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La respuesta del matemático aplicado sería:
La lata tiene mucha menos masa que la cocacola, así eps=m/M, siendo m la masa de la lata vacia y M la de la totalidad del líquido. Por tanto quedaría como:
z=1/2*(eps+x^2)/(eps+x)
Aqui dos posibilidades:
1.- como es fácil determinar la dz/dx, entonces tengo como ec. característica:
x^2+2.eps.x-eps=0 de donde x= -eps +- sqrt(eps^2+eps) como eps << 1, eps >> eps^2 y sqrt(eps)>> eps, de donde x = +- sqrt(eps) me interesa el valor positivo, luego
x = sqrt(eps) = sqrt(m/M) en primera aproximación.
2.- la otra mucho más elegante:
Si x = o(1), entonces h = 1/2*x
Si x = o(sqrt(eps)) para que x^2 = o(eps) (en el numerador),
h(y) = sqrt(eps)/2*(y + 1/y) con y = sqrt(eps)*x (y = o(1))
Si x = o(eps) para que x comparable a eps en denominador, con x = eps*z tengo
h(z) = 1/2*1/(1+z)
como x=o(1), y=o(1), y z=o(1), la primera expresión es o(1), la segunda o(sqrt(eps), y la tercera es o(1), y por tanto se puede ver que el mínimo estará en la segunda región.
Calculando ahí el mínimo, obteng y = 1, y por tanto xmin = sqrt(eps).
Además veo que forma tiene la solución en cada región.
La lata tiene mucha menos masa que la cocacola, así eps=m/M, siendo m la masa de la lata vacia y M la de la totalidad del líquido. Por tanto quedaría como:
z=1/2*(eps+x^2)/(eps+x)
Aqui dos posibilidades:
1.- como es fácil determinar la dz/dx, entonces tengo como ec. característica:
x^2+2.eps.x-eps=0 de donde x= -eps +- sqrt(eps^2+eps) como eps << 1, eps >> eps^2 y sqrt(eps)>> eps, de donde x = +- sqrt(eps) me interesa el valor positivo, luego
x = sqrt(eps) = sqrt(m/M) en primera aproximación.
2.- la otra mucho más elegante:
Si x = o(1), entonces h = 1/2*x
Si x = o(sqrt(eps)) para que x^2 = o(eps) (en el numerador),
h(y) = sqrt(eps)/2*(y + 1/y) con y = sqrt(eps)*x (y = o(1))
Si x = o(eps) para que x comparable a eps en denominador, con x = eps*z tengo
h(z) = 1/2*1/(1+z)
como x=o(1), y=o(1), y z=o(1), la primera expresión es o(1), la segunda o(sqrt(eps), y la tercera es o(1), y por tanto se puede ver que el mínimo estará en la segunda región.
Calculando ahí el mínimo, obteng y = 1, y por tanto xmin = sqrt(eps).
Además veo que forma tiene la solución en cada región.
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