Escrito por rucky96
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Escrito por carroza
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Hablando de forma algo informal, solemos entender por función una aplicación que tiene por dominio "números" y donde el recorrido también son "números". Es decir, a una función le das uno o más números y te devuelve otro número. Un funcional es una aplicación donde el dominio es un espacio de funciones. Es decir, a un funcional le das una función y te devuelve un número. Nota para amantes de la rigurosidad matemática, lo que acabo de describir en realidad debería llamarse "función de orden superior"; un funcional es un concepto aún más general (se puede aplicar a cualquier espacio, no sólo de funciones).
En este caso, el funcional realmente importante en la formulación de Lagrange es la acción. Las ecuaciones de Euler-Lagrange no hacen más que resolver el problema de hacer que el funcional sea extremo. Es decir, encontrar que funciones hacen que el funcional acción sea extremo.
Como la acción es la integral del lagrangiano, así que podemos hablar el lagrangiano como un funcional que admite una serie de funciones de t y devuelve otra función de t (que es la que integramos en la acción). Cuando queremos calcular la derivada de ese funcional con respecto del tiempo, tenemos que tener en cuenta todas las cosas que pueden hacer que varie: puede ser que el funcional cambie con el tiempo debido a que las cg's varian con el tiempo; o puede ser que el funcional varie porque él depende explícitamente del tiempo.
Y, para ligar ésto con lo que decía en mensajes anteriores: fíjate que cuando hablamos de funciones, en realiidad la función es , a secas. En cambio, , por ejemplo, ya no es la función, sino que es la imágen de la función para cierto valor de su dominio. Es un abuso de lenguaje que todos cometemos, pero en realidad , sino que es la imagen de la función para cierto valor. es un número. En ese mismo sentido, cuando tu cojes el Lagrangiano y substituyes una cg por su dependencia temporal, has aplicado el funcional a una función concreta; así que ya no tienes ese funcional, sino la imagen del mismo para una función concreta. Por supuesto, físicamente tu puedes interpretar lo que has obtenido como un lagrangiano para otro sistema físico sometido a una ligadura, pero lo que está claro es que ya no describe el mismo sistema físico que antes.
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