1r ciclo Ecuaciones de movimiento rectilíneo bajo la acción de un campo gravitatorio.

[Pablogarra]

Buenas a todos! Siento que mi primer post sea una petición de ayuda, pero es que estoy atascado en la resolución de un ejercicio y me gustaría poderlo continuar.

El problema es el siguiente:

Se tiene un objeto de masa m situado a una distancia r₀ del centro de la Tierra y en la vertical de un punto de la superficie A. Encuentre y resuelva las ecuaciones de su movimiento en dos casos: a) "Caída libre", es decir, el objeto tiene velocidad inicial nula o distinta de cero, pero dirigida hacia la Tierra y b) "Salida libre", donde ahora la velocidad inicial está dirigida alejándose de la Tierra. Nota: en este ejercicio se pide estudiar un movimiento rectilíneo bajo interacción gravitatoria con momento angular cero.

Lo que he hecho inicialmente es resolverlo por Lagrange. Como $\frac{\mathrm{d\theta} }{\mathrm{dt} }=0$ entonces la velocidad únicamente posee componente en la dirección r. Es decir

$T=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^{2}$
$V=-G\frac{mM}{{r}^{2}}$

Que aplicando Lagrange se convierte, obviamente, en la famosa ley de atracción de Newton:

$\ddot{r}=-G\frac{M}{{r}^{2}}$

Sin embargo, el problema radica en que no sé resolver esa ecuación diferencial. También lo he intentado plantear por medio de la energía, pero no consigo realizar un planteamiento que yo mismo considere coherente. Si alguien me pudiese echar una mano se lo agradecería.

[Alriga]

Re: Ecuaciones de movimiento rectilíneo bajo la acción de un campo gravitatorio.

Bienvenido a La web de Física Pablogarra.

$\ddot r=-\dfrac{ G \ M}{r^2}$

Para resolver la ecuación diferencial se puede utilizar el siguiente cambio de variable: $\dst {dr \over dt}=v$

$\ddot r=\dfrac{d^2r}{dt^2}=\dfrac{d}{dt} \left (\dfrac{dr}{dt} \right )=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{dv}{dr} \ \dfrac{dr}{dt}=\dfrac{dv}{dr} \ v$

Por lo tanto la ecuación diferencial te quedará:

$v \ \dfrac{dv}{dr}=- \dfrac{GM}{r^2}$

Que es en variables separadas.

$v \ dv=- GM \dfrac {dr}{r^2}$

Si no me equivoco al integrar:

$\dfrac 1 2 \left [ v^2 \right ]_{v_0}^v=GM \left [ \dfrac 1 r \right ]_{r_0}^r$

$v^2=v_0^2+2 \ G M \left ( \dfrac 1 r - \dfrac 1{r_0} \right )$

Se obtiene la velocidad en función del radio vector:

$v(r)=\pm \sqrt{v_0^2+2 \ G M \left ( \dfrac 1 r - \dfrac 1{r_0} \right )}$

a) "Caída libre", es decir, el objeto tiene velocidad inicial nula o distinta de cero, pero dirigida hacia la Tierra

$$\boxed{v(r)=- \sqrt{v_0^2+2 \ G M \left ( \dfrac 1 r - \dfrac 1{r_0} \right )}}$$

b) "Salida libre", donde ahora la velocidad inicial está dirigida alejándose de la Tierra

$$\boxed{v(r)=\sqrt{v_0^2+2 \ G M \left ( \dfrac 1 r - \dfrac 1{r_0} \right )}}$$

Supongo que a partir de aquí sustituyendo $\boxed{v=\dfrac{dr}{dt}}$ e integrando de nuevo otra ecuación diferencial en variable separadas deberías obtener la ecuación temporal del radio vector de forma implícita t=t(r)

Si tienes alguna duda, vuelve a preguntar

Saludos.

NOTA añadida 19/12/2018.

Si no hay velocidad inicial, para el caso de caída:

$\boxed{v(r)=- \ \sqrt{2 GM \left (\dfrac 1 r - \dfrac 1 {r_0} \right )}}$

La integración de la velocidad conduce a:

$\boxed{t(r)=\sqrt{\dfrac{r_0^3}{2GM}} \cdot \left ( \arccos \sqrt{\dfrac r{r_0}}+\sqrt{\dfrac r {r_0}-\left ( \dfrac r {r_0} \right )^2} \ \right )}$

Como se deduce en: Gráfico posición - tiempo y velocidad - tiempo de un electrón atraído por un protón

NOTA añadida 09/10/2020.

Un interesante hilo relacionado es Tamaño de los cielos en teogonía Hesíodo

NOTA añadida 02/10/2021.

Otro interesante hilo relacionado es Cálculo de la altura máxima en tiro balístico con g variable

[Pablogarra]

Re: Ecuaciones de movimiento rectilíneo bajo la acción de un campo gravitatorio.

¡Pues muchísimas gracias! Lo imposible es despejar es despejar r de la macro-solución de la integral https://www.wolframalpha.com/input/?...2Fr-1%2Fc)))dr pero me has ayudado muchísimo. Creo que, además de conseguir resolver el ejercicio, he aprendido bastante de él.

¡Espero ser yo también ser de utilidad para el resto por este foro!