1r ciclo Sistema de frenado

[Julián]

Un sistema de freno de tambor de un auto consiste (basicamente y en forma general) en un disco conectado a las ruedas, me refiero más en forma dinámica.
La acción de frenado es producida por el roce de las zapatas que es de un material que resiste bastante bien el calor por el rozamiento con el disco. Hay diferentes mecanismo pero al que me refiero es al que dichas zapatas son presionadas por el disco por un pistón hidráulico. Estoy obviando las cosas complejas como que una zapata presiona mas que otra por la inercia del auto, etc. es algo simple.


(C)es el pistón hidraulico (B,D)zapatas.



Como ven en este caso la fuerza del pistón hidráulico ($\vec{F}=\vec{P}(\pi{r}^{2 } )$ esta fuerza es en el sentido en que presiona la zapata contra el disco y es ejercida en el extremo superior de las zapatas. Supongo la la fuerza de fricción es producida por toda la zapata. entonces

${\vec{F} }_{total }= {\int }_{ A}(\vec{F}\times\vec{r} )d\theta + {\int }_{ B}(\vec{F}\times\vec{r} )d\theta$

ó

${\vec{F} }_{total }= \vec{F} ({\int }_{A }rd\theta )+ \vec{F} ({\int }_{B }rd\theta )$

[arivasm]

Re: Sistema de frenado

Entiendo que el problema que formulas es semejante al habitual deslizamiento de un cuerpo sobre un plano: la fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza normal entre las superficies aplicadas. En tu caso, la fuerza normal es $\pi r^2 P$, aunque en mi opinión será más adecuado tomarla en consideración en cada punto, es decir $P \dd S$. Para tener la fuerza de fricción necesitamos conocer el coeficiente de rozamiento dinámico (¿que pasaría si, por ejemplo, entre la zapata y el disco hubiese un lubricante? está claro que el resultado será diferente). Una vez que tengas la fuerza de rozamiento $\mu P \dd S$, lo que interesa es su momento, más aún, el momento resultante de módulo $\int \mu P r \dd S$, donde la integral debe extenderse a la región de presión de las zapatas, para poder incluirlo después en la aplicación del principio fundamental de la dinámica de rotación.

[Julián]

Re: Sistema de frenado

Gracias como siempre por responder.

Primero, ¿con $dS$ te refieres a diferencial de área o de longitud?

Para tener la fuerza de fricción necesitamos conocer el coeficiente de rozamiento dinámico (¿que pasaría si, por ejemplo, entre la zapata y el disco hubiese un lubricante? está claro que el resultado será diferente)

Obie la parte del coeficiente de rozamiento, porque no va en lo que es mi duda, lo que si capaz que estuvo mal fue no incluirlo en la fórmula.

Entonces: ${\vec{F} }_{rozamiento }=\int \mu\vec{P}dA$
Mi duda viene seguramente porque recién también estoy con análisis matemático, esa expresión ¿es igual a la sumatoria de $\mu(\vec{P}dA)$ de todos los puntos de la superficie de la zapata?, decir, supongamos que el pistón hidráulico produce una fuerza de rozamiento con el disco en cada punto de la zapata, la fuerza de rozamiento total(resultante) que se opondrá al movimiento del disco es la suma de todas las fuerzas de rozamiento de cada punto de la superficie de la zapata con el disco. Acá estoy también obiando el momento, sé que en realidad es un troque pero creo que me entienden que pregunto.
ó ¿esa fuerza que produce la presión del pistón hidráulico actúa en cada punto de la superficie de la zapata?, por lo que a esa fuerza se la multiplicaría por cada punto de la superficie de la zapata.

Entonces:
$\vec{\tau }= (\int\mu\vec{P}dA)\times R$
ó
$\vec{\tau } =( \mu\vec{P}\int dA )\times R$

[arivasm]

Re: Sistema de frenado

Llamé $\dd S$ al elemento de superficie del disco que, en un instante determinado, está siendo presionado por la zapata (que observo tú llamas $\dd A$, disculpa por el cambio de notación).

Veo que en tus expresiones estás poniéndole una flecha a la presión, como si fuese un vector, y no lo es (en todo caso lo sería la superficie).

Puesto que la fuerza de rozamiento y la normal que comprime no son colineales te recomiendo que no recurras a expresiones vectoriales para determinar la fuerza de rozamiento, sino simplemente de módulo (salvo que interpretes el coeficiente de rozamiento como si fuese una matriz, lo que no dejaría de ser una complicación innecesaria).

Por otra parte, como el efecto sobre el disco no lo causan las fuerzas de rozamiento (y hablo en plural porque conviene visualizarlo como una colección de fuerzas infinitesimales, cada una de ellas aplicada en un punto del disco), sino sus torques o momentos dinámicos, lo que debes calcular es $\vec \tau = \int \vec r \times \dd \vec F_{roz}$. Pero, como te decía antes, si queremos meter las fuerzas $\dd \vec F_{roz}$ en forma de vector tendríamos que liarnos con un coeficiente de rozamiento matricial. Es por ello que, insisto, es mucho mejor que calcules el módulo del torque resultante: $\tau = \int r \dd F_{roz}$ (pues $\vec r$ y $\vec \dd F_{roz}$ son perpendiculares y sus productos vectoriales tienen siempre la misma dirección -la del eje de giro-). En esta última expresión metemos los módulos de las fuerzas de rozamiento $\dd F_{roz} = \mu P \dd A$ y es así cómo resulta la integral que te indiqué anteriormente, $\tau = \int \mu P r \dd A$, que se extenderá a los puntos del disco que son presionados por la zapata. Por supuesto, si el coeficiente de rozamiento es el mismo en todos ellos, saldrá fuera de la integral, y lo mismo nos sucederá con la presión, de manera que $\tau = \mu P \int r \dd A$

[Julián]

Re: Sistema de frenado

Gracias arivasm, pero de tus post anterior tengo mas dudas que aclaraciones.

Veo que en tus expresiones estás poniéndole una flecha a la presión, como si fuese un vector, y no lo es (en todo caso lo sería la superficie)

Creía que la presión era una magnitud vectorial, pero veo que es definida como escalar, pero ¿por qué?, ya que tiene módulo y según mi punto de vista dirección y sentido.

Por otra parte, como el efecto sobre el disco no lo causan las fuerzas de rozamiento (y hablo en plural porque conviene visualizarlo como una colección de fuerzas infinitesimales, cada una de ellas aplicada en un punto del disco), sino sus torques o momentos dinámicos

Acá esta la respuesta a mi pregunta y efectivamente no es una sola fuerza de rozamiento sino una colección de fuerzas de rozamientos infinitesimales.
Pero luego pones como si el torque o momento de una fuerza no tienen nada pero nada que ver con la fuerzas que lo producen. Yo pienso que son las fuerzas de rozamiento la que producen el efecto de frenado, y dependiendo de la distancia de estas al centro de rotación será diferente el efecto, pero las que lo producen son las fuerzas de rozamiento.

saludos.

[arivasm]

Re: Sistema de frenado

Creía que la presión era una magnitud vectorial, pero veo que es definida como escalar, pero ¿por qué?, ya que tiene módulo y según mi punto de vista dirección y sentido.

Desde un punto de vista casi que puramente matemático, la clave está en el hecho de que las superficies son magnitudes vectoriales, pues además de tener un valor tienen orientación en el espacio. Es por ello que una superficie infinitesimal de área $\dd S$ viene representada por un vector $\dd \vec S$ perpendicular.

Si ahora combinamos ese hecho con que las fuerzas $\dd \vec N$ debidas a la presión que se ejercen sobre una superficie infinitesimal también son perpendiculares a ella (he usado la letra $N$ para resultar su carácter normal), se entiende bien que en realidad la definición de presión corresponde con el escalar que establece la proporcionalidad entre ambas magnitudes: $\dd \vec N = p \dd \vec S$.

Quizá la mejor manera de darle sentido físico a lo anterior sea en el interior de un fluido. Si cambiamos la orientación de la superficie también cambia la de la fuerza que el fluido ejerce sobre ella. Pero la presión seguirá siendo la misma.

Si me permites que ponga un ejemplo quizá demasiado simplificado, todas las partes de nuestra piel soportan una presión debida al aire de 1 atm. Si esta cantidad fuese un vector quizá el efecto fuese distinto dependiendo de la orientación de la parte de piel considerada. Desde luego, eso no se corresponde con la experiencia: la presión atmosférica sobre las palmas de las manos no varía lo más mínimo porque cambiemos su orientación.

...luego pones como si el torque o momento de una fuerza no tienen nada pero nada que ver con la fuerzas que lo producen. Yo pienso que son las fuerzas de rozamiento la que producen el efecto de frenado, y dependiendo de la distancia de estas al centro de rotación será diferente el efecto, pero las que lo producen son las fuerzas de rozamiento

Eso sólo puede significar que no he sabido explicarme bien, porque tienes toda la razón en lo que dices: el torque por supuesto que tiene que ver con la fuerza que lo produce.

Si te parece, detallaré un poco más lo que dije anteriormente.

Tomemos un elemento de superficie infinitesimal del disco, sobre el que actuará la presión de la parte correspondiente (también infinitesimal) de la zapata, de tamaño $\dd S$. Debido a la presión de esa pequeña parte de la zapata habrá una fuerza normal $\dd N$ de valor $\dd N = p \dd S$ (prescindo del aspecto vectorial porque ya hemos dicho hacia dónde actúa, sólo estoy considerando su módulo).

Si no hubiese rozamiento esa sería la única fuerza que el elemento de zapata ejerce sobre el disco. Por supuesto, también podríamos analizar su torque respecto del eje de giro, pero no estamos interesados en ello (no frenaría el giro, tendería a cambiar la dirección del giro o a deformar el disco).

Así pues, ahora nos centraremos en una segunda fuerza sobre el disco, aplicada en dicho elemento, y debida al rozamiento, de módulo $\dd F = \mu \dd N = \mu p \dd S$. Como necesitaremos calcular su torque, $\dd \vec \tau = \vec r \times \vec \dd F$, debemos tener bien presente su dirección y sentido: es opuesta a la velocidad del elemento de superficie. Quizá mejor recurrimos a un dibujo:

Como vemos, $\dd \vec F$ y $\vec r$ son perpendiculares entre sí, de manera que su producto vectorial $\dd \vec \tau$, además de tener el sentido dibujado, tendrá por módulo [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Para encontrar el torque total tenemos que sumar vectorialmente los $\dd \vec \tau$. Pero como todos ellos tienen la misma dirección y sentido lo tenemos realmente fácil: el resultado tendrá la misma dirección y sentido que el torque infinitesimal que he dibujado, y su módulo será la suma de los módulos.

Esto último es lo que podemos expresar así:

$\tau = \int \dd \tau$

(módulo del torque suma = suma de los módulos de los torques infinitesimales). El resto es simplemente hacer la integral:

$\tau = \int \dd \tau = \int r \mu p \dd S$

en la que posiblemente pueda suponer que la presión es la misma en los puntos en los que actúa la zapata y también el coeficiente de rozamiento, en cuyo caso será $\tau = \mu p \int r \dd S$

Saludos!

[Julián]

Re: Sistema de frenado

Gracias como siempre arivasm, 100% entendida y aclarada la duda.

saludos.