1r ciclo Sistema de poleas con masas unidos a un dispositivo...

[Templario777]

Hola,

tengo este problema.

Dos masas m1 y m2 ( m2= 2m1 ) se encuentran unidas mediante una cuerda ideal un sistema de poleas sin masa y a un dispositivo D como se muestra en la figura. Este dispositivo enrolla la cuerda de modo que la longitud total de la misma l disminuye verificándose que l´´ es constante y l´´ < 0. Si el sistema parte del reposo con la masa m2 apoyada en el piso, ¿Qué relación debe cumplir l´´ para que en el instante inicial m1 empiece a subir y m2 se mantenga apoyada en el piso?

Aclaración: l´´ es la derivada segunda de l.

¿Algunda idea para resolverlo?

Saludos,
T777

[Al2000]

Re: Sistema de poleas con masas unidos a un dispositivo...

Así al ojo me pareció -6g, pero no lo puedo mirar con calma en este momento. Si me lo confirmas te lo explico cuando regrese (sino lo tendré que pensar mejor ja ja ja).

Saludos,

Al

[Templario777]

Re: Sistema de poleas con masas unidos a un dispositivo...

Si es esa. Jajá. A ojo???

SaluT!
T777

[Al2000]

Re: Sistema de poleas con masas unidos a un dispositivo...

Bueno, una cuenta rápida: Tensión de la cuerda = peso cuerpo 2 (a punto de moverse) => al cuerpo 1 se aplican 2 tensiones = 2 peso 2 = 4 peso 1 => fuerza neta cuerpo 1 = 3 peso 1 => aceleración cuerpo 1 = 3g => aceleración cuerda = 6g.

Este último paso se debe a que la distancia que se desplaza la polea es la mitad de la longitud de cuerda que recoges

Saludos,

Al

[Al2000]

Re: Sistema de poleas con masas unidos a un dispositivo...

¿Por casualidad no te preguntaste y si... la aceleración no fuese 6g? Yo si y me entretuve unos minutos averiguando cómo quedaría el asunto.

Supón que la aceleración es mayor que el valor calculado (cuando digo mayor me refiero a valor absoluto). Ahora se ejerce sobre el cuerpo 2 una fuerza suficiente para levantarlo; digamos que ambos cuerpos están subiendo con aceleraciones $a_1$ y $a_2$



El balance de fuerzas sobre el cuerpo 1 es: $\dst 2 T - m_1 g = m_1 a_1$

Y sobre el cuerpo 2: $\dst T - m_2 g = m_2 a_2$

de donde podemos eliminar la tensión y obtener la relación: $\dst (2 m_2 - m_1) g = m_1 a_1 - 2 m_2 a_2$

Al sustituir la condición $\dst m_2 = 2 m_1$ se obtiene la relación: $\dst a_1 = 4 a_2 + 3 g$

Podemos relacionar estas aceleraciones con la aceleración a la cual se recoje la cuerda notando que $\dst \ddot l = 2 a_1 + a_2$. Que esta relación es cierta puede verificarse si reconocemos que

$l = 2 l_1 + l_2 + 2 l_{\text poleas} \quad \Rightarrow \quad \dot l = 2 \dot l_1 + \dot l_2 \quad \Rightarrow \quad \ddot l = 2 \ddot l_1 + \ddot l_2$

donde $l_1$ y $l_2$ son las longitudes de los segmentos de cuerda que sujetan los cuerpos 1 y 2, respectivamente.

Combinando las dos relaciones entre las aceleraciones, llegamos finalmente a

$\dst a_1 = \frac 1 9 (4 \ddot l + 3 g) \,, \quad a_2 = \frac 1 9 (\ddot l - 6 g)$

que será válida para valores de $\ddot l$ mayores (valor absoluto) que $6g$.

Si la cuerda se recoge mas lentamente el cuerpo 2 permanece apoyado en el piso ($a_2 = 0)$ y el cuerpo 1 sube con una aceleración igual a la mitad de la aceleración de la cuerda ($a_1 = \frac 1 2 \ddot l$).

Saludos,

Al