1r ciclo Matriz exponencial

[coka8991]

Hola, tengo una duda sobre la matriz exponencial.
Considerando la aplicación lineal sobre $\mathbb{C}^4$ que toma la siguiente expresión matricial sobre la base canónica.

$$A_c=\left( \begin{matrix}<br /> 2 & 0 & 1 & 0 \\<br /> 0 & i & 0 & -i \\<br /> 2 & 0 & 1 & 0\\<br /> 0 & 0 & 0 & i <br /> \end{matrix}\right)$$

$i)$ Determinar la forma canónica de Jordan del endomorfismo $exp(f)$.

Primero intento diagonalizar la matriz obteniendo los autovalores y despues los autovectores.

El polinomio característico es $p(\lambda)=\lambda(i-\lambda)^2(\lambda-3)$.

Haciendo $p(\lambda)=0$ obtengo $\lambda=3,0,i$

Como $Dim(Ker(A_c-i\mathbb{I}))=1$ f no es diagonalizable.

La forma canónica de Jordan de este endomorfismo es:

$$A_J=\left( \begin{matrix}<br /> 3 & 0 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & i & 1 \\<br /> 0 & 0 & 0 & i <br /> \end{matrix}\right)$$

Donde las coordenadas respecto a la canonica de la base escogida son:

$$B_J=\{\left( \begin{matrix}<br /> 1 \\<br /> 0 \\<br /> 1\\<br /> 0 <br /> \end{matrix}<br /> \right),\left( <br /> \begin{matrix}<br /> 1\\<br /> 0\\<br /> -2\\<br /> 0 <br /> \end{matrix}<br /> \right),\left( <br /> \begin{matrix}<br /> 0 \\<br /> 1 \\<br /> 0\\<br /> 0 <br /> \end{matrix}<br /> \right),\left( <br /> \begin{matrix}<br /> 0 \\<br /> 0 \\<br /> 0\\<br /> i <br /> \end{matrix}<br /> \right)\}<br />$$

Si la matriz fuese diagonal la exponencial de la matriz es muy sencilla pero cual es la regla a seguir para hacer la exponencial de una matriz que se puede descomponer como una suma de una matriz diagonal y una nilpotente.

¿Cómo es la matriz exponecial de $A_J$?

Creo que es la siguiente pero no estoy nada seguro

$$exp(A_J)=\left( \begin{matrix}<br /> e^3 & 0 & 0 & 0 \\<br /> 0 & e^0 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & e^i & e^i \\<br /> 0 & 0 & 0 & e^i <br /> \end{matrix}\right)$$

Una vez obtenida la matriz exponencial como se obtiene la forma canonica de Jordan de $exp(f)$.¿Es repitiendo el proceso pero con la matriz exponencial?

[Fortuna]

Re: Matriz exponencial

Hola, tengo una duda sobre la matriz exponencial.

¿Cómo es la matriz exponecial de $A_J$?

Esto lo sabemos "intuitivamente" los que no somos matemáticos. Se toma la matriz como si fuera una variable real y haya la serie de taylor correspondiente.


$e^{A}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}A^n$

Por métodos numéricos converge, me sale:

$B=e^{A}=$$\left(\begin{array}{cccc}13.72 & 0 & 6.36 & 0\\0 & 0.54+0.84\,i & 0.0 & 0.84-0.54\,i\\12.72 & 0 & 7.36 & 0\\0 & 0 & 0 & 0.54+0.84\,i\end{array}\right)$

He acortado los decimales, pero los coeficientes son iguales hasta 12 dígitos. Quiero decir

$B_{1,1}=B_{3,1}+1$
$B_{1,3}=B_{3,3}-1$
$B_{2,2}=B_{4,4}=B_{2,4}i$

y el resto de elementos son 0.

Me intriga, ojalá supiera por qué pasa eso.

Saludos.

[Alriga]

Re: Matriz exponencial

Esto lo sabemos "intuitivamente" los que no somos matemáticos. Se toma la matriz como si fuera una variable real y haya la serie de taylor correspondiente.

$e^{A}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}A^n$

Tu intuición coincide con lo que es la definición formal de Exponencial de una Matriz

$\dst e^A \equiv \sum_{n=0}^{\infty}\frac 1{n!}A^n$

Ver Matrix exponential

Saludos.

[carroza]

Re: Matriz exponencial

Hola.

En este caso las exponenciales de las matrics se pueden hacer de forma analítica. Fijasde que tenemos realmente dos matrices 2x2, desacopladas una de otra.

Por un lado, $E = \left( \begin{array}{cc}2 & 1 \\<br /> 2 & 1 \end{array} \right)$

Por otro lado, $F = \left( \begin{array}{cc}i & -i \\<br /> 0 & i \end{array} \right)$.

A partir de aqui, se puede ver que
$E^2 = 3 E$, con lo que $E^n = 3^{n-1} E$. De aqui se deduce que
$e^E = I + E + E^2/2 + E^3/6 + \dots = I + E( 1 + 3/2 + 3^2/6 + \dots) = I + E (e^3-1)/3$

$e^E = I + (e^3-1)/3\left( \begin{array}{cc}2 & 1 \\<br /> 2 & 1 \end{array} \right)$

que da la expresión de Fortuna.

Por otro lado, $F^2 = i^2 \left( \begin{array}{cc}1 & -2 \\<br /> 0 & 1 \end{array} \right)$, y de ahi

$F^n = i^n \left( \begin{array}{cc}1 & -n \\<br /> 0 & 1 \end{array} \right) = i^n I - n i^n \left( \begin{array}{cc}0 & 1 \\<br /> 0 & 0 \end{array} \right)$

De aqui se tiene $e^F = e^i I - i e^i \left( \begin{array}{cc}0 & 1 \\<br /> 0 & 0 \end{array} \right)$

Saludos

[Fortuna]

Re: Matriz exponencial

@carroza Eres un monstruo!. No conocía la ventajas de desacoplar las matrices.

Este paso no lo entiendo, el segundo sumando.

De
$F^n = i^n I - n i^n \left( \begin{array}{cc}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$

A

$e^F = e^i I - i e^i \left( \begin{array}{cc}0 & 1 \\0 & 0 \end{array} \right)$


Vale, ya lo entiendo, pero no es nada trivial.

$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{ni^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{i^{n}}{\left(n-1\right)!}=$
$\sum_{k=-1}^{\infty}\dfrac{i^{k+1}}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{i^{k+1}}{k!}+\dfrac{i^{0}}{(-1)!}=$
$=i\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{i^{k}}{k!}+\dfrac{i^{0}}{(-1)!}=ie^{i}+\dfrac{1}{\pm\infty}=ie^{i}$


Otra cosa, ¿se puede emplear el desarrollo de taylor para cualquier función con argumento matricial?. Imagino que la cosa viene de indicar que una matriz puede ser considerada como la matriz jacobiana de una función vectorial en un punto dado. Imagino que aplicando sucesivamente esa matriz se van obteniendo las matrices jacobianas de órdenes superiores que equivalen a las derivadas de orden superior de la función y de esa forma se "justifica" el desarrollo. Pero ¿que pasa con matrices no cuadradas? ¿Se puede hacer algo parecido?.

Saludos.

[carroza]

Re: Matriz exponencial

Hola. Esto de las exponenciales de matrices se hace en mecánica cuántica, cuando tienes que calcular rotaciones. También en algunos casos, cuando expresas el operador de evolución en términos del hamiltoniano.

La demostración del paso que pones no es dificil, si haces la derivada de la expansión de la exponencial:

$e^x = \sum_{n=0}^\infty x^n/n!$

${d \over dx} e^x = e^x = \sum_{n=0}^\infty n x^{n-1}/n!$

Y ahora sustituyes x=i.

Pero ¿que pasa con matrices no cuadradas? ¿Se puede hacer algo parecido?.

Si las matrices no son cuadradas, no puedes calcular la matriz al cuadrado, al cubo, etc. No puedes hacer el desarrollo de Taylor.

Saludos

[Weip]

Re: Matriz exponencial

Otra cosa, ¿se puede emplear el desarrollo de taylor para cualquier función con argumento matricial?

Por el modo en que te expresas parece que estemos haciendo un desarrollo de Taylor y lo cierto es que la definición de la exponencial de una matriz se parece a uno, pero no lo es. Tu intuición casa con la definición formal como dice Alriga, pero el motivo no es porque Taylor funcione (en este punto ni siquiera se ha definido la función a la cual hacer el desarrollo), si no porque la serie que define la exponencial de una matriz converge absolutamente. Respondiendo a tu pregunta, en caso de querer generalizar otra función a argumentos matriciales podrías o no tener la convergencia absoluta de su serie análoga, si es lo segundo entonces podrías tener algún tipo de convergencia más débil y entonces usar o no esa función, dependiendo de cuáles sean tus necesidades y problema concretos.

[Fortuna]

Re: Matriz exponencial

Gracias, mucho mas sencillo como lo has expuesto.

Si las matrices no son cuadradas, no puedes calcular la matriz al cuadrado, al cubo, etc. No puedes hacer el desarrollo de Taylor.

Saludos

Estaba pensando en multiplicar por la traspuesta y cosas así, pero claro, el resultado tiene dimensiones distintas, lo cual no parece muy útil.

- - - Actualizado - - -

Por el modo en que te expresas parece que estemos haciendo un desarrollo de Taylor y lo cierto es que la definición de la exponencial de una matriz se parece a uno, pero no lo es. Tu intuición casa con la definición formal como dice Alriga, pero el motivo no es porque Taylor funcione (en este punto ni siquiera se ha definido la función a la cual hacer el desarrollo), si no porque la serie que define la exponencial de una matriz converge absolutamente. Respondiendo a tu pregunta, en caso de querer generalizar otra función a argumentos matriciales podrías o no tener la convergencia absoluta de su serie análoga, si es lo segundo entonces podrías tener algún tipo de convergencia más débil y entonces usar o no esa función, dependiendo de cuáles sean tus necesidades y problema concretos.

El caso es que he ido probando con la exponencial, con el seno y coseno, y estas dos últimas verifican algunas relaciones trigonométricas básicas, $\sin(A)^2+\cos(A)^2=I$ y las del ángulo doble. Estas no precisan nada especial ya que están relacionadas con la exponencial con sumas. He probado con la serie de $\ln(1+A)$ y efectivamente, si el determinante de la matriz no está próximo a 1 (pero con 2 también converge en este caso) la serie diverge. En física es muy normal utilizar matrices cuadradas con determinante 1, creo que hasta hay un nombre para ese conjunto. En ese caso, intuyo que las series con argumento matricial serían convergentes si la serie de taylor con el valor el determinante lo hacen. Pero la intuición suele fallar la mayoría de las veces. Bueno, para eso están los matemáticos y su forma rigurosa (pero muy difícil o imposible de seguir por los legos) de demostrar las cosas.

Saludos.

[Weip]

Re: Matriz exponencial

En ese caso, intuyo que las series con argumento matricial serían convergentes si la serie de taylor con el valor el determinante lo hacen. Pero la intuición suele fallar la mayoría de las veces. Bueno, para eso están los matemáticos y su forma rigurosa (pero muy difícil o imposible de seguir por los legos) de demostrar las cosas.

Bueno, en realidad tendrás convergencia si la serie de normas converge. Es cierto que demostrar cosas de forma rigurosa es difícil, pero al final es la que permite estudiar los conceptos de la forma más clara y profunda posible.

[alexpglez]

Re: Matriz exponencial

Hola! Bienvenido al foro.
Voy a dar un método alternativo al que te indica Carroza.

¿Cómo es la matriz exponecial de $A_J$?

Creo que es la siguiente pero no estoy nada seguro

$$exp(A_J)=\left( \begin{matrix}<br /> e^3 & 0 & 0 & 0 \\<br /> 0 & e^0 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & e^i & e^i \\<br /> 0 & 0 & 0 & e^i <br /> \end{matrix}\right)$$

Una vez obtenida la matriz exponencial como se obtiene la forma canonica de Jordan de $exp(f)$.¿Es repitiendo el proceso pero con la matriz exponencial?

La matriz exponencial se define:

$$e^A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!}$$

Veamos tres propiedades útiles:
1) Si $A$ es diagonal, ($i\not=j \; \longrightarrow a_{ij}=0$) entonces:

$$(e^A)_{i,j}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a_{i,j})^n}{n!}=e^{(a_{ij})}$$

Es decir, la exponencial de una matriz diagonal, es la matriz de la exponencial de sus entradas.
Es fácil de demostrar: sólo hay que ver que $(A^n)_{ij}=(a_{ij})^n$.

2) Si $A=BJB^{-1}$, entonces:

$$e^A=B e^J B^{-1}$$

Esto es fácil de ver también porque $A^n=B J^n B^{-1}$

3) Si $AB=BA$, entonces $e^{A+B}=e^A e^B$.


Veamos como aplicar esto a tu ejercicio. Date cuenta que se cumple $A_c=B_J A_J B_J^{-1}$, con:

$$<br /> B_J=<br /> \begin{pmatrix}<br /> 1 & 1 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 1 & 0 \\<br /> 1 & -2 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 0 & i<br /> \end{pmatrix}<br />$$

Luego por la segunda propiedad:

$$e^{A_c}=B_J e^{A_J} B_J^{-1}$$

Así pues, nuestro cálculo queda reducido al cálculo de $e^{A_J}$. Podemos descomponer la matriz: $A_J=M+N$ donde $M$ es la diagonal y $N$ es la matriz de 0's y el 1 de la 3ª fila 4ª columna. Resulta que $MN=NM$ (compruébalo). Luego:
$e^{A_J}=e^M e^N$
Como $M$ es diagonal, $e^M$ se calcula por la propiedad 1. $e^N$ se calcula por fuerza bruta (la fórmula de la serie anterior), pero comprobando que $N^2=0$, tenemos que $e^N=I+N$. Luego:

$$e^{A_J}=e^M e^N =<br /> \begin{pmatrix}<br /> e^3 & 0 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 1 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & e^i & 0 \\<br /> 0 & 0 & 0 & e^i <br /> \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix}<br /> 1 & 0 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 1 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & 1 & 1 \\<br /> 0 & 0 & 0 & 1 <br /> \end{pmatrix}<br /> =\begin{pmatrix}<br /> e^3 & 0 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 1 & 0 & 0 \\<br /> 0 & 0 & e^i & e^i \\<br /> 0 & 0 & 0 & e^i <br /> \end{pmatrix}<br />$$

Saludos

- - - Actualizado - - -

Bueno, en realidad tendrás convergencia si la serie de normas converge.

Convergencia absoluta

Saludos

- - - Actualizado - - -

Otra cosa, ¿se puede emplear el desarrollo de taylor para cualquier función con argumento matricial?

Por lo que he leído, es cierta tu observación: la exponencial de una matriz es un caso particular. Pero la teoría es muy complicada y se conoce como cálculo funcional: dada una álgebra $A$ sobre un cuerpo $\mathbb K$, y una función en el cuerpo $f:\mathbb K \longrightarrow \mathbb K$ o definida al menos sobre el espectro de un elemento $x$ del álgebra, uno quisiera construir una función en el álgebra $f(x)$ con propiedades similares. El ejemplo trivial es la potenciación, otros ejemplos serían la exponenciación en el caso de matrices. Con muchas hipótesis sobre el álgebra, se puede llevar a cabo.
En el caso del logaritmo (real) de una matriz ($log(A)$): se puede definir por serie de potencias para matrices reales simétricas, pero el espectro (los autovalores) deben ser positivos, pues no existe el logaritmo (real) de 0 o un número negativo.

PD: Si tienes dudas se podría hacer otro hilo para no mezclar con el cálculo de la exponencial de este hilo. Pero aviso que de análisis funcional no tengo casi idea, ni siquiera de lo más básico...

[Weip]

Re: Matriz exponencial

Convergencia absoluta

Saludos

No sé qué me quieres decir bien bien pero por si acaso comentar que en el fragmento que has citado para ti pone "en realidad tendrás convergencia absoluta si la serie de normas converge". Me he comido una palabra porque Fortuna usa este lenguaje y pues así yo creo que nos entendemos mejor, pero está claro que si he de hablar contigo entonces lo que he puesto entre comillas es lo correcto. Si no es esto, es que no he entendido tu mensaje.

[alexpglez]

Re: Matriz exponencial

He comprobado con un programa de cálculo simbólico que los cálculos anteriores son correctos, y obtengo:

$$<br /> e^A=<br /> \begin{pmatrix}<br /> \frac{2}{3}e^3+\frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3}e^3-\frac{1}{3} & 0 \\<br /> 0 & e^i & 0 & -ie^i \\<br /> \frac{2}{3}e^3-\frac{2}{3} & 0 & \frac{1}{3}e^3+\frac{2}{3} & 0 \\<br /> 0 & 0 & 0 & e^i<br /> \end{pmatrix}$$

Que es lo mismo que ya se había escrito:

$B=e^{A}=$$\left(\begin{array}{cccc}13.72 & 0 & 6.36 & 0\\0 & 0.54+0.84\,i & 0.0 & 0.84-0.54\,i\\12.72 & 0 & 7.36 & 0\\0 & 0 & 0 & 0.54+0.84\,i\end{array}\right)$

Saludos

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No sé qué me quieres decir bien bien pero por si acaso comentar que en el fragmento que has citado para ti pone "en realidad tendrás convergencia absoluta si la serie de normas converge". Me he comido una palabra porque Fortuna usa este lenguaje y pues así yo creo que nos entendemos mejor, pero está claro que si he de hablar contigo entonces lo que he puesto entre comillas es lo correcto. Si no es esto, es que no he entendido tu mensaje.

Quería indicar que era el criterio de la convergencia absoluta (y documentar el criterio): si una serie converge absolutamente ("con las normas"), entonces es convergente.

Saludos