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Proyección estereográfica encontrar fórmula

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    Hola tengo dificultades con este ejercicio


    Sea la proyección estereográfica de , o sea





    donde





    Dar una fórmula explícita para


    Me sugerieron tomar la recta que pasa por y un punto en el eje real para ver donde intersecta el circulo pero no llego a nada


    De antemano gracias

  • #2
    Re: Proyección estereográfica encontrar fórmula

    Hola cristianoceli.

    Vamos a seguir la pista que te han dado. Primero de todo en este tipo de problemas hay que hacerse un dibujo. La proyección estereográfica de es el punto del eje real con lo que la inversa de la proyección estereográfica de es . Es decir, lo que te dicen es que sabiendo las coordenadas del polo norte y el punto , determines . Para hacer esto conviene usar coordenadas de : , y . Ahora aplicamos la pista: hay que encontrar la ecuación de la recta que pasa por y el punto para luego hacer la intersección con la circumferencia que nos dará como resultado. Para ello, tienes dos puntos, y , obtén un vector director de la recta y luego saca su ecuación (si quieres empieza por escribir la vectorial y ves operando hasta llegar a la implícita o si lo tienes más fresco escribe la ecuación implícita directamente). Finalmente toca hacer la intersección con la circumferencia, es decir, hay que resolver el sistema de ecuaciones:


    La segunda ecuación es la de la recta en forma implícita. Obtendrás dos soluciones: una de ellas es el polo norte y la otra es la que nos interesa, . Los cálculos te los dejo a ti pero si no salen o si no me he explicado del todo bien dílo y lo vemos en detalle.
    Última edición por Weip; 18/08/2018, 19:03:22.
    \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

    Comentario


    • #3
      Re: Proyección estereográfica encontrar fórmula

      Escrito por Weip Ver mensaje
      Hola cristianoceli.

      Vamos a seguir la pista que te han dado. Primero de todo en este tipo de problemas hay que hacerse un dibujo. La proyección estereográfica de es el punto del eje real con lo que la inversa de la proyección estereográfica de es . Es decir, lo que te dicen es que sabiendo las coordenadas del polo norte y el punto , determines . Para hacer esto conviene usar coordenadas de : , y . Ahora aplicamos la pista: hay que encontrar la ecuación de la recta que pasa por y el punto para luego hacer la intersección con la circumferencia que nos dará como resultado. Para ello, tienes dos puntos, y , obtén un vector director de la recta y luego saca su ecuación (si quieres empieza por escribir la vectorial y ves operando hasta llegar a la implícita o si lo tienes más fresco escribe la ecuación implícita directamente). Finalmente toca hacer la intersección con la circumferencia, es decir, hay que resolver el sistema de ecuaciones:


      La segunda ecuación es la de la recta en forma implícita. Obtendrás dos soluciones: una de ellas es el polo norte y la otra es la que nos interesa, . Los cálculos te los dejo a ti pero si no salen o si no me he explicado del todo bien dílo y lo vemos en detalle.

      Muchas gracias muy claro.

      Los puntos que obtuve fueron y el que nos interesa que es , . Entonces basicamente ¿esa seria la fórmula pedida ?.



      Saludos y muchas gracias

      Comentario


      • #4
        Re: Proyección estereográfica encontrar fórmula

        Escrito por cristianoceli Ver mensaje
        Muchas gracias muy claro.

        Los puntos que obtuve fueron y el que nos interesa que es , . Entonces basicamente ¿esa seria la fórmula pedida ?.



        Saludos y muchas gracias
        ¡Correcto! Al final lo que has obtenido es la inversa de la proyección estereográfica de forma explícita, es decir, tienes una aplicación dada por:



        De hecho puedes comprobar que esto es así pues calculando un poco tienes .

        Ahora ya has acabado el ejercicio pero si un día te aburres puedes ver que de forma análoga puedes obtener la inversa de la proyección estereográfica en el caso de y a partir de ahí puedes ver que las fórmulas que has obtenido se generalizan directamente al caso arbitrario de . No sé qué asignatura estás haciendo así que no diré nada pero te invito a que mires todas las aplicaciones de la proyección estereográfica, realmente tiene muchísimas y te las irás encontrando más adelante (si no te las has encontrado ya).
        \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

        Comentario


        • #5
          Re: Proyección estereográfica encontrar fórmula

          Escrito por Weip Ver mensaje
          ¡Correcto! Al final lo que has obtenido es la inversa de la proyección estereográfica de forma explícita, es decir, tienes una aplicación dada por:



          De hecho puedes comprobar que esto es así pues calculando un poco tienes .

          Ahora ya has acabado el ejercicio pero si un día te aburres puedes ver que de forma análoga puedes obtener la inversa de la proyección estereográfica en el caso de y a partir de ahí puedes ver que las fórmulas que has obtenido se generalizan directamente al caso arbitrario de . No sé qué asignatura estás haciendo así que no diré nada pero te invito a que mires todas las aplicaciones de la proyección estereográfica, realmente tiene muchísimas y te las irás encontrando más adelante (si no te las has encontrado ya).
          Muchas gracias Weip por lo de hoy y las veces que me has sacado de un apuro.
          Muy interesante este tema. Estoy haciendo un curso de tópicos básicos de geometria no euclideana.

          Saludos

          - - - Actualizado - - -

          Hola, he intentado hacer lo que me propusiste calcular la compuesta para llegar a la identidad pero no llego a nada.
          Podrias darme una mano en eso?

          Saludos

          Comentario


          • #6
            Re: Proyección estereográfica encontrar fórmula

            Escrito por cristianoceli Ver mensaje
            Hola, he intentado hacer lo que me propusiste calcular la compuesta para llegar a la identidad pero no llego a nada.
            Podrias darme una mano en eso?

            Saludos
            Para comprobar que y son inversas una de otra y así justificar la notación hemos de ver que , es decir:





            Para todo y para todo . La primera igualdad es rápida de demostrar:




            Lo que he usado han sido las definiciones de y . Sobre la otra igualdad se demuestra de la misma manera solo que en cierto momento tendrás que utilizar que para poder simplificar la expresión que te quedará. Esto te lo dejo a ti a ver si sale.

            ¡Saludos!

            PD: Por si acaso ha provocado confusión, lo de es un abuso de notación. Lo que tendría que escribir es y .
            Última edición por Weip; 20/08/2018, 15:17:38.
            \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

            Comentario


            • #7
              Re: Proyección estereográfica encontrar fórmula

              Escrito por Weip Ver mensaje
              Para comprobar que y son inversas una de otra y así justificar la notación hemos de ver que , es decir:





              Para todo y para todo . La primera igualdad es rápida de demostrar:




              Lo que he usado han sido las definiciones de y . Sobre la otra igualdad se demuestra de la misma manera solo que en cierto momento tendrás que utilizar que para poder simplificar la expresión que te quedará. Esto te lo dejo a ti a ver si sale.

              ¡Saludos!

              PD: Por si acaso ha provocado confusión, lo de es un abuso de notación. Lo que tendría que escribir es y .
              Muchisimas gracias.


              Saludos

              Comentario

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