1r ciclo Masa vinculada a un resorte rotando

[nico_palermo]

Hola gente, otra vez con una consulta, le di vueltas y vueltas a este ejercicio y ya me obnubilé. No sé que es lo que no estoy considerando o cual es mi error
Agradezco su ayuda.

El ejercicio dice así:

Una partícula de masa m apoyada en una mesa horizontal sin rozamiento, gira con velocidad angular constante unido a un resorte de constante k. Demostrar que |r| y |w| están relacionados por:

$|r| = |L| + \displaystyle\frac{|L|.m.|w|^2}{k}$
siendo L, la longitud del resorte sin estiramiento.

Considere:
$\displaystyle\frac{m.w^2}{k} << 1$

Partiendo de que
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$k.\Delta x=m.w^2.r$

Se que:
$r=L+\Delta x$
entonces: $\Delta x=r-L$

Reemplazando queda:

$k.(r-L)=m.w^2.r$
$k.r-k.L=m.w^2.r$
$k.L=k.r-m.w^2.r$
$k.L=r(k-m.w^2 )$

$r=\displaystyle\frac{k.L}{k-m.w^2 }$

Y eso no se parece a lo que tengo que demostrar, donde está el error o que falta hacer???

Gracias

[Al2000]

Re: Masa vinculada a un resorte rotando

Teorema del binomio:

$$\frac 1 {1 - \frac {m \omega^2} k} = \left ( 1 - \frac {m \omega^2} k \right )^{-1} \approx 1 + \frac {m \omega^2} k$$

Saludos,

AA

[nico_palermo]

Re: Masa vinculada a un resorte rotando

eeeeehhhhh, vaya no recuerdo haberlo visto para exponentes menores a 2...
En fin, serías tan amable de explicarme como llegas a esa similitud o donde puedo ver un ejemplo?

Teorema del binomio:

$$\left ( 1 - \frac {m \omega^2} k \right )^{-1} \approx 1 + \frac {m \omega^2} k$$

Muchas gracias

[Al2000]

Re: Masa vinculada a un resorte rotando

eeeeehhhhh, vaya no recuerdo haberlo visto para exponentes menores a 2...
En fin, serías tan amable de explicarme como llegas a esa similitud o donde puedo ver un ejemplo?

Es una generalización del binomio de Newton

$$(a + x)^n = a^n + n a^{n-1} x + \frac {n (n-1)}{2!} a^{n-2}x^2 + \hdots$$

Hasta donde yo se, que me corrija un matemático, se puede usar con cualquier valor de $n$. Para valores de $n$ negativos o fraccionarios $|x|$ está limitado a valores menores a la unidad.

Un ejemplo, tomando solo dos términos

$$\sqrt {1 + x} \approx 1 + \frac 1 2 x$$

Saludos,

AA

[nico_palermo]

Re: Masa vinculada a un resorte rotando

Estuve leyendo un poco y encuentro que la definición del polinomio de newton es la siguiente:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

pero con el exponente -1 queda -1! y eso no existe, o me equivoco?

[Al2000]

Re: Masa vinculada a un resorte rotando

pero con el exponente -1 queda -1! y eso no existe, o me equivoco?

Si y no. Esa fórmula solo es válida para n entero positivo y es una forma abreviada de escribir n(n-1)(n-2)... hasta tomar n-(k-1) factores, cuestión que siempre ocurre cuando arrancas con n entero positivo pero que nunca ocurre si n es negativo o una fracción, en cuyo caso tienes una serie infinita.

Saludos,

AA

[Jose D. Escobedo]

Re: Masa vinculada a un resorte rotando

A mi me parece que se puede ver desde muchos puntos de vista.

como una progresion geometrica:

$\displaystyle \frac{1}{1-x} = 1+x + x^2 + x^3 +...$

o como un polinomio o expansion de Taylor:

$\displaystyle \frac{1}{1-x} = f(0) + (x-0)f'(0) + \frac{(x-0)}{2!} f"(0)+ ...$

Ademas, el binomio de Newton puede ser dearrollado con el polinomio de Taylor y lo creo que le da validez a su utilizacion es " the rectification theorem"

[nico_palermo]

Re: Masa vinculada a un resorte rotando

Ahora me quedó claro, es una aproximación lineal, en este caso con un polinomio de Taylor de grado 1 y recordando que decía

Considere:
$\displaystyle\frac{m.w^2}{k}<<1$


Puedo aproximarlo en el punto x=0 con lo que me queda la fórmula de MacLaurin

Muchas gracias a los dos