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Matriz exponencial

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  • 1r ciclo Matriz exponencial

    Hola, tengo una duda sobre la matriz exponencial.
    Considerando la aplicación lineal sobre que toma la siguiente expresión matricial sobre la base canónica.
    Determinar la forma canónica de Jordan del endomorfismo .

    Primero intento diagonalizar la matriz obteniendo los autovalores y despues los autovectores.

    El polinomio característico es .

    Haciendo obtengo

    Como f no es diagonalizable.

    La forma canónica de Jordan de este endomorfismo es:

    Donde las coordenadas respecto a la canonica de la base escogida son:


    Si la matriz fuese diagonal la exponencial de la matriz es muy sencilla pero cual es la regla a seguir para hacer la exponencial de una matriz que se puede descomponer como una suma de una matriz diagonal y una nilpotente.

    ¿Cómo es la matriz exponecial de ?

    Creo que es la siguiente pero no estoy nada seguro


    Una vez obtenida la matriz exponencial como se obtiene la forma canonica de Jordan de .¿Es repitiendo el proceso pero con la matriz exponencial?
    Última edición por coka8991; 14/06/2018, 00:17:43.

  • #2
    Re: Matriz exponencial

    Escrito por coka8991 Ver mensaje
    Hola, tengo una duda sobre la matriz exponencial.

    ¿Cómo es la matriz exponecial de ?
    Esto lo sabemos "intuitivamente" los que no somos matemáticos. Se toma la matriz como si fuera una variable real y haya la serie de taylor correspondiente.




    Por métodos numéricos converge, me sale:



    He acortado los decimales, pero los coeficientes son iguales hasta 12 dígitos. Quiero decir





    y el resto de elementos son 0.

    Me intriga, ojalá supiera por qué pasa eso.

    Saludos.
    Última edición por Fortuna; 14/06/2018, 00:17:14.
    Cuanto más estudio, más sé lo que ignoro.

    Comentario


    • #3
      Re: Matriz exponencial

      Escrito por Fortuna Ver mensaje
      Esto lo sabemos "intuitivamente" los que no somos matemáticos. Se toma la matriz como si fuera una variable real y haya la serie de taylor correspondiente.

      Tu intuición coincide con lo que es la definición formal de Exponencial de una Matriz



      Ver Matrix exponential

      Saludos.
      Última edición por Alriga; 14/06/2018, 09:05:23.
      "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch! "

      Comentario


      • #4
        Re: Matriz exponencial

        Hola.

        En este caso las exponenciales de las matrics se pueden hacer de forma analítica. Fijasde que tenemos realmente dos matrices 2x2, desacopladas una de otra.

        Por un lado,

        Por otro lado, .

        A partir de aqui, se puede ver que
        , con lo que . De aqui se deduce que




        que da la expresión de Fortuna.

        Por otro lado, , y de ahi



        De aqui se tiene

        Saludos
        Última edición por carroza; 14/06/2018, 10:55:58.

        Comentario


        • #5
          Re: Matriz exponencial

          @carroza Eres un monstruo!. No conocía la ventajas de desacoplar las matrices.

          Este paso no lo entiendo, el segundo sumando.

          De


          A




          Vale, ya lo entiendo, pero no es nada trivial.






          Otra cosa, ¿se puede emplear el desarrollo de taylor para cualquier función con argumento matricial?. Imagino que la cosa viene de indicar que una matriz puede ser considerada como la matriz jacobiana de una función vectorial en un punto dado. Imagino que aplicando sucesivamente esa matriz se van obteniendo las matrices jacobianas de órdenes superiores que equivalen a las derivadas de orden superior de la función y de esa forma se "justifica" el desarrollo. Pero ¿que pasa con matrices no cuadradas? ¿Se puede hacer algo parecido?.

          Saludos.
          Cuanto más estudio, más sé lo que ignoro.

          Comentario


          • #6
            Re: Matriz exponencial

            Hola. Esto de las exponenciales de matrices se hace en mecánica cuántica, cuando tienes que calcular rotaciones. También en algunos casos, cuando expresas el operador de evolución en términos del hamiltoniano.

            La demostración del paso que pones no es dificil, si haces la derivada de la expansión de la exponencial:





            Y ahora sustituyes x=i.

            Escrito por Fortuna Ver mensaje
            Pero ¿que pasa con matrices no cuadradas? ¿Se puede hacer algo parecido?.
            Si las matrices no son cuadradas, no puedes calcular la matriz al cuadrado, al cubo, etc. No puedes hacer el desarrollo de Taylor.

            Saludos

            Comentario


            • #7
              Re: Matriz exponencial

              Escrito por Fortuna Ver mensaje
              Otra cosa, ¿se puede emplear el desarrollo de taylor para cualquier función con argumento matricial?
              Por el modo en que te expresas parece que estemos haciendo un desarrollo de Taylor y lo cierto es que la definición de la exponencial de una matriz se parece a uno, pero no lo es. Tu intuición casa con la definición formal como dice Alriga, pero el motivo no es porque Taylor funcione (en este punto ni siquiera se ha definido la función a la cual hacer el desarrollo), si no porque la serie que define la exponencial de una matriz converge absolutamente. Respondiendo a tu pregunta, en caso de querer generalizar otra función a argumentos matriciales podrías o no tener la convergencia absoluta de su serie análoga, si es lo segundo entonces podrías tener algún tipo de convergencia más débil y entonces usar o no esa función, dependiendo de cuáles sean tus necesidades y problema concretos.
              Última edición por Weip; 14/06/2018, 15:41:07.
              \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

              Comentario


              • #8
                Re: Matriz exponencial

                Gracias, mucho mas sencillo como lo has expuesto.

                Escrito por carroza Ver mensaje

                Si las matrices no son cuadradas, no puedes calcular la matriz al cuadrado, al cubo, etc. No puedes hacer el desarrollo de Taylor.

                Saludos
                Estaba pensando en multiplicar por la traspuesta y cosas así, pero claro, el resultado tiene dimensiones distintas, lo cual no parece muy útil.

                - - - Actualizado - - -

                Escrito por Weip Ver mensaje
                Por el modo en que te expresas parece que estemos haciendo un desarrollo de Taylor y lo cierto es que la definición de la exponencial de una matriz se parece a uno, pero no lo es. Tu intuición casa con la definición formal como dice Alriga, pero el motivo no es porque Taylor funcione (en este punto ni siquiera se ha definido la función a la cual hacer el desarrollo), si no porque la serie que define la exponencial de una matriz converge absolutamente. Respondiendo a tu pregunta, en caso de querer generalizar otra función a argumentos matriciales podrías o no tener la convergencia absoluta de su serie análoga, si es lo segundo entonces podrías tener algún tipo de convergencia más débil y entonces usar o no esa función, dependiendo de cuáles sean tus necesidades y problema concretos.
                El caso es que he ido probando con la exponencial, con el seno y coseno, y estas dos últimas verifican algunas relaciones trigonométricas básicas, y las del ángulo doble. Estas no precisan nada especial ya que están relacionadas con la exponencial con sumas. He probado con la serie de y efectivamente, si el determinante de la matriz no está próximo a 1 (pero con 2 también converge en este caso) la serie diverge. En física es muy normal utilizar matrices cuadradas con determinante 1, creo que hasta hay un nombre para ese conjunto. En ese caso, intuyo que las series con argumento matricial serían convergentes si la serie de taylor con el valor el determinante lo hacen. Pero la intuición suele fallar la mayoría de las veces. Bueno, para eso están los matemáticos y su forma rigurosa (pero muy difícil o imposible de seguir por los legos) de demostrar las cosas.

                Saludos.
                Cuanto más estudio, más sé lo que ignoro.

                Comentario


                • #9
                  Re: Matriz exponencial

                  Escrito por Fortuna Ver mensaje
                  En ese caso, intuyo que las series con argumento matricial serían convergentes si la serie de taylor con el valor el determinante lo hacen. Pero la intuición suele fallar la mayoría de las veces. Bueno, para eso están los matemáticos y su forma rigurosa (pero muy difícil o imposible de seguir por los legos) de demostrar las cosas.
                  Bueno, en realidad tendrás convergencia si la serie de normas converge. Es cierto que demostrar cosas de forma rigurosa es difícil, pero al final es la que permite estudiar los conceptos de la forma más clara y profunda posible.
                  Última edición por Weip; 14/06/2018, 17:12:48.
                  \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

                  Comentario


                  • #10
                    Re: Matriz exponencial

                    Hola! Bienvenido al foro.
                    Voy a dar un método alternativo al que te indica Carroza.
                    Escrito por coka8991 Ver mensaje
                    ¿Cómo es la matriz exponecial de ?

                    Creo que es la siguiente pero no estoy nada seguro


                    Una vez obtenida la matriz exponencial como se obtiene la forma canonica de Jordan de .¿Es repitiendo el proceso pero con la matriz exponencial?
                    La matriz exponencial se define:
                    Veamos tres propiedades útiles:
                    1) Si es diagonal, () entonces:
                    Es decir, la exponencial de una matriz diagonal, es la matriz de la exponencial de sus entradas.
                    Es fácil de demostrar: sólo hay que ver que .

                    2) Si , entonces:
                    Esto es fácil de ver también porque

                    3) Si , entonces .


                    Veamos como aplicar esto a tu ejercicio. Date cuenta que se cumple , con:
                    Luego por la segunda propiedad:
                    Así pues, nuestro cálculo queda reducido al cálculo de . Podemos descomponer la matriz: donde es la diagonal y es la matriz de 0's y el 1 de la 3ª fila 4ª columna. Resulta que (compruébalo). Luego:

                    Como es diagonal, se calcula por la propiedad 1. se calcula por fuerza bruta (la fórmula de la serie anterior), pero comprobando que , tenemos que . Luego:

                    Saludos

                    - - - Actualizado - - -

                    Escrito por Weip Ver mensaje
                    Bueno, en realidad tendrás convergencia si la serie de normas converge.
                    Convergencia absoluta

                    Saludos

                    - - - Actualizado - - -

                    Escrito por Fortuna Ver mensaje
                    Otra cosa, ¿se puede emplear el desarrollo de taylor para cualquier función con argumento matricial?
                    Por lo que he leído, es cierta tu observación: la exponencial de una matriz es un caso particular. Pero la teoría es muy complicada y se conoce como cálculo funcional: dada una álgebra sobre un cuerpo , y una función en el cuerpo o definida al menos sobre el espectro de un elemento del álgebra, uno quisiera construir una función en el álgebra con propiedades similares. El ejemplo trivial es la potenciación, otros ejemplos serían la exponenciación en el caso de matrices. Con muchas hipótesis sobre el álgebra, se puede llevar a cabo.
                    En el caso del logaritmo (real) de una matriz (): se puede definir por serie de potencias para matrices reales simétricas, pero el espectro (los autovalores) deben ser positivos, pues no existe el logaritmo (real) de 0 o un número negativo.

                    PD: Si tienes dudas se podría hacer otro hilo para no mezclar con el cálculo de la exponencial de este hilo. Pero aviso que de análisis funcional no tengo casi idea, ni siquiera de lo más básico...
                    Última edición por alexpglez; 14/06/2018, 18:24:07.
                    [TEX=null] \vdash_T G \leftrightarrow Consis \; \ulcorner T \urcorner [/TEX]

                    Comentario


                    • #11
                      Re: Matriz exponencial

                      Escrito por alexpglez Ver mensaje
                      No sé qué me quieres decir bien bien pero por si acaso comentar que en el fragmento que has citado para ti pone "en realidad tendrás convergencia absoluta si la serie de normas converge". Me he comido una palabra porque Fortuna usa este lenguaje y pues así yo creo que nos entendemos mejor, pero está claro que si he de hablar contigo entonces lo que he puesto entre comillas es lo correcto. Si no es esto, es que no he entendido tu mensaje.
                      \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

                      Comentario


                      • #12
                        Re: Matriz exponencial

                        He comprobado con un programa de cálculo simbólico que los cálculos anteriores son correctos, y obtengo:
                        Que es lo mismo que ya se había escrito:
                        Escrito por Fortuna Ver mensaje
                        Saludos

                        - - - Actualizado - - -

                        Escrito por Weip Ver mensaje
                        No sé qué me quieres decir bien bien pero por si acaso comentar que en el fragmento que has citado para ti pone "en realidad tendrás convergencia absoluta si la serie de normas converge". Me he comido una palabra porque Fortuna usa este lenguaje y pues así yo creo que nos entendemos mejor, pero está claro que si he de hablar contigo entonces lo que he puesto entre comillas es lo correcto. Si no es esto, es que no he entendido tu mensaje.
                        Quería indicar que era el criterio de la convergencia absoluta (y documentar el criterio): si una serie converge absolutamente ("con las normas"), entonces es convergente.

                        Saludos
                        Última edición por alexpglez; 14/06/2018, 18:19:53. Motivo: Visualizar mejor la matriz
                        [TEX=null] \vdash_T G \leftrightarrow Consis \; \ulcorner T \urcorner [/TEX]

                        Comentario

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