Rodadura.

[Aretno]

Buenas, soy nuevo por aquí y necesito ayuda para una duda que tengo con un problema :P

Una esfera inicialmente en reposo, en el punto más alto de una gran esfera fija, comienza a rodar sin deslizamiento por la superfície de la esfera. Determinar el ángulo desde el polo (punto más alto) de la esfera grande hasta el punto donde la pequeña pierde el contacto con aquella. El radio de la pequeña es 1 cm y de la grande 8 cm.
Sol: 54º

No pido que me lo resolváis aunque me gustaría ayuda para poder plantearlo y saber que condiciones se tienen que cumplir en el momento de separarse de la otra bola... muchas gracias.

[[Beto]]

Re: Rodadura.

Hola,

Para resolver el problema tienes que hacer mas o menos los siguientes pasos:

1. Hacer el diagrama de cuerpo libre en el punto donde la esfera pequeña esta a punto de despegarse y aplica le segunda ley de newton en el eje que sea conveniente.
2. Teniendo en cuenta las leyes de conservación de la energía, recuerda que al tomar en cuenta las dimensiones de la esfera pequeña tienes que considerar además la energía cinética de rotación de esta.
3. Del paso (2) calcula la velocidad que posee la esfera en ese punto.
4. Reemplaza esta velocidad en la ecuación obtenida en (1) pues recuerda que al aplicar la segunda ley de Newton tendrás que $F_c=ma=m\dfrac{v^2}{R+r}$ (R: es el radio de la esfera grande, r: radio de la esfera pequeña).
5. Luego de la ecuación (1) despeja la normal y para encontrar el punto solamente ten en cuanta que en para ese instante $N=0$.
6. Luego despejas el ángulo.

Espero que esto te sea de ayuda.

Un saludo.

[pod]

Re: Rodadura.

Oh! Yo tuve este problema exactamente en un examen

[Aretno]

Re: Rodadura.

Bueno, tengo que entregar el problema mañana y no he conseguido que cuadre con la solución, espero que al menos me cuenten algo, muchas gracias por la ayuda :P

Me quedo con la ecuacion que dices para aislar v y esta de las energias:

mg(2r+r) = mg (R+Rcos + rcos) + 1/2mv^2+1/(5(R+r))mr^2*v^2

Voy operando y me da que el ángulo vale 60.16...

Aunque lo entregue mañana si alguien me sube un archivo con el ejercicio resuelto o me apunta donde he fallado se lo agradecería, nunca está de más aprender de los errores

[[Beto]]

Re: Rodadura.

Veamos para la solución haré uso de la siguiente figura:

Del gráfico es fácil apreciar que:

$\cos\theta=\dfrac{h}{R+r}$ ............ (1)

Además del diagrama de cuerpo libre en la dirección radial se tiene que:

$\displaystyle ma_c=m\frac{v^2}{R+r}=mg\cos\theta-N$ ......... (2)

Luego teniendo en cuenta que para este caso se conserva la energía es decir:

$\displaystyle \Delta U_g+\Delta T_t+\Delta T_r=0$

Se tiene que:

$\displaystyle (mgh-mg(R+r))+(\frac{1} {2}mv_B^2-0)+(\frac{1}{2}I\omega^2-0)=0$

Y teniendo en cuenta que por tratarse de una esfera $I=\dfrac{2}{5}mr^2$ y $\displaystyle \omega=\frac{v_B^2}{r^2}$ resulta:

$\displaystyle mv^2_B=\frac{10}{7}mg(R+r-h)$ .............. (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1) y despejando $h$ se llega a que:

$\displaystyle h=\frac{10}{17}(R+r)$ ............. (4)

Luego reemplazando (4) en (1) se obtiene que:

$\displaystyle \cos\theta=\frac{10}{17}$

Por lo tanto:

$\displaystyle\theta=\arccos\frac{10}{17}\approx 54^0$

Es interesante notar que el resultado no depende de los radios de las esferas en contacto.

Con esto queda resuelto el ejercicio.

Pd: Este ejercicio también se puede resolver encontrando la ecuación de movimiento de la esfera pequeña pero resulta más complicado así que es mas conveniente usar el principio de conservación de la energía.

[Aretno]

Re: Rodadura.

Muchísimas gracias, cuando intente hacerlo me líe con los radios y no pense en hacer el diagrama en dirección radial :P

[pod]

Re: Rodadura.

$\displaystyle mv^2_B=\frac{10}{7}(R+r-h)$ .............. (3)

En esta ecuación falta un mg tras el igual. Debe ser un simple typo al copiar, por que el resto está bien.

[[Beto]]

Re: Rodadura.

En esta ecuación falta un mg tras el igual. Debe ser un simple typo al copiar, por que el resto está bien.

Listo ya lo corregí ... se me paso al escribir .

Gracias por avisar .

[pod]

Re: Rodadura.

Añadí este problema a la web: http://www.lawebdefisica.com/problem...nchpod20071201

Si me hubiera acordaba que estaba aquí habría sido más rápido