether y el resultado de la conservación local de energía y momento es algo que ocurre para magnitudes que cumplen unas ecuaciones de movimiento determinadas, en concreto las ecuaciones de Einstein. Sólo si esas magnitudes físicas y medibles cumplen las ecuaciones de Einstein entonces cumplirán la conservación local de energía y momento.

En electromagnetismo creo que la situación es similar. La invarianza de gauge es una condición que resta un grado de libertad al potencial vector y con ello al fotón. La aplicación de esto sobre las ecuaciones de movimiento lleva a la conservación de la carga, una ley adicional y diferente a la anterior, la cual no obstante no resta ningún grado de libertad adicional al fotón (sin carga). Pero igual es que yo tampoco lo acabo de entender bien.

Un saludo.

[pod]

Re: Grados de libertad de la gravitación

Creo que intuyo dónde está el error en mi razonamiento. La condición $h_{\bar \mu \bar \nu}=h_{\mu \nu} + d_\mu A_\nu +d_\nu A_\mu$ es consecuencia de asumir que la física es invariante frente a transformaciones de coordenadas $x^{\bar{\mu}} = x^{\mu} + A^{\mu}$. Esto son cuatro grados de libertad que quedan eliminados. Exigir que la acción sea invariante frente a estas transformaciones lleva adicionalmente a la conservación local de energía y momento, que son otros cuatro grados de libertad eliminados. En definitiva, de los diez grados de libertad originarios en $h_{\mu \nu}$ quedan sólo dos que corresponden con los del gravitón.

Utilizar una vez la invariancia ante difeomorfismos no fija toda la libertad gauge, por que uno siempre puede elegir otra transformación más que sea harmónica de forma que no se pierda la primera condición. Al final, haciendo esto uno puede acabar pidiendo el conocido gauge de radiación (transverso y sin traza), que sólo tiene dos grados de libertad. Supongo que al final acabará siendo equivalente a lo que has dicho, pero no se verlo a bote pronto.

Aunque es más interesante hacer el recuento de grados de libertad en la teoría completa, no en la linealizada. Para ello, hay que analizar el "problema de Cauchy" completo. Puedes verlo, por ejemplo, al final del capítulo diez del Wald (p. 266 en mi edición), aunque no me acaba de gustar como lo hace. Supongo que Carrol lo hará mejor, pero me lo dejé en el despacho

[petruxx]

Re: Grados de libertad de la gravitación

Seguro que levas razon en esto. Los tensores y la geometria diferencial no es algo que se pueda comprenderse bien en una semana. Lo de los grados de libertad por mucho que yo me empeñe se me escapan totalmente. Se, si no lo he entendido mal, que quedan cuatro grados de libertad en la teoria, pero no se lo que esto significa realmente.

Por contra, la aplicación del teorema de Noether y el resultado de la conservación local de energía y momento es algo que ocurre para magnitudes que cumplen unas ecuaciones de movimiento determinadas, en concreto las ecuaciones de Einstein. Sólo si esas magnitudes físicas y medibles cumplen las ecuaciones de Einstein entonces cumplirán la conservación local de energía y momento.

La idea que tengo y parece deducirse de lo que dice el libro es que la conservacion de la energia es consecuencia de

$\nabla_ {\mu} G^{\mu \nu} = 0$

pero estoy muy verde para meterme a hablar en estos berengenales.

[alshain]

Re: Grados de libertad de la gravitación

La idea que tengo y parece deducirse de lo que dice el libro es que la conservacion de la energia es consecuencia de

$\nabla_ {\mu} G^{\mu \nu} = 0$

pero estoy muy verde para meterme a hablar en estos berengenales.

En efecto, son lo mismo ya que $G_{\mu \nu} = 8\pi G \, T_{\mu \nu}$.

[alshain]

Re: Grados de libertad de la gravitación

Utilizar una vez la invariancia ante difeomorfismos no fija toda la libertad gauge, por que uno siempre puede elegir otra transformación más que sea harmónica de forma que no se pierda la primera condición. Al final, haciendo esto uno puede acabar pidiendo el conocido gauge de radiación (transverso y sin traza), que sólo tiene dos grados de libertad. Supongo que al final acabará siendo equivalente a lo que has dicho, pero no se verlo a bote pronto.

Aunque es más interesante hacer el recuento de grados de libertad en la teoría completa, no en la linealizada. Para ello, hay que analizar el "problema de Cauchy" completo. Puedes verlo, por ejemplo, al final del capítulo diez del Wald (p. 266 en mi edición), aunque no me acaba de gustar como lo hace. Supongo que Carrol lo hará mejor, pero me lo dejé en el despacho

Me voy a mirar ese recuento en el Wald esta noche porque no las tengo todas conmigo. Lo que parece que está fuera de toda duda (ya que se menciona muy frecuentemente) es que es posible obtener la relatividad general (al menos en el límite linearizado) de una teoría de campos del gravitón con sus dos grados de libertad. Sigo sin tener del todo claro, sin embargo, si el resto de grados de libertad son todos no-físicos o si hay alguno físico (aunque no propague). La cita de Carroll en su libro online (http://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019, página 112) es bastante inquietante:

However, the Bianchi identity $\nabla^{\mu} G_{\mu \nu}$ represents four constraints on
the functions $R_{\mu \nu}$ , so there are only six truly independent equations in (4.52)[*]. In fact this is
appropriate, since if a metric is a solution to Einstein's equation in one coordinate system
$x^{\mu}$ it should also be a solution in any other coordinate system $x^{\mu \prime}$ . This means that there are
four unphysical degrees of freedom in $g_{\mu \nu}$ (represented by the four functions $x^{\mu \prime}(x^{\mu})$ ), and
we should expect that Einstein's equations only constrain the six coordinate-independent
degrees of freedom.

[*] Ecuaciones de Einstein.

Si los "six truly independent equations" son realmente grados de libertad físicos entonces lo que he escrito antes es incorrecto (que la invarianza de gauge y la conservación de energía-momento imponen respectivamente cuatro condiciones diferentes sobre la métrica, es decir, ocho en total, quedando sólo dos grados de libertad).

[alshain]

Re: Grados de libertad de la gravitación

Como bien indica pod, Wald resuelve la duda aclarando definitivamente que son 2 los grados de libertad de la gravitación en cada punto del espacio-tiempo. No obstante, el recuento que hace lo hace desde el punto de vista de la formulación 3+1 de la relatividad general y yo no veo cómo traducir eso a la formulación linearizada. Quizás sea lo mencionado sobre las transformaciones de gauge (4 condiciones) y la conservación energía-momento (otras 4), pero no lo tengo aún nada claro.

[pod]

Re: Grados de libertad de la gravitación

Como bien indica pod, Wald resuelve la duda aclarando definitivamente que son 2 los grados de libertad de la gravitación en cada punto del espacio-tiempo. No obstante, el recuento que hace lo hace desde el punto de vista de la formulación 3+1 de la relatividad general y yo no veo cómo traducir eso a la formulación linearizada. Quizás sea lo mencionado sobre las transformaciones de gauge (4 condiciones) y la conservación energía-momento (otras 4), pero no lo tengo aún nada claro.

La parte lineal también esta en el Wald, sección 4.4 (pág. 80 y anteriores en mi edición). Lo hace (como mis apuntes, sorpresa ) utilizando únicamente la invariancia ante difeomorfismos, pero dos veces: una para fijar

$$\partial^a \bar h_{ab} = 0 \ .$$

Pero esto se queda invariante ante otro difeomorfismo siempre que sea harmónico,

$$\Box^2 \epsilon^a = 0$$

, lo cual son cuatro condiciones más para fijar toda la libertad gauge. Lo necesario para completar el gauge de radiación.

Cuando vaya por el despacho miraré si el Carrol lo trae de forma más explicita.

[alshain]

Re: Grados de libertad de la gravitación

Ya veo, ahora creo que empiezo a entender lo que querías decir en tu post anterior.