Duda hamiltoniano

[fisiko88]

Bueno aunque todavía estoy en 2º estoy colaborando en un departamento en el que requiero un poco de mecánica cuántica y bueno vamos al grano (no se latex lo siento).
Me han definido el Hamiltoniano como H = sumatorio en i de (diferencial(2ª)de x(sub i)) + V(x).

1ª duda) cuando me lo han definido no se si lo que me dicen es una diferencial, o lo que me quieren decir es derivada 2ª con respecto a x(subi). No entiendo esos direnciales por ahí purulando.

La 2ª duda es sobre un cambio de variable aquí, pero mejor si me podeis resolver esta duda 1º, ya os digo si esta segunda tiene sentido.

Un saludo y gracias! Si alguno ve que lo que no entiendo muy bien es como actua el hamiltoniano (nunca he visto el hamiltoniano como un operador, solo lo he visto en mecánica clásica entonces por eso quizá esté un poco perdido) me puede dar alguna noción teórica. Un saluo y gracias.

[aLFRe]

Re: Duda hamiltoniano

Hola:

1ª duda) cuando me lo han definido no se si lo que me dicen es una diferencial, o lo que me quieren decir es derivada 2ª con respecto a x(subi). No entiendo esos direnciales por ahí purulando.

Es una derivada segunda parcial
Te faltan algunas cosas...
que supongo que no es que falten sino que se hacen 1 mediante una elección adecuada
del sistema de unidades.
El operador momento es
$p_k= - i \hbar \frac{\partial}{\partial x_k}$
siendo $x_k$las coordenadas espaciales

Si partes de la forma clasica $H = \frac{p^2}{2m}+ V$
puedes obtener la formula que mencionas
el operador diferencial es el laplaciano

Un saludo

[pod]

Re: Duda hamiltoniano

El hamiltoniano es básicamente el mismo en cuántica que en clásica. Para pasar de uno a otro tienes que hacer la siguiente transformación:

$$p_i \longrightarrow i \hbar \frac{\partial}{\partial x_i}\ .$$

Ojo que a veces hay un signo global diferente, dependiendo de la convención que se use. Es una derivada respecto de la posición. Si lo quieres escribir como un vector, entonces tienes el gradiente:

$$\vec{p} \longrightarrow i\hbar \vec{\nabla}\ .$$

Por lo tanto, el hamiltoniano normal,

$$H = \frac{p^2}{2m} + V\ ,$$

pasará a ser

$$H = - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V \ ,$$

donde $\nabla^2$ es la laplaciana.

Esto, como tu dices, es un operador. Los operadores no tienen en realidad sentidos por si solos, sino que deben aplicarse a una función. Imaginemos, por ejemplo, que tenemos un sistema de una dimensión ($\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2}$), por lo cual dada una función cualquiera $f(x)$ tenemos

$$H f(x) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + V(x) f(x) \ .$$

Eso es lo que realmente tiene sentido, aplicar los operadores a una función y así definir su acción. Como sería muy pesado escribir tantas $f(x)$ por todas partes, lo que se hace es simplemente no escribirlas; es una especie de notación formal de operadores. El tipo de igualdades del tipo de la ecuación (4) se llaman "igualdades a nivel de operador", lo cual significa que no son igualdades estrictas, sino que son sólo válidas cuando se aplica cada lado de la igualdad a la misma función.

Si te preguntas por qué se tiene que hacer la substitución (1), el motivo es el siguiente. Como sabrás de mecánica clásica, debe cumplirse el paréntesis de Poisson

$$\{ p_i , \ x_j \} = \delta_{ij}\ .$$

Cuando uno pasa a cuántica, el paréntesis de Poisson debe interpretarse en el sentido de operadores, pasa a ser un conmutador, y queda multiplicado por $i\hbar$. Es decir, debe cumplirse

$$[ p_i ,\, x_j ] \equiv p_i x_j - x_j p_i = i \hbar \delta_{ij}\ .$$

Si todo fueran números, eso no se cumpliría nunca, claro. Por eso tienen que ser otras entidades. Además, la igualdad anterior
es de operadores, por lo que debe cumplirse si se aplica una función:

$$p_i x_j f - x_j p_i f = i\hbar \delta_{ij} f \ .$$

Ahora sólo queda comprobar que, con la substitución 1, esto se cumple. El $i\hbar$ se cancela en todas partes trivialmente; el resto

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Usando la regla de la cadena en el primer término, y teniendo en cuenta que $\frac{\partial x_i}{\partial x_j} = \delta_{ij}$, se demuestra la igualdad.

[fisiko88]

Re: Duda hamiltoniano

Muchísimas gracias!

La ecuación que trato de resolver es: H(función de ondas)=E*(función de ondas) nose por qué desaparece el hbarra*i pero me lo creo xD.
Lo dicho muchas gracias. Si me quedo atascado al hacer alguna otra cosa ya os contaré.

Un saludo!

[aLFRe]

Re: Duda hamiltoniano

La ecuación que trato de resolver es: H(función de ondas)=E*(función de ondas) nose por qué desaparece el hbarra*i pero me lo creo xD.

Lo que pones es una ecuación de autovalores del Hamiltoniano.
Puesto que supongo que conoces los autovalores y autovectores
de Algebra... esto es similar.
Resuelta tu ecuación, obtienes una serie de funciones, llamadas autofunciones,
que son autoestados del Hamiltoniano
y unos valores numéricos de la energía.
El problema puede no estar degenerado si a cada valor de la energía
le corresponde una autofunción... o tener degeneración
cuando varias autofunciones proporcionan ese valor de la energía.
Estas autofunciones tienen varias propiedades importantes
para las soluciones del problema descrito por el Hamiltoniano
en concreto que estés considerando.

Un saludo.