Divulgación Significado de derivada

[AlexFeynman]

Buenas tardes.

Hace poco descubrí, sin aprender, que hay ciertas funciones en variable compleja que tienen derivada y se llaman funciones holomorfas. Mi pregunta es que, siendo las funciones complejas del tipo "$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ ", ¿Existen derivadas para las funciones del tipo $f(x,y) = (\phi(x,y),\psi(x,y))$ con $x,y \in \mathbb{R}$? Y si existen, ¿Cuál es su interpretación?

Gracias de antemano.

[angel relativamente]

Re: Significado de derivada

El una variable, una derivada se define como un límite. Para que exista, ha de existir derivada "por la izquierda" y "por la derecha", en tanto que han de existir dichos límites. Si quieres llevar la deriva de 1 variable a dimensiones superiores, nos aparece que no solo hay izquierda y derecha sino múltiples direcciones. Así, nos aparece el concepto de límite (y, por consiguiente, derivada) direccional. Bajo ciertas direcciones privilegiadas, a estas derivadas direccionales se le conocen como derivadas parciales, que seguro las conoces.
Una manera de generalizar el concepto de derivada de más dimensión, para funciones $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ es mediante la diferencial. La diferencial de $f$, usualmente denotada $Df$, es una matriz $m\times n$de funciones, en la que cada término es la parcial de cada uno de los campos escalares, con respecto a cada variable. Por ejemplo, en la función que mencionas, se tiene que

$$Df=\begin{pmatrix} \frac{\partial \phi }{\partial x} & \frac{\partial \phi }{\partial y} \\ \frac{\partial \psi }{\partial x} & \frac{\partial \psi }{\partial y}\end{pmatrix}$$

Interpretar geométricamente la diferencial no es sencillo. Viene a dar toda la información que te da una derivada de 1 variable, pero para funciones de varias. Te invito a que investigues un poco más sobre la diferencial y hagas dudas más concretas si surgieran.

Saludos,

[AlexFeynman]

Re: Significado de derivada

Muchas gracias por la respuesta, Ángel, ahora me pondré a investigar más.

[Visitante]

Re: Significado de derivada

"$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ "

Una duda, ¿No te refieres a funciones de variable compleja de la forma $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}^2$ "?

[Weip]

Re: Significado de derivada

Hace poco descubrí, sin aprender, que hay ciertas funciones en variable compleja que tienen derivada y se llaman funciones holomorfas. Mi pregunta es que, siendo las funciones complejas del tipo "$f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ ", ¿Existen derivadas para las funciones del tipo $f(x,y) = (\phi(x,y),\psi(x,y))$ con $x,y \in \mathbb{R}$? Y si existen, ¿Cuál es su interpretación?

Hay que tener en cuenta que una función compleja bajo las condiciones adecuadas la puedes derivar de dos maneras. Una es la que te ha explicado angelrelativamente que es la derivada en el sentido real, y la otra es el concepto que tiene verdadera importancia: la derivada en sentido complejo. En realidad, una función holomorfa es una función diferenciable en $\mathbb{R}^2$ pero que, además, cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Esto es, si $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=(u(x,y), v(x,y))$ con $z=x+iy$ entonces $f$ es holomorfa si y sólo si es diferencible en sentido real y además:

$\dst\frac{\partial u}{\partial x}=\dst\frac{\partial v}{\partial y}$

$\dst\frac{\partial u}{\partial y}=-\dst\frac{\partial v}{\partial x}$

Así pues el ser derivable en sentido complejo (ser holomorfa) es un concepto más restrictivo que ser diferenciable en $\mathbb{R}^2$. De hecho, lo es hasta el punto de que las funciones holomorfas son analíticas y viceversa. Por eso muchas veces se llama a las funciones holomorfas funciones analíticas directamente.

Una duda, ¿No te refieres a funciones de variable compleja de la forma $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}^2$ "?

Una función de variable compleja suele ser del tipo $f: U\subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$. Como $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ lo que escribe AlexFeynman tiene lógica: $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$.