2o ciclo Derivadas parciales en física

[rucky96]

Hola creo que no me queda claro el funcionamiento de las derivadas parciales en física
Por ejemplo, la definición de constante de movimiento es

$f\left(q_1,\ldots,q_m,{\dot{q}}_1,\ldots{\dot{q}}_m,t\right)=cte.$

$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial q}\dot{q}+\frac{\partial f}{\partial \dot{q}}\ddot{q}+\frac{\partial f}{\partial t}=0$

¿Por qué una cantidad conservada no se puede definir como una derivada parcial en vez de total?
Tengo leído que una derivada parcial nula de una función es porque no aparece explícitamente esa coordenada en la expresión. Tipo

$f\left(x,y,\theta,\ t\right)=x^2+y^2+\sin{\theta}$

Donde $x$, $y$, $\theta$ dependen del tiempo. Pero, la función no depende explícitamente del tiempo. La derivada parcial respecto al tiempo es

$\frac{\partial f}{\partial t}=0$

Pero si, por ejemplo, $\theta=\omega\ t$

$f\left(x,y,t\right)=x^2+y^2+\sin{\omega t}$

Ahora sí depende explícitamente, y es

$\frac{\partial f}{\partial t}=\omega\cos{\omega t}$

Me hace un lío esto, ¿cómo puede ser que la derivada parcial sea nula o no sólo por el hecho de que aparezca o no explícitamente? Si sé la dependencia de una coordenada respecto al tiempo y la pongo no tiene porqué dar nulo, pero si no la sé, ya da nulo…
Vaya lío… ¿Alguien me lo puede aclarar?

[pod]

Re: Derivadas parciales en física

Las funciones $f(x,\ y,\ \theta,\ t)$ y $f(x,\ y,\ t)$ que has escrito son funciones diferentes. No es sorprendente que la derivada parcial de dos funciones diferentes sea diferente.

Tu confusión, supongo, viene de suponer que son la misma función, y eso viene en parte porque utilizamos el mismo símbolo ($f$) para ambas. Esto es una de esas cosas que los físicos hacemos de forma "poco formal". Para ser más rigurosos matemáticamente, a la segunda función le tendríamos que cambiar el nombre. Por ejemplo, $\tilde f(x,\ y,\ t)$. Matemáticamente, $\tilde f$ se define tal que así

$$\tilde f(x,\ y,\ t) = f(x,\ y,\ g(t),\ t) .$$

En tu ejemplo, $g(t)=\omega t$. Esto es la típica composición de funciones, y todos sabemos cómo calcular la derivada composición de funciones: la regla de la cadena.

Físicamente, la función $f$ te da la dependencia de cierta magnitud con respecto de las variables generalizadas que utilizas para describir el sistema. Esta es una dependencia general, para cualquier trayectoria del sistema. Una vez substituyes una de las variables generalizadas por su dependencia temporal, entonces ya no tienes esa descripción general. Fíjate que una vez que pones la dependencia temporal, ese $\omega = g(t)$ se convierte en una ligadura; y por lo tanto $\theta$ ya no es una variable generalizada del sistema. Físicamente, es otro sistema diferente, donde tú has forzado que $\theta$ tenga cierta dependencia temporal.

[rucky96]

Re: Derivadas parciales en física

Entonces si, por ejemplo, tengo un sistema físico con ligaduras y que dependan del tiempo. Resulta que puedo despejar alguna coordenada en función del tiempo.
La pregunta es entonces, ¿me interesa sustituir esas variables en función del tiempo en el lagrangiano del sistema? Y cómo afecta eso a la determinación de las variables cíclicas?

Muchas gracias por constestar

[pod]

Re: Derivadas parciales en física

Entonces si, por ejemplo, tengo un sistema físico con ligaduras y que dependan del tiempo. Resulta que puedo despejar alguna coordenada en función del tiempo.
La pregunta es entonces, ¿me interesa sustituir esas variables en función del tiempo en el lagrangiano del sistema? Y cómo afecta eso a la determinación de las variables cíclicas?

Muchas gracias por constestar

No es diferente a otro tipo de ligaduras que no dependan del tiempo. Un ejemplo muy simple: una partícula en 2-D con gravedad. El lagrangiano de la partícula libre es

$$\mathcal L = \frac12 m \big( \dot x^2 + \dot y^2 \big) - m g y.$$

Este es un sistema con dos grados de libertad (y una coordenadacíclica, $x$). Si ahora, en vez de una partícula libre, la sometemos a la ligadura de que se mueva en una circunferencia (un "looping"), por ejemplo $x^2 + y^2 = R^2$. Con esto, lo que harás será introducir coordenadas polares, pero donde el radio no será una variable generalizada sino un parámetro del problema. Las variables generalizadas siempre son libres, son lo que te queda una vez tienes en cuenta las ligaduras. En este ejemplo, solo te quedará una variable generalizada, el ángulo, $\theta$:

$$\mathcal L = \frac12 m R^2 \dot\theta^2 - m g R \sin \theta.$$

Éste será el lagrangiano del sistema, que por culpa de la ligadura es muy diferente al de la partícula libre, solo tiene un grado de libertad. Éste es el lagrangiano es el que tienes que utilizar para sacar variables cíclicas y tal. Éste ejemplo no tiene; pero si lo extiendes a 3D y en vez de una circunferencia tenemos un cilindro, entonces el Lagrangiano seria (coordenadas cilíndricas en el eje z)

$$\mathcal L = \frac12 m \Big( R^2 \dot\theta^2 + \dot z^2 \Big) - m g R \sin \theta.$$

Aquí $z$ es cíclica.

Al final, tienes que expresar el sistema en tus variables generalizadas, y esas las determinas con los grados de libertad que te quedan al tener en cuenta las ligaduras. Cada ligadura, dependa en el tiempo o no, te reduce un grado de libertad y por lo tanto pierdes una coordenada generalizada.

[rucky96]

Re: Derivadas parciales en física

A ver si lo he entendido bien:

· Las variables cíclicas solamente tienen sentido al trabajar con coordenadas generalizadas.
· Para su determinación se debe sustituir cada ligadura en el lagrangiano, sea o no sea la ligadura función explícita del tiempo.
· Si la ligadura involucra a una coordenada con el tiempo esta dejará de ser una coordenada generalizada.

Correcto?

Muchas gracias!

[pod]

Re: Derivadas parciales en física

A ver si lo he entendido bien:

· Las variables cíclicas solamente tienen sentido al trabajar con coordenadas generalizadas.
· Para su determinación se debe sustituir cada ligadura en el lagrangiano, sea o no sea la ligadura función explícita del tiempo.
· Si la ligadura involucra a una coordenada con el tiempo esta dejará de ser una coordenada generalizada.

Correcto?

Muchas gracias!

Por definición, el lagrangiano es un funcional de las coordenadas generalizadas (cg's), sus derivadas primeras, y quizá el tiempo. Así, pues, para escribir el lagrangiano lo primero que tienes que hacer es elegir qué cg's vas a utilizar. Necesitas una cg por cada grado de libertad del sistema. Cada ligadura te reduce un grado de libertad, y por lo tanto necesitarás una cg menos.

Una vez tienes definidas las cg's que vas a utilizar, debes escribir la energía cinética y la potencial en función de esas cg's. En efecto, para esta parte normalmente te hace falta utilizar la ecuación de las ligaduras. Solo pueden aparecer las cg's, parámetros del problema (como la masa, el radio del cilindro en mi ejemplo, etc) y, quizá, el tiempo.

Finalmente, el lagrangiano es simplemente energía cinética menos potencial.

Fíjate que siempre hay muchas formas de escoger las cg's, no solo una. En general, solemos querer usar las cg's que van mejor según las simetrías de las ligaduras. Por eso, en el ejemplo de la circunferencia hice el paso a polares; pero podría haber querido usar la y como cg, entonces habría tenido que substituir $x = \pm \sqrt{R^2 - y^2}$.

Al final, lo importante es que tienes que tener en cuenta es que cada funcional tiene que estar expresada en sus variables. El lagrangiano depende de las cg's, sus derivadas y del tiempo. Si resuelves las ecuaciones del tiempo y obtienes la función del tiempo que sigue cada coordenada y las substituyes en el lagrangiano, entonces lo que obtienes ya no es el lagrangiano porque no está en sus variables. Es una función del tiempo que tiene el mismo valor numérico que el lagrangiano, pero no es el lagrangiano, es una nueva función (es lo que te quería explicar en el primer mensaje; la podrías llamar $\tilde{\mathcal L}$).

[carroza]

Re: Derivadas parciales en física

Al final, lo importante es que tienes que tener en cuenta es que cada funcional tiene que estar expresada en sus variables. El lagrangiano depende de las cg's, sus derivadas y del tiempo. Si resuelves las ecuaciones del tiempo y obtienes la función del tiempo que sigue cada coordenada y las substituyes en el lagrangiano, entonces lo que obtienes ya no es el lagrangiano porque no está en sus variables. Es una función del tiempo que tiene el mismo valor numérico que el lagrangiano, pero no es el lagrangiano, es una nueva función (es lo que te quería explicar en el primer mensaje; la podrías llamar $\tilde{\mathcal L}$).

Hola. Un detallito a añadir a la excelente explicación de Pod:

El lagrangiano, como función de las coordenadas generalizadas, sus derivadas y (quizás) el tiempo, es único para un sistema dinámico dado. Por ejemplo, una partícula en una dimensión que se mueve en un potencial $V(x,t)$que depende del tiempo, tiene un lagrangiano $L(x, \dot x, t) = 1/2 m \dot x^2 - V(x,t)$.

Este lagrangiano es siempre el mismo, independiente de las condiciones iniciales de la particula, es decir, es la misma expresión independiente de que, en el instante t=0, la posición sea $x(0)=x_0$ y la velocidad sea $\dot x(0)=v_0$ . El lagrangiano es independiente de $x_0$ y de $v_0$ .

Sin embargo, si quisieras sutituir los valores de $x(t)$ y $\dot x(t)$ en la expresión del lagrangiano, la "cosa" que obtendrías, que Pod llama $\tilde{\mathcal L}$, sería una función del tiempo, pero también de $x_0$ y de $v_0$ .

Saludos

[rucky96]

Re: Derivadas parciales en física

El lagrangiano, como función de las coordenadas generalizadas, sus derivadas y (quizás) el tiempo, es único para un sistema dinámico dado. Por ejemplo, una partícula en una dimensión que se mueve en un potencial $V(x,t)$que depende del tiempo, tiene un lagrangiano $L(x, \dot x, t) = 1/2 m \dot x^2 - V(x,t)$.

No existían infinitos lagrangianos equivalentes para descibir el mismo sistema físico? Diferenciados por una derivada total

$\mathcal L'=\mathcal L + \frac{\mathrm{d}M(q,t)}{\mathrm{d}t}$

Sin embargo, si quisieras sutituir los valores de $x(t)$ y $\dot x(t)$ en la expresión del lagrangiano, la "cosa" que obtendrías, que Pod llama $\tilde{\mathcal L}$, sería una función del tiempo, pero también de $x_0$ y de $v_0$ .

Claro pero volvemos a lo de antes, pod ha dicho que sólo la función que esté expresada en sus coordenadas generalizadas es un lagrangiano. Está claro que la elección de las cg's es arbitraria. Entonces cuál es la diferencia entre usar $x(t)$ y $\dot x(t)$ (como tus cg's) o por sus expresiones dependientes de $t$? En este caso $x_0$ y $v_0$ serían nuestras cg's ahora? tendríamos un lagrangiano (pq está expresado en función de dos cg's) y dependiente del tiempo. Por lo que la $\frac{\partial\mathcal L}{\partial t}$ depende de una elección u otra de cg's

Por definición, el lagrangiano es un funcional de las coordenadas generalizadas (cg's), sus derivadas primeras, y quizá el tiempo. [...][/TEX]).

Cuando empleamos el método de multiplicadores de lagrange no sustituimos las ecuaciones de ligadura en el lagrangiano. Obtenemos tantas ecuaciones como grados de libertad más las de ligadura. En este caso se le podría llamar lagrangiano? No estaría expresado en función de sus cg's. Estrictamente son las coordenadas mínimas necesarias para la completa descripción del sistema y estaríamos usando coordenadas redundantes.

[carroza]

Re: Derivadas parciales en física

No existían infinitos lagrangianos equivalentes para descibir el mismo sistema físico? Diferenciados por una derivada total

$\mathcal L'=\mathcal L + \frac{\mathrm{d}M(q,t)}{\mathrm{d}t}$

Está claro que la elección de las cg's es arbitraria. Entonces cuál es la diferencia entre usar $x(t)$ y $\dot x(t)$ (como tus cg's) o por sus expresiones dependientes de $t$? En este caso $x_0$ y $v_0$ serían nuestras cg's ahora? tendríamos un lagrangiano (pq está expresado en función de dos cg's) y dependiente del tiempo. Por lo que la $\frac{\partial\mathcal L}{\partial t}$ depende de una elección u otra de cg's

Hola. Tienes razón en que, efectivamente, uno puede elegir muchos lagrangianos diferentes que dan las mismas exuaciones de movimiento. Lo que yo me refería es que, cualquiera de estos lagrangianos diferentes, describe un problema dinámico dado (por ejemplo, el movimiento de un columpio), sea cual sea la condicion inicial de movimiento del columpio (es decir, que esté quieto abajo, que se esté moviendo abajo, que esté quieto arriba, etc). Sin embargo, la trayectoria x(t) depende de las condicones iniciales, por lo que, si lo sustituyeras en la expresion del lagrangiano, tendrias una cosa que ya no es válida para cualquier condicion inicial, con lo que no podemos llamarlo lagrangiano.


Creo que, en estas cuestiones del lagrangiano, el problema está en el concepto de "derivada total". Uno puede dejarse llevar por lo que uno espera de este nombre, y pensar que si existe una "derivada total" del lagrangiano con respecto al tiempo, es que, en cierto modo, el lagrangiano es sólo una funcion del tiempo, y la dependencia en x y $\dot x$ es "solo" una complicación que podría evitarse. Esto no es correcto. A ver si soy capaz de explicarlo.

Olvidemos la física, y vayamos a un problema de matemáticas. Tengamos una función F(x,y,z), que depende de la posición de un punto en el espacio.

Para esta función, tiene sentido que hablemos de las derivadas parciales, ${\partial F \over \partial x}$, ${\partial F \over \partial y}$, ${\partial F \over \partial z}$.

No tiene ningun sentido que hablemos de una "derivada total" de F con respecto a x, ya que F es una función de varias variables, x, y, z, y no sólo de la variable x.

Sin embargo, si nos restringimos a estudiar la variación de F(x,y,z), a lo largo de una curva en el espacio, que podemos expresar paramétricamente con las funciones y(x) , z(x), entonces, podemos hablar de

"como cambia la función F(x,y,z) cuando nos movemos a lo largo de la curva y(x), z(x), dividido por la variación de x". A este concepto, abusando del lenguaje, le llamamos "derivada total de F con respecto a x, evaluada a lo largo de la trayectoria y(x) z(x)". En este contexto, tendriamos:

${d F \over d x}\vert_{y(x), z(x)} = {\partial F \over \partial x} +{\partial F \over \partial y} {d y \over d x} +{\partial F \over \partial z} {d z \over d x}$

De la misma forma que F(x,y,z) es una función de tres variables, y no de una, el lagrangiano $L(\dot x, x, t)$ es funcion de tres variables, no de una. Podemos, estrictamente, hablar solamente de las derivadas parciales de L. Solamente si suponemos una trayectoria dada, que podría ser a priori totalmente arbitraria, $x(t), \dot x(t)$, podriamos hablar de una "derivada total de L con respecto a t a lo largo de la trayectoria".

La gracia del lagrangiano es que sus derivadas parciales (que son las que tienen sentido en general), son las que determinan las ecuaciones que cumple la trayectoria física, a través de las ecuaciones de Euler lagrange.

Un saludo

[pod]

Re: Derivadas parciales en física

Cuando empleamos el método de multiplicadores de lagrange no sustituimos las ecuaciones de ligadura en el lagrangiano. Obtenemos tantas ecuaciones como grados de libertad más las de ligadura. En este caso se le podría llamar lagrangiano? No estaría expresado en función de sus cg's. Estrictamente son las coordenadas mínimas necesarias para la completa descripción del sistema y estaríamos usando coordenadas redundantes.

Yo diría que, estrictamente hablando, no, eso no es un Lagrangiano. El método de los multiplicadores te permite resolver el mismo problema extremal sin necesidad de escribir el lagrangiano. Pero a esa función con los multiplicadores, por ejemplo, no le puedes aplicar la transformada de Legendre para encontrar el Hamiltoniano.

Sin embargo, si nos restringimos a estudiar la variación de F(x,y,z), a lo largo de una curva en el espacio, que podemos expresar paramétricamente con las funciones y(x) , z(x), entonces, podemos hablar de

(...)

De la misma forma que F(x,y,z) es una función de tres variables, y no de una, el lagrangiano $L(\dot x, x, t)$ es funcion de tres variables, no de una. Podemos, estrictamente, hablar solamente de las derivadas parciales de L. Solamente si suponemos una trayectoria dada, que podría ser a priori totalmente arbitraria, $x(t), \dot x(t)$, podriamos hablar de una "derivada total de L con respecto a t a lo largo de la trayectoria".

Éste es un genial ejemplo. No sé si a rucky le ayudará que mencionemos en este contexto el concepto de funcional. Rucky, si no te ayuda, ignora este mensaje :P

Hablando de forma algo informal, solemos entender por función una aplicación que tiene por dominio "números" y donde el recorrido también son "números". Es decir, a una función le das uno o más números y te devuelve otro número. Un funcional es una aplicación donde el dominio es un espacio de funciones. Es decir, a un funcional le das una función y te devuelve un número. Nota para amantes de la rigurosidad matemática, lo que acabo de describir en realidad debería llamarse "función de orden superior"; un funcional es un concepto aún más general (se puede aplicar a cualquier espacio, no sólo de funciones).

En este caso, el funcional realmente importante en la formulación de Lagrange es la acción. Las ecuaciones de Euler-Lagrange no hacen más que resolver el problema de hacer que el funcional sea extremo. Es decir, encontrar que funciones hacen que el funcional acción sea extremo.

Como la acción es la integral del lagrangiano, así que podemos hablar el lagrangiano como un funcional que admite una serie de funciones de t y devuelve otra función de t (que es la que integramos en la acción). Cuando queremos calcular la derivada de ese funcional con respecto del tiempo, tenemos que tener en cuenta todas las cosas que pueden hacer que varie: puede ser que el funcional cambie con el tiempo debido a que las cg's varian con el tiempo; o puede ser que el funcional varie porque él depende explícitamente del tiempo.

Y, para ligar ésto con lo que decía en mensajes anteriores: fíjate que cuando hablamos de funciones, en realiidad la función es $f$, a secas. En cambio, $f(1)$, por ejemplo, ya no es la función, sino que es la imágen de la función para cierto valor de su dominio. Es un abuso de lenguaje que todos cometemos, pero en realidad $f(x)$, sino que es la imagen de la función para cierto valor. $f(x)$ es un número. En ese mismo sentido, cuando tu cojes el Lagrangiano y substituyes una cg por su dependencia temporal, has aplicado el funcional a una función concreta; así que ya no tienes ese funcional, sino la imagen del mismo para una función concreta. Por supuesto, físicamente tu puedes interpretar lo que has obtenido como un lagrangiano para otro sistema físico sometido a una ligadura, pero lo que está claro es que ya no describe el mismo sistema físico que antes.