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Significado de derivada

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  • Divulgación Significado de derivada

    Buenas tardes.

    Hace poco descubrí, sin aprender, que hay ciertas funciones en variable compleja que tienen derivada y se llaman funciones holomorfas. Mi pregunta es que, siendo las funciones complejas del tipo " ", ¿Existen derivadas para las funciones del tipo con ? Y si existen, ¿Cuál es su interpretación?

    Gracias de antemano.

  • #2
    Re: Significado de derivada

    El una variable, una derivada se define como un límite. Para que exista, ha de existir derivada "por la izquierda" y "por la derecha", en tanto que han de existir dichos límites. Si quieres llevar la deriva de 1 variable a dimensiones superiores, nos aparece que no solo hay izquierda y derecha sino múltiples direcciones. Así, nos aparece el concepto de límite (y, por consiguiente, derivada) direccional. Bajo ciertas direcciones privilegiadas, a estas derivadas direccionales se le conocen como derivadas parciales, que seguro las conoces.
    Una manera de generalizar el concepto de derivada de más dimensión, para funciones es mediante la diferencial. La diferencial de , usualmente denotada , es una matriz de funciones, en la que cada término es la parcial de cada uno de los campos escalares, con respecto a cada variable. Por ejemplo, en la función que mencionas, se tiene que


    Interpretar geométricamente la diferencial no es sencillo. Viene a dar toda la información que te da una derivada de 1 variable, pero para funciones de varias. Te invito a que investigues un poco más sobre la diferencial y hagas dudas más concretas si surgieran.

    Saludos,
    Última edición por angel relativamente; 26/04/2019, 20:24:30.
    [TEX=null]k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2\pi}{\omega} \cdot \sqrt{-1} \cdot \dfrac{\dd x} {\dd t } \cdot \boxed{^{16}_8\text{X}}[/TEX]

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    • #3
      Re: Significado de derivada

      Muchas gracias por la respuesta, Ángel, ahora me pondré a investigar más.
      Última edición por AlexFeynman; 26/04/2019, 20:33:35.

      Comentario


      • #4
        Re: Significado de derivada

        Escrito por AlexFeynman Ver mensaje
        " "
        Una duda, ¿No te refieres a funciones de variable compleja de la forma "?
        Última edición por Malevolex; 26/04/2019, 21:02:41.
        "Es mejor preguntar y ser tonto por un día, que no preguntar y ser tonto por el resto de tu vida" Desayuno con partículas

        \dst\frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dt}  } \int F \dd t K log W

        Comentario


        • #5
          Re: Significado de derivada

          Escrito por AlexFeynman Ver mensaje
          Hace poco descubrí, sin aprender, que hay ciertas funciones en variable compleja que tienen derivada y se llaman funciones holomorfas. Mi pregunta es que, siendo las funciones complejas del tipo " ", ¿Existen derivadas para las funciones del tipo con ? Y si existen, ¿Cuál es su interpretación?
          Hay que tener en cuenta que una función compleja bajo las condiciones adecuadas la puedes derivar de dos maneras. Una es la que te ha explicado angelrelativamente que es la derivada en el sentido real, y la otra es el concepto que tiene verdadera importancia: la derivada en sentido complejo. En realidad, una función holomorfa es una función diferenciable en pero que, además, cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Esto es, si con entonces es holomorfa si y sólo si es diferencible en sentido real y además:




          Así pues el ser derivable en sentido complejo (ser holomorfa) es un concepto más restrictivo que ser diferenciable en . De hecho, lo es hasta el punto de que las funciones holomorfas son analíticas y viceversa. Por eso muchas veces se llama a las funciones holomorfas funciones analíticas directamente.

          Escrito por Malevolex Ver mensaje
          Una duda, ¿No te refieres a funciones de variable compleja de la forma "?
          Una función de variable compleja suele ser del tipo . Como lo que escribe AlexFeynman tiene lógica: .
          Última edición por Weip; 26/04/2019, 21:39:58.
          \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

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