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Demostración por inducción

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  • Secundaria Demostración por inducción

    [FONT=tahoma]Hola,mi profesora de Matemáticas II nos ha mandado este problema "[/FONT][FONT=&quot][FONT=tahoma]Demostrar que A satisface la relación de recurrencia A^n = 2^(n-1) *A donde A es una matriz 2*2 con todos sus elementos 1. " y nos ha dicho que lo demostremos por inducción.

    El caso es que primero he comprobado que se cumple para n=1 y luego he supuesto que se cumple para n=k . El problema es que no estoy muy seguro como demostrar que se cumple para k+1, es decir, A^(k+1)=2^k*A

    Podríais darme alguna indicación? Muchas gracias!! :-)
    [/FONT]


    [/FONT]

  • #2
    Re: Duda Ejercicio

    La matriz subíndice k es


    Luego la multplicas por la matriz con todos sus elementos 1



    donde solo tienes que reemplazar el valor de k por el de n-1



    Última edición por Richard R Richard; 22/09/2018, 19:03:01. Motivo: tex, faltaba A_k+1

    Comentario


    • #3
      Re: Duda Ejercicio

      Demostrar que

      sabiendo que es un natural que cumple



      Multiplicando (2) a ambos lados por :



      igualando esta ecuación con (1):

      , simplificando:

      , que es cierto para la matriz 2x2 de todo 1.


      Y sabiendo que se cumple para , queda demostrado para superiores.



      Richard, creo que lo has hecho en un orden un poco raro.

      Añado que al principio, trate de resolver (1) y (2) multiplicando en algún momento por , y no me daba el resultado. Evidentemente es porque esta no tiene inversa.
      Última edición por Lindilo; 22/09/2018, 18:40:01.

      Comentario


      • #4
        Re: Duda Ejercicio

        Hola a todos.
        Escrito por Lindilo Ver mensaje
        Richard, creo que lo has hecho en un orden un poco raro.
        En realidad, es tu mensaje el que tiene un orden raro. En este paso utilizas lo que quieres demostrar:

        Escrito por Lindilo Ver mensaje
        igualando esta ecuación con (1):

        , simplificando:
        Esto invalida tu demostración. Recuerda que no sabes si la igualdad es cierta o no. De hecho el resto de tu intento también es incorrecto puesto que acabas concluyendo que el caso es cierto, cosa que ya sabías casi desde el principio (es hacer el cálculo) y acabas diciendo que esto es cierto para todo , sin dar ningún argumento de inducción como prueba. Al final, la demostración correcta ya la ha dado Richard:

        Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
        La matriz subíndice k es


        Luego la multplicas por la matriz con todos sus elementos 1



        donde solo tienes que reemplazar el valor de k por el de n-1



        Aprocecho para comentar que la parte final del mensaje de Richard no forma parte de la demostración, es decir, el caso ya ha sido demostrado con anterioridad al completar la inducción. La demostración del paso que pide Alofre es esta:

        Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
        La matriz subíndice k es


        Luego la multplicas por la matriz con todos sus elementos 1

        Y ya está, con esto termina la prueba.
        Última edición por Weip; 22/09/2018, 19:00:01.
        \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

        Comentario


        • #5
          Re: Duda Ejercicio

          Escrito por Weip Ver mensaje
          En realidad, es tu mensaje el que tiene un orden raro. En este paso utilizas lo que quieres demostrar:
          Precisamente, no sé si es cierta, desarrollando llego a , que si es cierto. Probando entonces que (1) es cierto. No es acaso así como funciona la inducción?

          Es decir, yo parto de (2), que supongo cierto para un determinado (podría empezar por demostrar que para n=1 es cierto). Y demuestro que (1) es cierto sustituyendo (2) en (1).


          Sobre lo de Richard, no empieza precisamente poniendo el resultado de la demostración como primera ecuación?

          Escrito por Alofre Ver mensaje
          [FONT=tahoma]Demostrar que A satisface la relación de recurrencia A^n = 2^(n-1) *A donde A es una matriz 2*2 con todos sus elementos 1. " y nos ha dicho que lo demostremos por inducción.
          [/FONT]
          Última edición por Lindilo; 22/09/2018, 19:02:53.

          Comentario


          • #6
            Re: Duda Ejercicio

            Buenas Lindilo.

            Escrito por Lindilo Ver mensaje
            Precisamente, no sé si es cierta, desarrollando llego a , que si es cierto. Probando entonces que (1) es cierto. No es acaso así como funciona la inducción?

            Es decir, yo parto de (2), que supongo cierto para un determinado (podría empezar por demostrar que para n=1 es cierto). Y demuestro que (1) es cierto sustituyendo (2) en (1).
            Parece que nos hemos solapado mientras editaba. No, la inducción no funciona así. El esquema es el siguiente:

            1) Demostrar el caso .
            2) Suponer cierto el caso .
            3) Probar el caso .

            Tu intento ha sido este:

            1) Queremos demostrar el caso .
            2) Suponemos que el caso es cierto.
            3) Probamos el caso .
            4) Como para es cierto, también lo es para todo .

            El problema es que entre el paso 2) y 3) has usado 1), que justamente es lo que quieres demostrar. Y luego aunque llegues a que el caso es cierto, esto no implica que sea cierto para todos los demás . De hecho para sustentar esta afirmación hay que hacer el argumento de Richard.

            Escrito por Lindilo Ver mensaje
            Sobre lo de Richard, no empieza precisamente poniendo el resultado de la demostración como primera ecuación?
            No, Richard empieza escribiendo la hipótesis de inducción, es decir, supone cierto el caso (en tu notación, el caso ). Está bien.
            \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

            Comentario


            • #7
              Re: Duda Ejercicio

              Escrito por Lindilo Ver mensaje


              Sobre lo de Richard, no empieza precisamente poniendo el resultado de la demostración como primera ecuación?


              no, me base en que


              Escrito por Alofre Ver mensaje
              El caso es que primero he comprobado que se cumple para n=1 y luego he supuesto que se cumple para n=k .

              la potencia 2 de A es decir multiplicada por simisma 2 veces es



              [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


              luego la potencia k es





              y de ahí parto para probar la k+1

              Oops nos superpusimos Weip . no habia visto tu respuesta saludos.
              Última edición por Richard R Richard; 22/09/2018, 19:20:02. Motivo: aclaración

              Comentario


              • #8
                Re: Duda Ejercicio

                En realidad lo que yo he hecho (o he querido hacer) es:
                (queriendo demostrar )


                1) suponer cierto (1) para un
                2) demostrar el caso
                3) demostrar (1) para el caso n = 1 (entiendo que este paso da igual cuando se haga, o no?)


                Como en el primer mensaje, lo hice un poco rápido voy a reescribirlo más completo, para que me digan dónde exactamente está el error, porque no te estoy entendiendo muy bien.








                Se quiere demostrar
                donde n es un número natural sin incluir el 0 y A es la matriz 2x2 de todo 1.


                1)
                Supongo la existencia de un , para el que (1) es cierto, es decir, parto de:




                2)
                Quiero demostrar que (1) también es cierto para un , es decir, quiero demostrar:



                para demostrarlo, voy a usar (2) y el hecho de que A es una matriz 2x2 de todo 1.

                Adapto un poco la expresión (2):



                Sustituyo el valor dado por (2') en la expresión que quiero demostrar, osea (3)

                Se obtiene , que es cierto, por tanto (3) es cierto. Osea el paso 2) está completado.


                3)
                Es trivial que (1) es cierto para n=1


                No estaría ya la demostración de (1) para todo n?




                Sobre lo de Richard. Si partes de que , esta expresión no es lo mismo que escribir:
                ? que es lo que se intenta demostrar.
                Última edición por Lindilo; 22/09/2018, 19:52:40.

                Comentario


                • #9
                  Re: Duda Ejercicio

                  Gracias, me temo que me había liado un poco al final

                  Comentario


                  • #10
                    Re: Duda Ejercicio

                    Hola de nuevo.

                    Escrito por Alofre Ver mensaje
                    Gracias, me temo que me había liado un poco al final
                    Es verdad que esto es lioso. Espero que la confusión se haya ido. Aún así va bien leerse estas cosas para entender bien cuál es el esquema de inducción, cómo aplicarlo y más importante aún: dónde se usa la hipótesis de inducción. Eso sí, si no entiendes alguna cosa pregunta, no te quedes con la duda.

                    Escrito por Lindilo Ver mensaje
                    Sustituyo el valor dado por (2') en la expresión que quiero demostrar, osea (3)

                    Se obtiene , que es cierto, por tanto (3) es cierto. Osea el paso 2) está completado.
                    Ahora está mejor escrito, de hecho esta demostración estrictamente es distinta de la anterior, pero aún así hay una cosa en esta parte que me chirría y es el paso de sustituir (2') en (3). No sabes, a priori, si (3) es cierta o no, con lo que no deberías sustituir nada ahí porque si no estás presuponiendo que se da la igualdad cuando es después de sustituir que la demuestras. No sé si me explico. Eso de sustituir en (3) habría que cambiarlo y decir otra cosa. Para razonarlo se podría decir "adapto un poco la expresión (2): . Usando la anterior expresión junto con la igualdad tenemos , que es lo que queríamos demostrar", y ya habrías acabado. Al final es el mismo argumento de Richard un poco más desglosado pero así no hay que presuponer que (3) es cierto en ningún paso.

                    Escrito por Lindilo Ver mensaje
                    Sobre lo de Richard. Si partes de que , esta expresión no es lo mismo que escribir:
                    ? que es lo que se intenta demostrar.
                    Pero es que es la hipótesis de inducción. Es decir, es el paso 2) que di en el esquema de inducción del mensaje #6. Lo que quiere probar Richard y luego demuestra es que . Al final es idéntico al paso 1) de tu mensaje.
                    Última edición por Weip; 22/09/2018, 21:07:12.
                    \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

                    Comentario


                    • #11
                      Re: Duda Ejercicio

                      Escrito por Weip Ver mensaje
                      pero aún así hay una cosa en esta parte que me chirría

                      Si tengo a, b y c. Quiero saber si la igualdad es cierta, y conozco que y , no puedo deducir directamente que ?


                      Lo de Richard ya lo entiendo, no había comprendido que su era como mí . Y es cierto que yo fui por un camino más largo, en mi paso 2), valía simplemente multiplicar (2) por , y se obtiene (3).
                      Última edición por Lindilo; 22/09/2018, 21:32:21.

                      Comentario


                      • #12
                        Re: Duda Ejercicio

                        Escrito por Lindilo Ver mensaje
                        Si tengo a, b y c. Quiero saber si la igualdad es cierta, y conozco que y , no puedo deducir directamente que ?
                        Sí, pero entiendo que ese no es el razonamiento que has escrito. Según leo en tu anterior mensaje, el argumento es: "Queremos demostrar . Tenemos . Sustituyendo en obtenemos , cosa que implica ". Para deducir has usado .
                        \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

                        Comentario


                        • #13
                          Re: Duda Ejercicio

                          Hola Lindilo, creo que sabes como hacer la deducción de los caso y del primer caso, pero lo haces en el orden equivocado,

                          existe un orden en el método de inducción que es el que te señalo Weip

                          Escrito por Weip Ver mensaje

                          1) Demostrar el caso .
                          2) Suponer cierto el caso .
                          3) Probar el caso .
                          Según lo que explico Alofre junto al enunciado, que ya había entendido y realizado los puntos 1 y 2 y solo ofrecí la solución del paso 3. No importa tanto lo que cada uno le pone como notación , sea etc

                          No puedes usar la identidad que intentas demostrar como base de la inducción, solo la puedes obtener como resultado, en caso de ser cierta la demostración.
                          Última edición por Richard R Richard; 23/09/2018, 00:02:30. Motivo: aclaración de nombre usuario

                          Comentario


                          • #14
                            Re: Duda Ejercicio

                            En realidad lo que yo he hecho ha sido: Quiero comprobar si , sabiendo que (y sabiendo además alguna cosa adicional (*) ). Sustituyo obteniendo , que en principio no sé si es cierto (entiendo que es igual de cierto o falso que ) , pero tras un desarrollo sencillo y usando (*) llego a que es cierto, por tanto también es cierto.
                            Última edición por Lindilo; 22/09/2018, 23:17:41.

                            Comentario


                            • #15
                              Re: Duda Ejercicio

                              Hola Lindilo.

                              Escrito por Lindilo Ver mensaje
                              En realidad lo que yo he hecho ha sido: Quiero comprobar si , sabiendo que (y sabiendo además alguna cosa adicional (*) ). Sustituyo obteniendo , que en principio no sé si es cierto (entiendo que es igual de cierto o falso que ) , pero tras un desarrollo sencillo y usando (*) llego a que es cierto, por tanto también es cierto.
                              Estamos dando demasiadas vueltas. Este razonamiento es distinto al que hacías en #11 pero creo que se acerca más a lo que decías en #8. A la hora de escribirlo creo que sería mejor decir que intentas demostrar implica usando la hipótesis de inducción. Aún cambiando esto, en la parte final afirmas el recíproco sin dar ningún argumento. En ese paso tendrías que decir implica por la hipótesis de inducción y detallarlo un poco al menos. Al final creo que cambiando esto y escribiendolo de forma más clara entonces ahora sí la demostración es correcta.
                              \dst \oint_S \vec{E} \cdot d \vec{S}=\dst \frac{Q}{\epsilon_0}

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