1r ciclo Sumatorios de tensores y cálculo matricial.

[inakigarber]

Buenos dias;

Repasando sobre calculo tensorial me he encontrado con la siguiente expresión;
$\sum_{i=0}^{3}\sum_{r=0}^3\sum_{s=0}^{3}\sum_{j=0}^{3}x_i \lambda_{ir} g_{gr}\lambda_{sj} x_j$

Según el texto que estoy leyendo, esto se transformaría en la siguiente expresión;
$X^T \Lambda^T G \Lambda X$

Los elementos situados en mitad de la primera expresión $\lambda_{ir} g_{gr}\lambda_{sj}$ tienen dos subindices, por lo que son tensores de segundo orden (matrices 4x4 en este caso) , los elementos situados en el extremo de la expresión son cuatrivectores, creo que hasta ahora sin embargo, la duda que se me presenta es en estos dos, ambos aparecen expresados como vectores covariantes en la primera expresión, sin embargo en la segunda expresión el primero aparece transpuesto $X^T$. ¿No debieran aparecer por tanto uno como covariante $x_i$ y el otro como contravariante?

Saludos y gracias.

[Weip]

Quizás depende un poco del texto pero por lo general si los sumatorios se escriben explícitamente entonces la notación de Einstein se ha dejado de usar con lo que no hace falta poner índices arriba y abajo. Cuando veas sumatorios piensa en ellos como la notación de toda la vida, la que has usado hasta ahora cuando querías escribir un suma. En este caso es indiferente la posición de los índices. Nunca la has tenido en cuenta y ahora no es diferente. Y cuando no veas sumatorios y hayan índices arriba y abajo entonces sabrás que se está usando el convenio de sumación de Einstein.

Piensa que esto al final es una notación. Estrictamente es algo opcional. Lo que pasa es que en relatividad es la que se usa siempre, o al menos en las introducciones que se suelen leer. Pero perfectamente podrías hablar de vector covariantes y contravariantes sin escribir índices. El problema en ése caso es que hay que escribir algunos sumatorios si quieres trabajar con coordenadas y entonces las expresiones se vuelven super aparatosas. Míra por ejemplo lo que has escrito en tu mensaje. Queremos escribir una expresión bastante simple, es un producto sencillo entre matrices y vectores, pero a la hora de expresarlo en coordenadas se requieren ¡4 sumatorios! En expresiones más complejas esto se vuelve una locura. Es por éso que el convenio de sumación de Einstein está tan generalizado a la hora de trabajar con coordenadas.

[inakigarber]

A ver si lo he entendido bien;

En este caso $x_i$ representaría a los elementos de un vector fila de cuatro elementos, (i=1,2,3,4), $\lambda_{ir}$,$g_{gr}$ y

[FONT=Helvetica]$\lambda_{sj}$ representarían tres matrices de 4X4 elementos cada una y finalmente el elemento $x_j$ representaría un vector columna de cuatro elementos. La operación sería empezando de derecha a izquierda [/FONT][FONT=Helvetica]$\lambda_{sj} \cdot x_j$, lo cual nos daría un vector columna, después operar la matriz a su izquierda con este vector, lo cual nos dará otro vector columna y finalmente operar el vector fila con el vector columna resultante de las respectivas operaciones, lo cual nos dara un escalar.[/FONT]

[FONT=Helvetica]¿Es así?[/FONT]

[Weip]

A ver si lo he entendido bien;

En este caso $x_i$ representaría a los elementos de un vector fila de cuatro elementos, (i=1,2,3,4), $\lambda_{ir}$,$g_{gr}$ y

[FONT=Helvetica]$\lambda_{sj}$ representarían tres matrices de 4X4 elementos cada una y finalmente el elemento $x_j$ representaría un vector columna de cuatro elementos. La operación sería empezando de derecha a izquierda [/FONT][FONT=Helvetica]$\lambda_{sj} \cdot x_j$, lo cual nos daría un vector columna, después operar la matriz a su izquierda con este vector, lo cual nos dará otro vector columna y finalmente operar el vector fila con el vector columna resultante de las respectivas operaciones, lo cual nos dara un escalar.[/FONT]

[FONT=Helvetica]¿Es así?[/FONT]

Bueno, tal como lo has escrito en componentes el resultado de hacer $\lambda_{sj} \cdot x_j$ es un escalar así que da igual en qué orden hagas la operación. Si quieres interpretar la operación en forma de vectores y matrices entonces debes escribir $\Lambda x$, que es el producto entre una matriz de orden cuatro y un vector columna de cuatro componentes. El resultado es otro vector columna. Luego si realizas la operación $G \Lambda x$ obtienes otro vector columna, lo mismo para cuando hagas el producto $\Lambda^T G \Lambda x$. Finalmente al multiplica el vector fila $x^T$ por el vector columna $\Lambda^T G \Lambda x$ obtendrás $x^T\Lambda^T G \Lambda x$, que es un escalar.

En resumen, la idea que tienes es correcta, solo es una cuestión de escritura y lenguaje.

[inakigarber]

Bueno, tal como lo has escrito en componentes el resultado de hacer $\lambda_{sj} \cdot x_j$ es un escalar así que da igual en qué orden hagas la operación.

Me he equivocado al poner el producto punto, ya que este representa al "producto escalar de dos vectores" , pero creo que he entendido el fondo de la cuestión, ahora será cuestión de ir practicando y practicando.

[Weip]

Me he equivocado al poner el producto punto, ya que este representa al "producto escalar de dos vectores" , pero creo que he entendido el fondo de la cuestión, ahora será cuestión de ir practicando y practicando.

Decir que yo estaba interpretando el punto como una multiplicación. Pero bueno, es igual. Solo un comentario: Fíjate que en éste contexto si quieres hacer un producto escalar tienes que usar la métrica $g_{\mu\nu}$ así que mejor escríbela explícitamente y olvida el punto hasta que te hayas acostumbrado a la nueva notación.