Otras carreras Coordenadas esféricas

[Nachop]

Si me pudieses ayudar con este ejercicio se los agradecería mucho: Mis dudas van con las correlaciones, ¿el ángulo $\alpha$ sería como el $\theta$ de las coordenadas esféricas? y aún no veo bien qué importancia tiene el ángulo $\beta$ ¿tendrá relación con el ángulo $\phi$?

Lo único que he obtenido es que $<br /> \vec r\left( t \right) = \sin \alpha \left( {l_0 - h\left( t \right)} \right)\hat r<br />$, pero no veo cómo obtener ese $h\left( t \right)$, quizás ahí aparezca $\beta$?

Muchas gracias de antemano

[Al2000]

Re: Coordenadas esféricas

Mis dudas van con las correlaciones, ¿el ángulo sería como el de las coordenadas esféricas?

$\theta$ sería constante y valdría $\pi - \alpha$

y aún no veo bien qué importancia tiene el ángulo ¿tendrá relación con el ángulo ?

El ángulo $\beta$ te permite descomponer la velocidad en sus componentes radiales y transversales. Nota que la generatriz es $r$ si el origen está en el vértice. Entonces $\dst v_r = v \cos \beta$ y $v_\phi = v \, \mathrm {sen} \, \beta$.

Espero esto te oriente. Saludos,

Al

[Nachop]

Re: Coordenadas esféricas

Gracias Al por tu pronta respuesta

$\theta$ sería constante y valdría $\pi - \alpha$

Mira, yo creo que el ángulo $\alpha$ es el que tiene como esa curva



Y en ese caso $\theta=\alpha$ cierto?

El ángulo $\beta$ te permite descomponer la velocidad en sus componentes radiales y transversales. Nota que la generatriz es $r$ si el origen está en el vértice. Entonces $\dst v_r = v \cos \beta$ y $v_\phi = v \, \mathrm {sen} \, \beta$.

Lo que está en negrita no lo veo bien...

Como la fórmula general para la velocidad en coordenadas esféricas es: $<br /> \vec v = \dot r\hat r + r\dot \phi \sin \theta \cdot \hat \phi + r\dot \theta \hat \theta <br />$ entonces el tercer término es cero y $<br /> \dot r = v_0 \cos \beta \wedge r\dot \phi \sin \theta = v_0 \sin \beta <br />$ ?

[Al2000]

Re: Coordenadas esféricas

El ángulo $\theta$ se mide desde el eje vertical (a menos que tomes el sistema de coordenadas patas pa'rriba) y sería el suplemento del ángulo que dibujaste, que en efecto es el semiángulo $\alpha$.

Como la fórmula general para la velocidad en coordenadas esféricas es: entonces el tercer término es cero y ?

Si la casita es un "y" coloquial y no un "y" lógico se ve bien. No veo que es lo que no ves Por cierto que el dato que te dan $l_0$ sería $r_0$ y debes estar en libertad de elegir $\phi_0 = 0$ ya que no se especifica nada en contra.

Saludos,

Al

PD. Mirándolo bien si te da la gana de tomar el cono hacia arriba no estarías alterando el enunciado que no aclara la orientación del cono, solo que el origen se tome en el vértice. Si tomas el cono hacia arriba entonces $\theta = \alpha$ y el único efecto es que la partícula gira en sentido opuesto

[Nachop]

Re: Coordenadas esféricas

aah ya te entendí, no sabía que era tu $r_0$ y ya entiendo mejor cómo trabajar con estas coordenadas

Y claro, era un "y" normal, así que tendría lo siguiente, suponiento que $r(0)=\phi (1)=0$, tengo:

$<br /> \begin{gathered}<br /> r\left( t \right) = v_0 \cos \left( \beta \right)t \hfill \\<br /> \dot \phi = \frac{{v_0 \sin \beta }}<br /> {{r\left( t \right)\sin \alpha }} = \frac{{\sin \beta }}<br /> {{\sin \alpha \cos \left( \beta \right)t}} \Rightarrow \phi \left( t \right) = \tan \beta \csc \alpha \ln \left( t \right) \hfill \\ <br /> \end{gathered} <br />$

Entonces para sacar la aceleración ya sería una rutina teniendo esto

Gracias Al

[Al2000]

Re: Coordenadas esféricas

¡Mosca!, que $\dst r_{(0)}$ no es cero, sino $\dst l_0$. Sería mas bien algo como $\dst r_{(t)} = l_0 + (v_0 \cos \beta) \, t$.

Bye,

Al

[Nachop]

Re: Coordenadas esféricas

Sería mas bien algo como $\dst r_{(t)} = l_0 + (v_0 \cos \beta) \, t$.

No debería ir un signo menos?

Me nació una duda más conceptual... en clases vi que $<br /> \vec v = \left\| {\vec v} \right\|\hat t<br />$, donde $<br /> \left\| {\vec v} \right\|<br />$ es la rapidez, y como en el enunciado dice que la rapidez es constante, no debería tener componente radial... entonces el ángulo betha no sirve de mucho

edit: se me olvidó decir que $\hat t$ es el vector tangente

[Al2000]

Re: Coordenadas esféricas

¿Por qué menos? Como yo lo veo, $r$ está aumentando... respecto a lo segundo, no estoy muy seguro de lo que estás planteando. De nuevo mi forma de ver el asunto, no necesariamente correcta, es que la partícula está avanzando a lo largo de la generatriz del cono con rapidez constante mientras que cada vez irá girando mas lento (con menor velocidad angular) alrededor del eje del cono. En todo caso el vector $\boldsymbol u_t$ no es tangente a un círculo, sino mas bien a una trayectoria helicoidal de paso constante y cuyo radio aumenta en el tiempo.

Saludos,

Al

[Nachop]

Re: Coordenadas esféricas

Ahora sí todo entendido! muchas gracias por tu paciencia!