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Duda hamiltoniano

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  • Duda hamiltoniano

    Bueno aunque todavía estoy en 2º estoy colaborando en un departamento en el que requiero un poco de mecánica cuántica y bueno vamos al grano (no se latex lo siento).
    Me han definido el Hamiltoniano como H = sumatorio en i de (diferencial(2ª)de x(sub i)) + V(x).

    1ª duda) cuando me lo han definido no se si lo que me dicen es una diferencial, o lo que me quieren decir es derivada 2ª con respecto a x(subi). No entiendo esos direnciales por ahí purulando.

    La 2ª duda es sobre un cambio de variable aquí, pero mejor si me podeis resolver esta duda 1º, ya os digo si esta segunda tiene sentido.

    Un saludo y gracias! Si alguno ve que lo que no entiendo muy bien es como actua el hamiltoniano (nunca he visto el hamiltoniano como un operador, solo lo he visto en mecánica clásica entonces por eso quizá esté un poco perdido) me puede dar alguna noción teórica. Un saluo y gracias.

  • #2
    Re: Duda hamiltoniano

    Hola:
    Escrito por fisiko88 Ver mensaje
    1ª duda) cuando me lo han definido no se si lo que me dicen es una diferencial, o lo que me quieren decir es derivada 2ª con respecto a x(subi). No entiendo esos direnciales por ahí purulando.
    Es una derivada segunda parcial
    Te faltan algunas cosas...
    que supongo que no es que falten sino que se hacen 1 mediante una elección adecuada
    del sistema de unidades.
    El operador momento es

    siendo las coordenadas espaciales

    Si partes de la forma clasica
    puedes obtener la formula que mencionas
    el operador diferencial es el laplaciano

    Un saludo
    Última edición por aLFRe; 25/01/2008, 21:01:33.

    Comentario


    • #3
      Re: Duda hamiltoniano

      El hamiltoniano es básicamente el mismo en cuántica que en clásica. Para pasar de uno a otro tienes que hacer la siguiente transformación:


      Ojo que a veces hay un signo global diferente, dependiendo de la convención que se use. Es una derivada respecto de la posición. Si lo quieres escribir como un vector, entonces tienes el gradiente:


      Por lo tanto, el hamiltoniano normal,


      pasará a ser


      donde es la laplaciana.

      Esto, como tu dices, es un operador. Los operadores no tienen en realidad sentidos por si solos, sino que deben aplicarse a una función. Imaginemos, por ejemplo, que tenemos un sistema de una dimensión (), por lo cual dada una función cualquiera tenemos


      Eso es lo que realmente tiene sentido, aplicar los operadores a una función y así definir su acción. Como sería muy pesado escribir tantas por todas partes, lo que se hace es simplemente no escribirlas; es una especie de notación formal de operadores. El tipo de igualdades del tipo de la ecuación (4) se llaman "igualdades a nivel de operador", lo cual significa que no son igualdades estrictas, sino que son sólo válidas cuando se aplica cada lado de la igualdad a la misma función.

      Si te preguntas por qué se tiene que hacer la substitución (1), el motivo es el siguiente. Como sabrás de mecánica clásica, debe cumplirse el paréntesis de Poisson


      Cuando uno pasa a cuántica, el paréntesis de Poisson debe interpretarse en el sentido de operadores, pasa a ser un conmutador, y queda multiplicado por . Es decir, debe cumplirse


      Si todo fueran números, eso no se cumpliría nunca, claro. Por eso tienen que ser otras entidades. Además, la igualdad anterior
      es de operadores, por lo que debe cumplirse si se aplica una función:


      Ahora sólo queda comprobar que, con la substitución 1, esto se cumple. El se cancela en todas partes trivialmente; el resto

      [Error LaTeX: Compliación LaTeX fallida]
      Usando la regla de la cadena en el primer término, y teniendo en cuenta que , se demuestra la igualdad.
      La única alternativo a ser Físico era ser etéreo.
      @lwdFisica

      Comentario


      • #4
        Re: Duda hamiltoniano

        Muchísimas gracias!

        La ecuación que trato de resolver es: H(función de ondas)=E*(función de ondas) nose por qué desaparece el hbarra*i pero me lo creo xD.
        Lo dicho muchas gracias. Si me quedo atascado al hacer alguna otra cosa ya os contaré.

        Un saludo!

        Comentario


        • #5
          Re: Duda hamiltoniano

          Escrito por fisiko88 Ver mensaje
          La ecuación que trato de resolver es: H(función de ondas)=E*(función de ondas) nose por qué desaparece el hbarra*i pero me lo creo xD.
          Lo que pones es una ecuación de autovalores del Hamiltoniano.
          Puesto que supongo que conoces los autovalores y autovectores
          de Algebra... esto es similar.
          Resuelta tu ecuación, obtienes una serie de funciones, llamadas autofunciones,
          que son autoestados del Hamiltoniano
          y unos valores numéricos de la energía.
          El problema puede no estar degenerado si a cada valor de la energía
          le corresponde una autofunción... o tener degeneración
          cuando varias autofunciones proporcionan ese valor de la energía.
          Estas autofunciones tienen varias propiedades importantes
          para las soluciones del problema descrito por el Hamiltoniano
          en concreto que estés considerando.

          Un saludo.

          Comentario

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