una varilla y una bala

[c-1987]

hola buenas, estoy intentando hacer el siguiente ejercico pero nada, no me sale...haber si me podeis ayudar. el ejercico dice asi:
una varilla de 1m de longitud y 1kg de masa se suspende del extremo superior. la densidad lineal de su mitad inferior es el doble que la de su mitad superior.
a) obtened la poscion del centro de masa de la varilla y su momento de inercia.
estando la varillas en reposo, incide en el extremo inferior un proyectil de 10kg de masa con una velocidad de 100m/s y se incruta en la varillas.
b) ¿ cual es la velocidad angular de la varilla inmediatamente depues del choque?
c) ¿ cual es el angulo maximo de elevacion de la varilla?

haber si los mas experimentados me podrian exar una mano porque yo no doy con la solucion...muchisimas gracias...

[pod]

Re: una varilla y una bala

a) obtened la poscion del centro de masa de la varilla y su momento de inercia.

El centro de masas de cada una de las dos mitades está justo en el centro de cada segmento. Por lo tanto basta con hacer la media ponderada de cada una. Sea M la masa total, y L la longitud total (sabemos los valores, pero da igual ). Llamo z a la dirección vertical, tomando z=0 el extremo superior;

$\displaystyle z_\text{cm} = \frac{\sum z_i m_i}{\sum m_i}= \frac{-L/4\cdot M/3 + (-L/2-L/4) \cdot 2M/3}{M} = - \frac{7}{12} L\ ,$

es decir, el centro de masas está 7/12 metros por debajo del extremo. O sea, unos 8.3cm por debajo de la mitad.

Para el momento de inercia, no hay más remedio que integrar. Tomando $\lambda = (M/3) / (L/2) = 2M/(3L)$ como la densidad de la mitad superior, tenemos

$\displaystyle <br /> \begin{aligned}I &= \int_0^{-L/2} (-\mathrm{d}z)\, \lambda z^2 + \int_{-L/2}^{-L} (-\mathrm{d}z)\, 2\lambda z^2 \\<br /> &= \lambda \frac13 L^3 \left( \frac{1}{2^3} + 2 - \frac{2}{2^3} \right) \\<br /> & = \lambda \frac{5}{8} L^3 = \frac{5}{12} M L^2 \ .<br /> \end{aligned}$

En el último paso hemos utilizado el valor de $\lambda$. Fíjate que como integramos hacia abajo, $\mathrm{d}z$ es negativo y para tener un diferencial de masa positivo tenemos que incluir el signo explícito, $\mathrm{d}m = - \mathrm{d}z \lambda$.

estando la varillas en reposo, incide en el extremo inferior un proyectil de 10kg de masa con una velocidad de 100m/s y se incruta en la varillas.
b) ¿ cual es la velocidad angular de la varilla inmediatamente depues del choque?

En una colisión se conserva el momento angular. Antes del choque todo el momento angular viene de la bala (por cierto, ¿10kg?, pedazo de bala);

$L_0 = m_{b} v_{v} L \ .$

Tras la colisión, todo el momento angular viene de la rotación del conjunto varilla+bala,

$L_f = (m_b L^2 + I) \omega \ .$

Igualando los momentos anterior y posterior, puedes calcular fácilmente la velocidad angular.

c) ¿ cual es el angulo maximo de elevacion de la varilla?

Puedes utilizar conservación de la energía. Justo después del choque toda la energía es de rotación

$E_0 = \frac{1}{2} (m_b L^2 + I) \omega^2 \ .$

Cuando se para, toda la energía es gravitatoria. Para calcular la energía gravitatoria de la vara, puedes considerarla como toda la masa concentrada en su centro de masas, calculado en el punto 1:

$E_f = m_b g L (1-\cos\theta) + M g z_\text{cm}(1-\cos\theta) \ .$

Si necesitas más indicaciones, realiza preguntas más concretas.