Secundaria Demostración por inducción

[Alofre]

[FONT=tahoma]Hola,mi profesora de Matemáticas II nos ha mandado este problema "[/FONT][FONT=&quot][FONT=tahoma]Demostrar que A satisface la relación de recurrencia A^n = 2^(n-1) *A donde A es una matriz 2*2 con todos sus elementos 1. " y nos ha dicho que lo demostremos por inducción.

El caso es que primero he comprobado que se cumple para n=1 y luego he supuesto que se cumple para n=k . El problema es que no estoy muy seguro como demostrar que se cumple para k+1, es decir, A^(k+1)=2^k*A

Podríais darme alguna indicación? Muchas gracias!! :-)
[/FONT]

[/FONT]

[Richard R Richard]

Re: Duda Ejercicio

La matriz subíndice k es
$\begin{pmatrix}<br /> 2^{k-1} & 2^{k-1}\\<br /> 2^{k-1} & 2^{k-1}<br /> \end{pmatrix}$

Luego la multplicas por la matriz con todos sus elementos 1

$A^{k}\cdot A\,=\,\begin{pmatrix}<br /> 2^{k-1} & 2^{k-1}\\<br /> 2^{k-1} & 2^{k-1}<br /> \end{pmatrix} \,\cdot\, \begin{pmatrix}<br /> 1 & 1\\<br /> 1 & 1<br /> \end{pmatrix} \,=\,\begin{pmatrix}<br /> 2^{k} & 2^{k}\\<br /> 2^{k} & 2^{k}<br /> \end{pmatrix}=2^{k}\,\cdot \,\begin{pmatrix}<br /> 1 & 1\\<br /> 1 & 1<br /> \end{pmatrix} =2^{k}A$

donde solo tienes que reemplazar el valor de k por el de n-1

$k=n-1$

$A^n=$$A^{n-1}\cdot A\,=\,\begin{pmatrix}<br /> 2^{n-2} & 2^{n-2}\\<br /> 2^{n-2} & 2^{n-2}<br /> \end{pmatrix} \,\cdot\, \begin{pmatrix}<br /> 1 & 1\\<br /> 1 & 1<br /> \end{pmatrix} \,=\,\begin{pmatrix}<br /> 2^{n-1} & 2^{n-1}\\<br /> 2^{n-1} & 2^{n-1}<br /> \end{pmatrix}=2^{n-1}\,\cdot \,\begin{pmatrix}<br /> 1 & 1\\<br /> 1 & 1<br /> \end{pmatrix} =2^{n-1}A$

[Lindilo]

Re: Duda Ejercicio

Demostrar que $A^{n_0+1} = 2^{n_0} A \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

sabiendo que $n_0$ es un natural que cumple $A^{n_0} = 2^{n_0-1} A \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$



Multiplicando (2) a ambos lados por $A$:

$A^{n_0+1} = 2^{n_0-1} A^2$

igualando esta ecuación con (1):

$2^{n_0} A = 2^{n_0-1} A^2$, simplificando:

$A = 2^{-1} A^2$, que es cierto para la matriz 2x2 de todo 1.


Y sabiendo que se cumple para $n_0 = 1$, queda demostrado para $n$ superiores.



Richard, creo que lo has hecho en un orden un poco raro.

Añado que al principio, trate de resolver (1) y (2) multiplicando en algún momento por $A^{-1}$, y no me daba el resultado. Evidentemente es porque esta $A$ no tiene inversa.

[Weip]

Re: Duda Ejercicio

Hola a todos.

Richard, creo que lo has hecho en un orden un poco raro.

En realidad, es tu mensaje el que tiene un orden raro. En este paso utilizas lo que quieres demostrar:

igualando esta ecuación con (1):

$2^{n_0} A = 2^{n_0-1} A^2$, simplificando:

Esto invalida tu demostración. Recuerda que no sabes si la igualdad $A^{n_0+1} = 2^{n_0} A$ es cierta o no. De hecho el resto de tu intento también es incorrecto puesto que acabas concluyendo que el caso $n_0=1$ es cierto, cosa que ya sabías casi desde el principio (es hacer el cálculo) y acabas diciendo que esto es cierto para todo $n$, sin dar ningún argumento de inducción como prueba. Al final, la demostración correcta ya la ha dado Richard:

La matriz subíndice k es
$\begin{pmatrix}<br /> 2^{k-1} & 2^{k-1}\\<br /> 2^{k-1} & 2^{k-1}<br /> \end{pmatrix}$

Luego la multplicas por la matriz con todos sus elementos 1

$A^{k}\cdot A\,=\,\begin{pmatrix}<br /> 2^{k-1} & 2^{k-1}\\<br /> 2^{k-1} & 2^{k-1}<br /> \end{pmatrix} \,\cdot\, \begin{pmatrix}<br /> 1 & 1\\<br /> 1 & 1<br /> \end{pmatrix} \,=\,\begin{pmatrix}<br /> 2^{k} & 2^{k}\\<br /> 2^{k} & 2^{k}<br /> \end{pmatrix}=2^{k}\,\cdot \,\begin{pmatrix}<br /> 1 & 1\\<br /> 1 & 1<br /> \end{pmatrix} =2^{k}A$

donde solo tienes que reemplazar el valor de k por el de n-1

$k=n-1$

$A^n=$$A^{n-1}\cdot A\,=\,\begin{pmatrix}<br /> 2^{n-2} & 2^{n-2}\\<br /> 2^{n-2} & 2^{n-2}<br /> \end{pmatrix} \,\cdot\, \begin{pmatrix}<br /> 1 & 1\\<br /> 1 & 1<br /> \end{pmatrix} \,=\,\begin{pmatrix}<br /> 2^{n-1} & 2^{n-1}\\<br /> 2^{n-1} & 2^{n-1}<br /> \end{pmatrix}=2^{n-1}\,\cdot \,\begin{pmatrix}<br /> 1 & 1\\<br /> 1 & 1<br /> \end{pmatrix} =2^{n-1}A$

Aprocecho para comentar que la parte final del mensaje de Richard no forma parte de la demostración, es decir, el caso $k=n-1$ ya ha sido demostrado con anterioridad al completar la inducción. La demostración del paso $k+1$ que pide Alofre es esta:

La matriz subíndice k es
$\begin{pmatrix}<br /> 2^{k-1} & 2^{k-1}\\<br /> 2^{k-1} & 2^{k-1}<br /> \end{pmatrix}$

Luego la multplicas por la matriz con todos sus elementos 1

$A^{k}\cdot A\,=\,\begin{pmatrix}<br /> 2^{k-1} & 2^{k-1}\\<br /> 2^{k-1} & 2^{k-1}<br /> \end{pmatrix} \,\cdot\, \begin{pmatrix}<br /> 1 & 1\\<br /> 1 & 1<br /> \end{pmatrix} \,=\,\begin{pmatrix}<br /> 2^{k} & 2^{k}\\<br /> 2^{k} & 2^{k}<br /> \end{pmatrix}=2^{k}\,\cdot \,\begin{pmatrix}<br /> 1 & 1\\<br /> 1 & 1<br /> \end{pmatrix} =2^{k}A$

Y ya está, con esto termina la prueba.

[Lindilo]

Re: Duda Ejercicio

En realidad, es tu mensaje el que tiene un orden raro. En este paso utilizas lo que quieres demostrar:

Precisamente, no sé si es cierta, desarrollando llego a $A = 2^{-1} A^2$ , que si es cierto. Probando entonces que (1) es cierto. No es acaso así como funciona la inducción?

Es decir, yo parto de (2), que supongo cierto para un determinado $n_0$ (podría empezar por demostrar que para n=1 es cierto). Y demuestro que (1) es cierto sustituyendo (2) en (1).


Sobre lo de Richard, no empieza precisamente poniendo el resultado de la demostración como primera ecuación?

[FONT=tahoma]Demostrar que A satisface la relación de recurrencia A^n = 2^(n-1) *A donde A es una matriz 2*2 con todos sus elementos 1. " y nos ha dicho que lo demostremos por inducción.
[/FONT]

[Weip]

Re: Duda Ejercicio

Buenas Lindilo.

Precisamente, no sé si es cierta, desarrollando llego a $A = 2^{-1} A^2$ , que si es cierto. Probando entonces que (1) es cierto. No es acaso así como funciona la inducción?

Es decir, yo parto de (2), que supongo cierto para un determinado $n_0$ (podría empezar por demostrar que para n=1 es cierto). Y demuestro que (1) es cierto sustituyendo (2) en (1).

Parece que nos hemos solapado mientras editaba. No, la inducción no funciona así. El esquema es el siguiente:

1) Demostrar el caso $n_0=1$.
2) Suponer cierto el caso $n_0$.
3) Probar el caso $n_0+1$.

Tu intento ha sido este:

1) Queremos demostrar el caso $n_0+1$.
2) Suponemos que el caso $n_0$ es cierto.
3) Probamos el caso $n_0=1$.
4) Como para $n_0=1$ es cierto, también lo es para todo $n_0$.

El problema es que entre el paso 2) y 3) has usado 1), que justamente es lo que quieres demostrar. Y luego aunque llegues a que el caso $n_0=1$ es cierto, esto no implica que sea cierto para todos los demás $n_0$. De hecho para sustentar esta afirmación hay que hacer el argumento de Richard.

Sobre lo de Richard, no empieza precisamente poniendo el resultado de la demostración como primera ecuación?

No, Richard empieza escribiendo la hipótesis de inducción, es decir, supone cierto el caso $k$ (en tu notación, el caso $n_0$). Está bien.

[Richard R Richard]

Re: Duda Ejercicio

Sobre lo de Richard, no empieza precisamente poniendo el resultado de la demostración como primera ecuación?

no, me base en que

El caso es que primero he comprobado que se cumple para n=1 y luego he supuesto que se cumple para n=k .

la potencia 2 de A es decir multiplicada por simisma 2 veces es



[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


luego la potencia k es


$\begin{pmatrix}<br /> 2^{k-1} & 2^{k-1}\\<br /> 2^{k-1} & 2^{k-1}<br /> \end{pmatrix}$


y de ahí parto para probar la k+1

Oops nos superpusimos Weip . no habia visto tu respuesta saludos.

[Lindilo]

Re: Duda Ejercicio

En realidad lo que yo he hecho (o he querido hacer) es:
(queriendo demostrar $A^n = 2^{n-1} A$)


1) suponer cierto (1) para un $n=n_0$
2) demostrar el caso $n = n_0 + 1$
3) demostrar (1) para el caso n = 1 (entiendo que este paso da igual cuando se haga, o no?)


Como en el primer mensaje, lo hice un poco rápido voy a reescribirlo más completo, para que me digan dónde exactamente está el error, porque no te estoy entendiendo muy bien.








Se quiere demostrar $A^n = 2^{n-1} A \,\, \,\,\,\,\,\, (1)$
donde n es un número natural sin incluir el 0 y A es la matriz 2x2 de todo 1.


1)
Supongo la existencia de un $n=n_0$ , para el que (1) es cierto, es decir, parto de:

$A^{n_0} = 2^{n_0-1} A\,\,\,\,\,\,\,\, (2)$


2)
Quiero demostrar que (1) también es cierto para un $n = n_0 + 1$, es decir, quiero demostrar:

$A^{n_0+1} = 2^{n_0} A \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (3)$

para demostrarlo, voy a usar (2) y el hecho de que A es una matriz 2x2 de todo 1.

Adapto un poco la expresión (2):

$A^{n_0+1} = 2^{n_0-1} A^2 \,\,\,\,\,\,\,\,(2')$

Sustituyo el valor $A^{n_0+1}$ dado por (2') en la expresión que quiero demostrar, osea (3)

Se obtiene $2^{n_0-1} A^2 = 2^{n_0} A$, que es cierto, por tanto (3) es cierto. Osea el paso 2) está completado.


3)
Es trivial que (1) es cierto para n=1


No estaría ya la demostración de (1) para todo n?




Sobre lo de Richard. Si partes de que $A^k = \begin{pmatrix}<br /> 2^{k-1} & 2^{k-1}\\<br /> 2^{k-1} & 2^{k-1}<br /> \end{pmatrix}<br />$, esta expresión no es lo mismo que escribir:
$A^k = 2^{k-1} A$ ? que es lo que se intenta demostrar.

[Alofre]

Re: Duda Ejercicio

Gracias, me temo que me había liado un poco al final

[Weip]

Re: Duda Ejercicio

Hola de nuevo.

Gracias, me temo que me había liado un poco al final

Es verdad que esto es lioso. Espero que la confusión se haya ido. Aún así va bien leerse estas cosas para entender bien cuál es el esquema de inducción, cómo aplicarlo y más importante aún: dónde se usa la hipótesis de inducción. Eso sí, si no entiendes alguna cosa pregunta, no te quedes con la duda.

Sustituyo el valor $A^{n_0+1}$ dado por (2') en la expresión que quiero demostrar, osea (3)

Se obtiene $2^{n_0-1} A^2 = 2^{n_0} A$, que es cierto, por tanto (3) es cierto. Osea el paso 2) está completado.

Ahora está mejor escrito, de hecho esta demostración estrictamente es distinta de la anterior, pero aún así hay una cosa en esta parte que me chirría y es el paso de sustituir (2') en (3). No sabes, a priori, si (3) es cierta o no, con lo que no deberías sustituir nada ahí porque si no estás presuponiendo que se da la igualdad cuando es después de sustituir que la demuestras. No sé si me explico. Eso de sustituir en (3) habría que cambiarlo y decir otra cosa. Para razonarlo se podría decir "adapto un poco la expresión (2): $A^{n_0+1}=2^{n_0-1}A^2$. Usando la anterior expresión junto con la igualdad $2^{n_0-1}A^2=2^{n_0}A$ tenemos $A^{n_0+1}=2^{n_0}A$, que es lo que queríamos demostrar", y ya habrías acabado. Al final es el mismo argumento de Richard un poco más desglosado pero así no hay que presuponer que (3) es cierto en ningún paso.

Sobre lo de Richard. Si partes de que $A^k = \begin{pmatrix}<br /> 2^{k-1} & 2^{k-1}\\<br /> 2^{k-1} & 2^{k-1}<br /> \end{pmatrix}<br />$, esta expresión no es lo mismo que escribir:
$A^k = 2^{k-1} A$ ? que es lo que se intenta demostrar.

Pero es que $A^k = 2^{k-1} A$ es la hipótesis de inducción. Es decir, es el paso 2) que di en el esquema de inducción del mensaje #6. Lo que quiere probar Richard y luego demuestra es que $A^{k+1}=2^kA$. Al final $A^k = 2^{k-1} A$ es idéntico al paso 1) de tu mensaje.

[Lindilo]

Re: Duda Ejercicio

pero aún así hay una cosa en esta parte que me chirría

Si tengo a, b y c. Quiero saber si la igualdad $a=b$ es cierta, y conozco que $a=c$ y $c=b$, no puedo deducir directamente que $a=b$ ?


Lo de Richard ya lo entiendo, no había comprendido que su $k$ era como mí $n_0$. Y es cierto que yo fui por un camino más largo, en mi paso 2), valía simplemente multiplicar (2) por $A$, y se obtiene (3).

[Weip]

Re: Duda Ejercicio

Si tengo a, b y c. Quiero saber si la igualdad $a=b$ es cierta, y conozco que $a=c$ y $c=b$, no puedo deducir directamente que $a=b$ ?

Sí, pero entiendo que ese no es el razonamiento que has escrito. Según leo en tu anterior mensaje, el argumento es: "Queremos demostrar $a=b$. Tenemos $a=c$. Sustituyendo en $a=b$ obtenemos $c=b$, cosa que implica $a=b$". Para deducir $c=b$ has usado $a=b$.

[Richard R Richard]

Re: Duda Ejercicio

Hola Lindilo, creo que sabes como hacer la deducción de los caso $n_0$ y del primer caso, pero lo haces en el orden equivocado,

existe un orden en el método de inducción que es el que te señalo Weip

1) Demostrar el caso $n_0=1$.
2) Suponer cierto el caso $n_0$.
3) Probar el caso $n_0+1$.

Según lo que explico Alofre junto al enunciado, que ya había entendido y realizado los puntos 1 y 2 y solo ofrecí la solución del paso 3. No importa tanto lo que cada uno le pone como notación , sea $k, n, n_0$ etc

No puedes usar la identidad que intentas demostrar como base de la inducción, solo la puedes obtener como resultado, en caso de ser cierta la demostración.

[Lindilo]

Re: Duda Ejercicio

En realidad lo que yo he hecho ha sido: Quiero comprobar si $a=b$, sabiendo que $a=c$ (y sabiendo además alguna cosa adicional (*) ). Sustituyo obteniendo $c=b$, que en principio no sé si es cierto (entiendo que es igual de cierto o falso que $a=b$) , pero tras un desarrollo sencillo y usando (*) llego a que $c=b$ es cierto, por tanto $a=b$ también es cierto.

[Weip]

Re: Duda Ejercicio

Hola Lindilo.

En realidad lo que yo he hecho ha sido: Quiero comprobar si $a=b$, sabiendo que $a=c$ (y sabiendo además alguna cosa adicional (*) ). Sustituyo obteniendo $c=b$, que en principio no sé si es cierto (entiendo que es igual de cierto o falso que $a=b$) , pero tras un desarrollo sencillo y usando (*) llego a que $c=b$ es cierto, por tanto $a=b$ también es cierto.

Estamos dando demasiadas vueltas. Este razonamiento es distinto al que hacías en #11 pero creo que se acerca más a lo que decías en #8. A la hora de escribirlo creo que sería mejor decir que intentas demostrar $a=b$ implica $c=b$ usando la hipótesis de inducción. Aún cambiando esto, en la parte final afirmas el recíproco sin dar ningún argumento. En ese paso tendrías que decir $c=b$ implica $a=b$ por la hipótesis de inducción y detallarlo un poco al menos. Al final creo que cambiando esto y escribiendolo de forma más clara entonces ahora sí la demostración es correcta.