Otras carreras Problema con una vitrina

[micr0]

Hola de nuevo,

Me gustaría plantearos el problema en el que me encuentro a día de hoy y que me está quitando por completo el sueño. Cualquier ayuda será agradecida ya que me encuentro totalmente atascado.

Os cuento mi problema....

Tenemos que diseñar una vitrina, esa vitrina tiene una base cuadrada(40cm x 40cm) y una altura de 2m. La vitrina no puede estar anclada al suelo por ningún tipo de sujeción ni apoyo. A la misma vez, la vitrina tiene que soportar la fuerza inoportuna de algún cliente que pueda golpearla sin querer(no se sabe la magnitud de la fuerza). La fuerza de dicho cliente se aplica en un lado(cualquiera) de la vitrina, en la zona más superior, de tal forma que el momento creado es máximo(suponemos el peor caso).

Justamente lo que hay que evitar es que esa vitrina caiga.
La vitrina esta hueca ya que la idea es que se exponga algo en su interior(por ej: gafas).

El problema está en saber que hay que hacer para evitar que dicha vitrina se caiga.

Por un lado había pensado en colocar un peso en la base, de tal forma que ese peso evite que una fuerza inoportuna haga caer la vitrina, perdiendo por ello zona de vitrina, pero evidentemente el cliente tampoco mira entre los primeros 50-70cm de base.

Tampoco quiero que me mal interpretéis, no se necesitan los valores exactos de resistencia que tiene que tener la vitrina ni nada, ya que no disponemos de ningún valor, sencillamente se requieren las fórmulas para determinar el problema, pero sin valores. Lo ideal es que esté en función del centro de gravedad de la pieza(que variará según si colocamos un peso o no en la base) y teniendo en cuenta el punto de aplicación de la fuerza.

He estado buscando información en temas de mecánica clásica, exactamente en equilibrio estable, pero no acabo de dar con la clave. Se me escapa algo de las manos. Ya que no consigo relacionar el centro de gravedad con el equilibrio de fuerzas de la vitrina.

Quiero agradecer de antemano la creación de este foro y la ayuda que en él se da de forma totalmente desinteresada.

[Nachop]

Re: Problema con una vitrina

Supongamos una recta imaginaria que pasa sobre la línea vertical del lado izquierdo de tu imagen y si la vitrina gira en torno al extremo inferior izquierdo, ésta se caerá si el centro de gravedad pasa la línea imaginaria, espero te sirva

[Al2000]

Re: Problema con una vitrina

Sin pensar mucho el problema, se me ocurre que el momento que aplica la fuerza del cliente descuidado o malicioso tiene que vencer el momento del peso de la vitrina. Con la vitrina en su posición normal, el momento de la fuerza del cliente es (fuerza) x (altura de la vitrina). El momento del peso de la vitrina es (peso) x (distancia del centro de gravedad a la pared posterior) y es máximo en la posición normal. Yo usaría este cálculo simple como una base de partida, ya que dependiendo de la forma en que se aplique la fuerza ésta en general no será constante.

Una expresión un poco mas elaborada, basada en la idea de que la fuerza del cliente debe suministrar la energía necesaria para que el centro de gravedad de la vitrina suba la altura necesaria hasta traspasar la línea vertical que pasa por el apoyo (como menciona Nachop) sería

$$F \sqrt {H^2 + W^2} \left ( \frac \pi 2 - \tan^1 \frac h x\right ) = M g \left ( \sqrt {x^2 + h^2} - h \right )$$

Donde F es la fuerza del cliente, supuesta constante y perpendicular a la diagonal de la vitrina, una suposición poco realista, pero lo interesante es que la fuerza del cliente, si es aplicada horizontalmente sería menos eficiente y por consiguiente debería ser mayor para volcar la vitrina.

H y W son la altura y el ancho de la vitrina, x y h son la posición del centro de gravedad medidos desde la esquina inferior trasera y M es la masa de la vitrina.

Me encantaría ver este problema resuelto por los chicos de Física moderna de una forma mas rigurosa de lo que está aquí.

Saludos,

AA

[Al2000]

Re: Problema con una vitrina

Ya tuve tiempo de matar la curiosidad y ver el problema en un poco mas de detalle. Haciendo la simplificación que el desconsiderado cliente tenga sin embargo la consideración suficiente para mantener las fuerzas en equilibrio, de modo que la vitrina no acelere, entonces se puede resolver el problema considerando que la variación en cada momento de la energía potencial de la vitrina es igual al trabajo realizado por la fuerza del cliente.

Con referencia a la figura



usemos las variacles auxiliares $r, R, \alpha \text {y} \beta$ para no escribir demasiado. Tenemos que

$$r = \sqrt {x^2 + h^2} ,\ R = \sqrt {H^2 + W^2} ,\ \alpha = \tan^{-1} \frac h x ,\ \beta = \tan^{-1} \frac H W$$

Cuando la vitrina gire un ángulo $\theta$, tendrá una energía potencial $U = M g r \ \mathrm sen (\alpha + \theta)$, donde $M$ es la masa de la vitrina. Entonces un giro infinitesimal $d \theta$ producirá un cambio de energía

$$dU = M g r \cos (\alpha + \theta) d \theta$$

Pero este cambio de energía es atribuíble al trabajo de la fuerza $F$ que aplica el cliente. Esta fuerza, supuesta horizontal constantemente, aplica un momento $\tau = R F \ \mathrm sen (\beta + \theta)$ y por lo tanto hace un trabajo

$$dU = \tau d \theta = R F \ \mathrm sen (\beta + \theta) d \theta$$

Comparando (1) y (2), llegamos a

$$F = \frac {M g r \cos (\alpha + \theta)}{R \ \mathrm sen (\beta + \theta)}$$

El ángulo crítico que debe superar $\theta$ para que la vitrina vuelque es

$$\theta_c = \frac \pi 2 - \alpha = \frac \pi 2 - \tan^{-1} \frac h x$$

y el valor medio de la fuerza aplicada sería

$$\bar F = \frac {\displaystyle \int_0^{\theta_c}F d \theta}{\theta_c}$$

El máximo valor de la fuerza ocurre cuando $\theta = 0$, como escribí en el primer mensaje.

Saludos,

AA

[micr0]

Re: Problema con una vitrina

Hola de nuevo,

Quiero agradecer antes que nada la ayuda por parte de Nachop y Alberto Acedo por haberme ayudado en la resolución de este problema. El problema está prácticamente solucionado y estoy increíblemente impresionado de los conocimientos que esta comunidad tiene. Agradezco de nuevo la participación de estos 2 usuarios y espero a partir de hoy ser un usuario más y ayudar a la gente que lo necesite como vosotros habeis hecho conmigo.

Un cordial saludo!

[micr0]

Re: Problema con una vitrina

Hola A...

[Al2000]

Re: Problema con una vitrina

No hay problema La variable $U$ la usé con doble propósito, como el valor de la energía potencial gravitacional de la vitrina y como el trabajo realizado por la fuerza aplicada. En ausencia de otras fuerzas, cualquier variación de la energía de la vitrina debe ser igual al trabajo realizado sobre élla por la fuerza aplicada (conservación de la energía). La rata de variación, tomando como variable el ángulo que forma la vitrina con la horizontal, es simplemente $dU / d \theta$. De allí obtienes la variación de la energía para cualquier (muy pequeño) cambio del ángulo. Similarmente para el trabajo de la fuerza. La fuerza aplicada ejerce un torque $\tau$ y con este torque realiza un trabajo $\tau d \theta$ al girar la vitrina un ángulo $d \theta$. Lo que resta es igualar las dos expresiones obtenidas y así conseguir una expresión que te relacione la fuerza aplicada en cada posición $\theta$ de la vitrina, asumiendo siempre que no está acelerando.

Lo releo y no se si me expliqué con claridad Espero que te sirva.

Saludos,

AA

PD. Tal vez debí hacer mas énfasis que lo importante son los cambios. Esa es la razón de tomar las derivadas.

[micr0]

Re: Problema con una vitrina

Mmm.... me

[Al2000]

Re: Problema con una vitrina

No acabo de entender la diferencia entre derivarla o no derivarla, luego entiendo que las unes para poder sacar F, pero F es la fuerza necesaria para tumbar la vitrina no?

El torque se supone que es la fuerza que ofrece el cliente despistado, pero como te comentaba porque no aplicar las formulas directamente sin derivarlas?

Bien, decirte de nuevo lo mismo que dije antes no creo que tenga mucho sentido, de manera que te pongo un ejemplo de algo completamente diferente a ver si supero mi incapacidad de transmitirte la idea.

Aquí lo que importan son las variaciones. La energía como valor absoluto no tiene ningún significado a menos que establezcas un valor de referencia. El trabajo no es algo que existe, sino que se realiza. Hay un sentido de cambio, de alteración, al hablar de trabajo. Ahora piensa en este otro ejemplo de algo absolutamente distanciado de la vitrina.

Digamos que tu quieres saber cuanta gasolina consume tu automóvil. Por supuesto sabes que la respuesta depende de la distancia, pero nunca se te ocurriría simplemente dividir el volumen de gasolina en tanque entre el kilómetro de la autopista en donde estés parado. Para saber el consumo deberás manejar una cierta distancia, determinar cuanta gasolina gastaste, que distancia recorriste y luego hacer la división. En este caso el cociente de la cantidad de gasolina en tu auto entre el kilómetro de la autopista no tiene ningún significado, solo el cociente de las variaciones.

Quizá simplemente me estoy enrollando mucho y enrollándote a ti en el proceso cuando lo que te debería decir es que el principio Físico usado en la solución del problema establece que el cambio de energía del sistema es igual al trabajo realizado sobre él (me estoy dejando por fuera algo que no viene al caso).

De todas formas este tratamiento físico del problema no sustituye lo que te dice el sentido común y la experiencia: pónle una base mas ancha y pesada a la vitrina si corres el riesgo de que la tumben de manera que el eje de giro no quede en el extremo de la base y sea mucho mas difícil desplazar en centro de gravedad.

Saludos,

AA

PD. Si, la fuerza calculada es la fuerza necesaria para tumbar la vitrina, bajo el supuesto de que no acelere. Tal como te indica la experiencia, para volcar un objeto que está en posición estable al principio tienes que aplicar una fuerza mayor que cuando el objeto ya casi vuelca. Eso está reflejado en el resultado en donde la fuerza calculada es máxima para un ángulo 0° y luego va disminuyendo hasta anularse cuando tengas la vitrina en equilibrio precario sobre su borde inferior.

[micr0]

Re: Problema con una vitrina

Gracias...

[Al2000]

Re: Problema con una vitrina

Si no te lo has leído, te recomiendo http://forum.lawebdefisica.com/threa...4730#post54730. Muy esclarecedor...

Saludos,

AA