El centro de masas de la lata de refresco.

[Cziffra]

Había una vez un físico que salió al campo, de excursión, con sus amigos. Como el calor apretaba, llevaban un buen surtido de latas de refresco. Caminando por una ladera, nuestro físico echó mano a una de las latas. Al cabo, necesitó quitarse la camiseta debido al calor. Para ello pensó dejar la lata momentáneamente en el suelo pero, como el piso estaba levemente inclinado, el físico dio unos sorbos para hacer que el centro de masas del refresco se situara más cerca de su base y no se volcara al apoyarlo en la pendiente.

Entonces pensó: "Es curioso. Cuando abro el refresco, su centro de masas está en el centro de la lata. Cuando doy unos sorbos, el centro de masas se sitúa más abajo pero, sin embargo, una vez que me lo he terminado, el centro de masas vuelve a estar en el centro de la lata. Por lo tanto, ha de haber un punto en el cual el centro de masas está lo más abajo posible. Me pregunto cuál será ese punto".

Tras unos segundos, halló la solución sin necesidad de hacer ningún cálculo.

¿Cuál es la solución y cómo se podría diseñar un experimento que lo probara sin necesidad de cálculos?

No me uséis Google, que os conozco.

[Barbol]

Lo del centro de gravedad es fácil, pero no veo cómo hacer ningún experimento que no se me joda por culpa de que lo de dentro es líquido y tiene la manía de moverse.... :m

Seguiré goog... er... pensando...

[Cziffra]

Hay maneras de hacer que un líquido deje de serlo.

[deneb]

Curiosa aplicación del teorema de Bolzano, al fin de al cabo la continuidad de la función centro de masa es lo que te permite deducir que hay un mínimo. Hallarlo es relativamente sencillo si se piensa un poco, como dijo Barbol y , en cuanto al procedimiento experimental, he de reconocer que la última pista de Cziffra me ha abierto un poco los ojos para ofrecer mi propuesta:
Supongamos que la lata tiene simetria cilíndrica y que está hecha de un material tal que a la temperatura de fusión del líquido contenido conserva su estado (xD).

a) Se le practica una línea a la lata en alguna de sus caras de forma que ésta siga la dirección del vector campo gravitatorio (la realización de esto es trivial si la lata es homogénea, primero se vacía y despues se hace una línea normal a la circunferencia de una de sus bases).
b) Se consigue, mediante algún procedimiento externo, una temperatura igual o inferior a la temperatura de fusión del refresco.
c) Se agujerea la lata por algún punto que no pase por la línea que hemos pintado antes, preferiblemente alejado de la misma, y se cuelga una plomada.
La plomada seguirá la dirección del vector g y la interseccion entre la linea que hemos pintado inicialmente y ésta será el punto del centro de gravedad. Si hacemos un agujero en la parte inferior y aplicamos poco a poco calor, se producirá un cambio de fase que hará que la masa de sólido vaya disminuyendo dentro de la lata. Entonces se observará como varía el punto de intersección entre las lineas, ergo se verá perfectamente como evoluciona la posicion del centro de masas de la lata.

[Cziffra]

La propuesta de catherine es meritoria.

Yo creo que se puede hacer más elegantemente sin plomada.

Por cierto, aún nadie ha dado la respuesta: ¿cuál es el punto mínimo que puede alcanzar el centro de masas?

Menos samba e maix treballar.

[deneb]

He encontrado una curiosa relación entre los mínimos del centro de masas en función de la coordenada z del líquido que se encuentra en su interior. El resultado es muy curioso sin embargo me falta todavia pensar por qué resultaría evidente a simple vista...y mas aun , qué significado físico tiene.

Ahi va una gráfica que explica lo que digo. Las azules modelizan el centro de masa en función de la altura del refresco y parametrizadas por un cierto parámetro a (que caracteriza los distintos líquidos. Es basicamente la densidad y se muestra que el mínimo del CM es mas bajo si la densidad del fluido es mayor), las blancas son sus respectivas derivadas y la rosa es la recta y=x. Se ha tomado la masa de la lata como 1 <u.m> y la longitud de la misma como L=2 <u.l>.

La recta y=x pasa por todos y cada uno de los mínimos de los centros de masa en cada fluido.

[pod]

deneb! pon la formula hombre!

Si no recuerdo mal, la posición del centro de masas era



donde a es el cociente de masas cuando la lata esta llena del todo (podria ponerse el cociente de densidades, pero quedaria feo ya que la masa de la lata no esta repartida en el volumen, sino en la superficie). Y la variable x es la fracción de la lata q contiene liquido (x=1 llena, x=0 vacía). Por último, h es la altura total de la lata.

Y la posición del minimo es



Puede q me haya equivocado pq lo he puesto de memoria

[Cziffra]

pod, la primera imagen no se ve.

Por otra parte, creo que la solución ofrecida por pod está bien, pero yo tampoco la recuerdo analíticamente.

Lo que sí recuerdo, y esperaba que alguien descubriera, es que, conforme vamos bebiendo, el centro de masas y la superficie del líquido bajan. Pero la superficie del líquido baja más deprisa que el centro de masas. Llega un momento en que lo alcanza. ESE es el punto en que el centro de masas alcanza su mínimo: cuando coincide con la superficie del líquido.

En otro momento pondré un experimento sencillo (y prácticamente mental) para demostrar esto.

Muac.

[pod]

pod, la primera imagen no se ve.

Vaya, nadie me dijo q el amo del calabozo ponia las imagenes solo temporalmente bueno, he editado y las he puesto en el imageshack

[deneb]

ESE es el punto en que el centro de masas alcanza su mínimo: cuando coincide con la superficie del líquido.

He ahi la razón de por qué comparé los mínimos con la recta y=x, de todas formas en ese momento me faltaba la razón fisica. La pensé mas tarde y es bastante lógica, el centro de masas tiene que comenzar a subir justo cuando la columna de refresco lo atraviesa, porque entonces hay masa de líquido por encima.

Curioso cuanto menos... xD
La fórmula que me salía creo recordar que era algo como (1+1/2*x^2)/(1+x) , tomando densidad del liquido igual a 1 y la longitud igual a 2, creo recordar. En cualquier caso la tendencia es idéntica que la función que puso pod.

Saludos.

[pod]

Bueno pues repitamos el cálculo. Si x es la fraccion (de 1 a 0) llena de liquido, h la altura total de la lata, m la masa de liquido cuando esta llena del todo y M la masa de la lata vacía; entonces la altura de líquido es x h y la masa de liquido es x m. Suponiendolo todo homogeneo, el centro de masas de la lata y el liquido estan, respectivamente, a h/2 y xh/2. Entonces, el centro de masas total es

z_cm = { M h/2 + (xm) (xh/2) } / ( M + xm )
= h/2 { M + m x^2 } / ( M + xm )
= h/2 ( 1 + a x^2 )/( 1 + a x )

donde a = m/M. Entonces, aunque pongas valores concrtos a las diferentes variables, no se como puedes sacar un coeficiente dierente para el termino con x^2.

[Barbol]

Bueno, no se contesta en un par de días y ya te destripan el hilo D

Mi experimento iba de congelar el líquido y luego lanzar la lata al aire girando, fijándose muy bien de qué punto de la lata hace un movimiento parabólico... ese será el centro de masas. Todos los demás harán... cicloides o algo así, círculos alrededor de la parábola esa.

[Barbol]

Y mando un rebote, como en los concursos de la tele... qué relación hay entre la masa del líquido y la masa de la lata cuando el centro de masas llega a su punto mínimo?

[pod]

el problema es que al congelar un liquido este cambia de densidad. En el caso del agua, congelada ocupara mas y esto hara subir su nivel en la lata...

[deneb]

A ver, te digo exactamente mi solución. Es la misma que la tuya pero la he puesto en función de la densidad del refresco para poder variar el fluido:

$Z_cm=\frac{1}{m_l+\rho\pi R^2 z_l}\cdot[m_l\frac{L}{2}+\frac{1}{2}\pi\rho R^2 L^2]$

de donde el mínimo es el que has puesto tú en función de las masas

$z_l^{min}=L[\sqrt{a^2+1}-a]$

He ahí la razón de la existencia de la familia paramétrica de funciones para el fluido; hubiérase podido tambien hacer una comparación con diferentes longitudes habiendo obtenido la misma posición de los máximos al ser esta independiente de L.
En cuanto a la pregunta de Barbol, se puede contestar diciendo que la relación será

$a=\frac{1-\lambda^2}{2\lambda}$, donde $\lambda=\frac{z_l^{min}}{L}$