Otras carreras Proyección estereográfica encontrar fórmula

[cristianoceli]

Hola tengo dificultades con este ejercicio


Sea $\varepsilon$ la proyección estereográfica de $\mathbb{S}^1- \{i \}$, o sea


$\varepsilon : \mathbb{S}^1 - \{i \} \longrightarrow{\mathbb{R}}$


donde


$\varepsilon(z)=\displaystyle\frac{RE(z)}{1-Im(z)}$


Dar una fórmula explícita para $\varepsilon^{-1} :\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{S}^1}- \{i \}$


Me sugerieron tomar la recta que pasa por $i$ y un punto en el eje real para ver donde intersecta el circulo pero no llego a nada


De antemano gracias

[Weip]

Re: Proyección estereográfica encontrar fórmula

Hola cristianoceli.

Vamos a seguir la pista que te han dado. Primero de todo en este tipo de problemas hay que hacerse un dibujo. La proyección estereográfica de $P$ es el punto $P'$ del eje real con lo que la inversa de la proyección estereográfica de $P'$es $P$. Es decir, lo que te dicen es que sabiendo las coordenadas del polo norte y el punto $P'$, determines $P$. Para hacer esto conviene usar coordenadas de $\mathbb{R}^2$: $i=(0, 1)$, $P'=(a, 0)$ y $P=(x, y)$. Ahora aplicamos la pista: hay que encontrar la ecuación de la recta que pasa por $i$ y el punto $P'$ para luego hacer la intersección con la circumferencia que nos dará $P$ como resultado. Para ello, tienes dos puntos, $i$ y $P'$, obtén un vector director de la recta y luego saca su ecuación (si quieres empieza por escribir la vectorial y ves operando hasta llegar a la implícita o si lo tienes más fresco escribe la ecuación implícita directamente). Finalmente toca hacer la intersección con la circumferencia, es decir, hay que resolver el sistema de ecuaciones:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

La segunda ecuación es la de la recta en forma implícita. Obtendrás dos soluciones: una de ellas es el polo norte y la otra es la que nos interesa, $P=(x, y)$. Los cálculos te los dejo a ti pero si no salen o si no me he explicado del todo bien dílo y lo vemos en detalle.

[cristianoceli]

Re: Proyección estereográfica encontrar fórmula

Hola cristianoceli.

Vamos a seguir la pista que te han dado. Primero de todo en este tipo de problemas hay que hacerse un dibujo. La proyección estereográfica de $P$ es el punto $P'$ del eje real con lo que la inversa de la proyección estereográfica de $P'$es $P$. Es decir, lo que te dicen es que sabiendo las coordenadas del polo norte y el punto $P'$, determines $P$. Para hacer esto conviene usar coordenadas de $\mathbb{R}^2$: $i=(0, 1)$, $P'=(a, 0)$ y $P=(x, y)$. Ahora aplicamos la pista: hay que encontrar la ecuación de la recta que pasa por $i$ y el punto $P'$ para luego hacer la intersección con la circumferencia que nos dará $P$ como resultado. Para ello, tienes dos puntos, $i$ y $P'$, obtén un vector director de la recta y luego saca su ecuación (si quieres empieza por escribir la vectorial y ves operando hasta llegar a la implícita o si lo tienes más fresco escribe la ecuación implícita directamente). Finalmente toca hacer la intersección con la circumferencia, es decir, hay que resolver el sistema de ecuaciones:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

La segunda ecuación es la de la recta en forma implícita. Obtendrás dos soluciones: una de ellas es el polo norte y la otra es la que nos interesa, $P=(x, y)$. Los cálculos te los dejo a ti pero si no salen o si no me he explicado del todo bien dílo y lo vemos en detalle.

Muchas gracias muy claro.

Los puntos que obtuve fueron $(0,1)$ y el que nos interesa que es $\displaystyle\frac{2a}{a^2+1}$ , $\displaystyle\frac{a^2-1}{a^2+1}$ . Entonces basicamente ¿esa seria la fórmula pedida ?.



Saludos y muchas gracias

[Weip]

Re: Proyección estereográfica encontrar fórmula

Muchas gracias muy claro.

Los puntos que obtuve fueron $(0,1)$ y el que nos interesa que es $\displaystyle\frac{2a}{a^2+1}$ , $\displaystyle\frac{a^2-1}{a^2+1}$ . Entonces basicamente ¿esa seria la fórmula pedida ?.



Saludos y muchas gracias

¡Correcto! Al final lo que has obtenido es la inversa de la proyección estereográfica de forma explícita, es decir, tienes una aplicación $\varepsilon^{-1}:\mathbb{R} \to \mathbb{S}^1-\left\{ i\right\}$ dada por:

$\varepsilon^{-1}(a)=\left( \displaystyle\frac{2a}{a^2+1}, \displaystyle\frac{a^2-1}{a^2+1}\right)$

De hecho puedes comprobar que esto es así pues calculando un poco tienes $\varepsilon^{-1}\circ \varepsilon=\varepsilon \circ \varepsilon^{-1}=\text{Id}$.

Ahora ya has acabado el ejercicio pero si un día te aburres puedes ver que de forma análoga puedes obtener la inversa de la proyección estereográfica en el caso de $\mathbb{S}^2$ y a partir de ahí puedes ver que las fórmulas que has obtenido se generalizan directamente al caso arbitrario de $\mathbb{S}^n$. No sé qué asignatura estás haciendo así que no diré nada pero te invito a que mires todas las aplicaciones de la proyección estereográfica, realmente tiene muchísimas y te las irás encontrando más adelante (si no te las has encontrado ya).

[cristianoceli]

Re: Proyección estereográfica encontrar fórmula

¡Correcto! Al final lo que has obtenido es la inversa de la proyección estereográfica de forma explícita, es decir, tienes una aplicación $\varepsilon^{-1}:\mathbb{R} \to \mathbb{S}^1-\left\{ i\right\}$ dada por:

$\varepsilon^{-1}(a)=\left( \displaystyle\frac{2a}{a^2+1}, \displaystyle\frac{a^2-1}{a^2+1}\right)$

De hecho puedes comprobar que esto es así pues calculando un poco tienes $\varepsilon^{-1}\circ \varepsilon=\varepsilon \circ \varepsilon^{-1}=\text{Id}$.

Ahora ya has acabado el ejercicio pero si un día te aburres puedes ver que de forma análoga puedes obtener la inversa de la proyección estereográfica en el caso de $\mathbb{S}^2$ y a partir de ahí puedes ver que las fórmulas que has obtenido se generalizan directamente al caso arbitrario de $\mathbb{S}^n$. No sé qué asignatura estás haciendo así que no diré nada pero te invito a que mires todas las aplicaciones de la proyección estereográfica, realmente tiene muchísimas y te las irás encontrando más adelante (si no te las has encontrado ya).

Muchas gracias Weip por lo de hoy y las veces que me has sacado de un apuro.
Muy interesante este tema. Estoy haciendo un curso de tópicos básicos de geometria no euclideana.

Saludos

- - - Actualizado - - -

Hola, he intentado hacer lo que me propusiste calcular la compuesta para llegar a la identidad pero no llego a nada.
Podrias darme una mano en eso?

Saludos

[Weip]

Re: Proyección estereográfica encontrar fórmula

Hola, he intentado hacer lo que me propusiste calcular la compuesta para llegar a la identidad pero no llego a nada.
Podrias darme una mano en eso?

Saludos

Para comprobar que $\varepsilon$ y $\varepsilon^{-1}$ son inversas una de otra y así justificar la notación $\varepsilon^{-1}$ hemos de ver que $\varepsilon \circ \varepsilon^{-1}=\varepsilon^{-1}\circ \varepsilon=\text{Id}$, es decir:

$\varepsilon\left(\varepsilon^{-1}\left( a\right)\right)=a$

$\varepsilon^{-1}\left(\varepsilon\left( x, y\right)\right)=\left( x, y \right)$

Para todo $a\in \mathbb{R}$ y para todo $\left( x, y\right)\in \mathbb{S}^1-\left\{ (0,1)\right\}$. La primera igualdad es rápida de demostrar:

$\varepsilon\left(\varepsilon^{-1}\left( a\right)\right)=\varepsilon\left( \displaystyle\frac{2a}{a^2+1}, \displaystyle\frac{a^2-1}{a^2+1}\right)=\dst\frac{\dst\frac{2a}{a^2+1}}{1-\dst\frac{a^2-1}{a^2+1}}=\dst\frac{\dst\frac{2a}{a^2+1}}{\dst\frac{a^2+1-a^2+1}{a^2+1}}=\dst\frac{2a}{2}=a$

Lo que he usado han sido las definiciones de $\varepsilon$ y $\varepsilon^{-1}$. Sobre la otra igualdad se demuestra de la misma manera solo que en cierto momento tendrás que utilizar que $x^2+y^2=1$ para poder simplificar la expresión que te quedará. Esto te lo dejo a ti a ver si sale.

¡Saludos!

PD: Por si acaso ha provocado confusión, lo de $\varepsilon \circ \varepsilon^{-1}=\varepsilon^{-1}\circ \varepsilon=\text{Id}$ es un abuso de notación. Lo que tendría que escribir es $\varepsilon \circ \varepsilon^{-1}=\text{Id}_{\mathbb{R}}$ y $\varepsilon^{-1}\circ \varepsilon=\text{Id}_{\mathbb{S}^1-\left\{ (0,1)\right\}}$.

[cristianoceli]

Re: Proyección estereográfica encontrar fórmula

Para comprobar que $\varepsilon$ y $\varepsilon^{-1}$ son inversas una de otra y así justificar la notación $\varepsilon^{-1}$ hemos de ver que $\varepsilon \circ \varepsilon^{-1}=\varepsilon^{-1}\circ \varepsilon=\text{Id}$, es decir:

$\varepsilon\left(\varepsilon^{-1}\left( a\right)\right)=a$

$\varepsilon^{-1}\left(\varepsilon\left( x, y\right)\right)=\left( x, y \right)$

Para todo $a\in \mathbb{R}$ y para todo $\left( x, y\right)\in \mathbb{S}^1-\left\{ (0,1)\right\}$. La primera igualdad es rápida de demostrar:

$\varepsilon\left(\varepsilon^{-1}\left( a\right)\right)=\varepsilon\left( \displaystyle\frac{2a}{a^2+1}, \displaystyle\frac{a^2-1}{a^2+1}\right)=\dst\frac{\dst\frac{2a}{a^2+1}}{1-\dst\frac{a^2-1}{a^2+1}}=\dst\frac{\dst\frac{2a}{a^2+1}}{\dst\frac{a^2+1-a^2+1}{a^2+1}}=\dst\frac{2a}{2}=a$

Lo que he usado han sido las definiciones de $\varepsilon$ y $\varepsilon^{-1}$. Sobre la otra igualdad se demuestra de la misma manera solo que en cierto momento tendrás que utilizar que $x^2+y^2=1$ para poder simplificar la expresión que te quedará. Esto te lo dejo a ti a ver si sale.

¡Saludos!

PD: Por si acaso ha provocado confusión, lo de $\varepsilon \circ \varepsilon^{-1}=\varepsilon^{-1}\circ \varepsilon=\text{Id}$ es un abuso de notación. Lo que tendría que escribir es $\varepsilon \circ \varepsilon^{-1}=\text{Id}_{\mathbb{R}}$ y $\varepsilon^{-1}\circ \varepsilon=\text{Id}_{\mathbb{S}^1-\left\{ (0,1)\right\}}$.

Muchisimas gracias.


Saludos