1r ciclo Rodando sobre un cilindro

[nico_palermo]

Hola a todos, les pido ayuda con este ejercicio porque no se por dónde empezar, no quiero que me lo resuelvan, sino que me orienten como debería plantearlo.

¿Cuál es la condición para que la esfera se "desprenda" del cilindro? creo que sabiendo eso lo podré resolver

Una esfera homogénea parte del reposo desde un punto de la generatriz superior de un cilindro y desciende rodando sin resbalar sobre la superficie cilíndrica.
Hallar el ángulo θ que forma el radio que pasa por el punto en que la esfera abandona la superficie cilíndrica.


Muchas gracias
Saludos

[Al2000]

Re: Rodando sobre un cilindro

Pues yo diría que se "desprenderá" cuando su velocidad forme un ángulo mayor de 90° con el radio.

Saludos,

AA

[nico_palermo]

Re: Rodando sobre un cilindro

Gracias pro responder, pero no veo como calcular si el ángulo es mayor de 90º.

Se me ocurrió que podría hacerlo así:

La fuerza centripeta debe ser de igual módulo que la componente del peso sobre el cilindro, de esta forma tengo que:

$F_C=P_Y$
$m.w^2.R=m.g.cos (\theta)$
$\theta=arccos \left(\displaystyle\frac{w^2.R}{g}\right)$

y ya que el ejercicio esta en la unidad de Energía uso conservación de energía para hallar la velocidad angular

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
$m.g.h=\frac{1}{2}m.v^2+\frac{1}{2}I.w^2$
$m.g.h=\frac{1}{2}m.w^2.r^2+\frac{1}{2}.\frac{2}{5}m.r^2.w^2$
$g.h=\frac{7}{10}.w^2.r^2$
$w^2=\displaystyle\frac{10.g.h}{7.r^2}$

y la altura es
$h=R.cos(\theta)$

Juntando todo obtengo:
$cos(\theta)=\displaystyle\frac{10.g.R.cos(\theta)}{7.r^2}.\displaystyle\frac{R}{g}$

$cos(\theta)=\displaystyle\frac{10.R^2.cos(\theta)}{7.r^2}$

$cos^2(\theta)=\displaystyle\frac{10}{7}\displaystyle\frac{R^2}{r^2}$

$\theta=arccos \left(\sqrt{\displaystyle\frac{10}{7}}\displaystyle\frac{R}{r}\right)$

Pero la respuesta que figura en la guía es

$\theta=arccos \left(\displaystyle\frac{10}{17}\right)$

Que está mal en mi planteo?

[polonio]

Re: Rodando sobre un cilindro

Se desprende cuando la reacción entre los dos cuerpos se anula. Ni más, ni menos :P

[nico_palermo]

Re: Rodando sobre un cilindro

Eso es lo que planteé, so?

Que está mal?

[Al2000]

Re: Rodando sobre un cilindro

Ok, yo llego al resultado que dice la guía pero solo si consideras que el radio de la esfera es cero, como si fuera una partícula, lo cual me parece ridículo si van a decir que rueda sobre el cilindro. El resultado al que llego yo es

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
donde $r$ sería el radio de la esfera tal cual lo usaste tu. La diferencia entre mi cálculo y el tuyo es que tu estás tomando la energía potencial como $m g R \cos \theta$ mientras que yo pongo $m g (R+r)(1-\cos \theta)$ (que es el cambio). La otra diferencia es que usaste como velocidad angular para la fuerza centrípeta la misma velocidad angular de rotación de la esfera, mientras que yo usé $\dst \omega' = \frac r R \omega$.

Me disculpas mi primer mensaje. Yo se que fue absolutamente inútil, pero es que tenía a mi esposa fastidiando porque debíamos salir y lo escribí en una carrera con el cerebro en automático.

Saludos,

AA

[polonio]

Re: Rodando sobre un cilindro

Efectivamente, como dice Alberto, te olvidas del radio de la esfera pequeña. En este problema, no es puntual. Así que cambia la vel. angular y la altura.

[nico_palermo]

Re: Rodando sobre un cilindro

Siguiendo los consejos de ambos rehice el ejercicio y quedó así:

La fuerza centripeta debe ser de igual módulo que la componente del peso sobre el cilindro, de esta forma tengo que:

$F_C=P_Y$
$m.w^2.(R+r)=m.g.cos (\theta)$
$w^2=\displaystyle\frac{g.cos (\theta)}{R+r}$ (1)

y ya que el ejercicio esta en la unidad de Energía uso conservación de energía para hallar la velocidad angular

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$m.g.h_o=\frac{1}{2}m.v^2+\frac{1}{2}I.w^2+m.g.h_F$

$h_o=R+r$
$h_F=(R+r).cos(\theta)$
$w=\displaystyle\frac{v}{r}$

$m.g.(R+r)=\frac{1}{2}.m.v^2+\frac{1}{2}.\frac{2}{5}m.r^2.\displaystyle\frac{v^2}{r^2}+m.g.cos(\theta).(R+r)$

$g.(R+r)-g.cos(\theta).(R+r)=\frac{1}{2}v^2+\frac{1}{5}v^2$

$g.(R+r)(1--cos(\theta))=\frac{7}{10}v^2$

$\displaystyle\frac{10}{7}.g.(R+r)(1-cos(\theta))=v^2$

$v^2=w^2.(R+r)^2$

$\displaystyle\frac{10}{7}.g.(R+r)(1-cos(\theta))=w^2.(R+r)^2$

$\displaystyle\frac{10}{7}.\displaystyle\frac{g.(1-cos(\theta))}{(R+r)}=w^2$ (2)

Juntando (1) y (2) obtengo:

$\displaystyle\frac{10}{7}.\displaystyle\frac{g.(1-cos(\theta))}{R+r}=\displaystyle\frac{g.cos (\theta)}{R+r}$

$\displaystyle\frac{10}{7}-\displaystyle\frac{10}{7}cos(\theta)=cos (\theta)$

$\displaystyle\frac{10}{7}=\displaystyle\frac{17}{7}cos(\theta)$

$\displaystyle\frac{10}{17}=cos(\theta)$

$arccos(\theta)=\displaystyle\frac{10}{17}$

Que la respuesta que figura en la guía

Muchas gracias a ambos

[Al2000]

Re: Rodando sobre un cilindro

Je je hay veces que uno no ve la piedra con la que se tropieza aunque se tropiece una y mil veces Tu mensaje me hizo darme cuenta de mi error cuando tomé la velocidad angular de giro en torno al cilindro como $\dst \omega ' = \frac r R \omega$. Al hacerlo omití el radio $r$de la esfera que hace que la órbita en torno al eje del cilindro sea de radio $R+r$; al poner $\dst \omega ' = \frac r {R+r} \omega$ en mis cálculos (rescatados de la papelera), mi resultado coincide con el tuyo y la guía.

Un comentario sobre un formalismo en tu desarrollo: estás usando incorrectamente el mismo nombre $\omega$ para la velocidad de rotación de la esfera sobre su propio eje y su velocidad de rotación en torno al eje del cilindro. Aunque en la forma que lo hiciste no afectó tus cálculos, en verdad no son iguales (nota la contradicción entre las ecuaciones 8 y 13).

Saludos,

AA

[nico_palermo]

Re: Rodando sobre un cilindro

Si, es cierto lo que decís, de hecho ese detalle me llevó a una confusión en los cálculos en un primer momento, pero luego me quedé con eso en la cabeza y aunque no lo escribí, lo entendí

Gracias
Saludos