1r ciclo Frecuencias de los Modos Normales

[Maxi232]

Dos átomos de masa m, estan situados a ambos lados del átomo de masa 2m y vinculados por resortes de constante k y longitud natural lo. Analizando solo los modos longitudinales:
1)Hallar las frecuencias de los modos normales.

Hola, tengo problemas con este ejercicio. Lo primero que necesito saber es si plantie bien las ecuaciones de movimiento o si se pueden escribir de una manera más simplificada.

-$m\dst\frac{d^2x_1}{dt^2}=k(x_2 - x_1 - l_o)$
-$m\dst\frac{d^2x_3}{dt^2}=-k(x_3 - x_2 - l_o)$
-$2m\dst\frac{d^2x_2}{dt^2}=k(x_3 - x_2 - l_o) - k(x_2 - x_1 - l_o)$

Luego como sigo planteando el ejercicio? No pido que lo resuelvan todo, solo que me guien un poco.

Saludos!

EDITADO: ACLARACION: La imagen que corresponde a este ejercicio es igual a la que adjunte yo, solo que las masas de los extremos solo estan unidas a los resortes, no a una pared u otra cosa.

[Al2000]

Re: Frecuencias de los Modos Normales

Obviamente tus ecuaciones no pueden estar correctas ya que son dimensionalmente inconsistentes, en el miembro izquierdo tienes unidades de masa mientras en el miembro derecho tienes unidades de fuerza. Otra cosa es que poco se puede decir si no especificas quienes son x ,x1, x2 y x3. Si como dices el dibujo no es exactamente la situación física queda la duda en el aire de donde estás tomando el origen.

Si pones el comando "\dst" al principio de tus ecuaciones, las fracciones no se verán tan chiquiticas.

Saludos,

Al

[Maxi232]

Re: Frecuencias de los Modos Normales

Hola gracias por lo del \dst, no lo sabia. Me confundi cuando lo tipee, la masa esta multiplicada por aceleración (era un dt, no dx)

x1, x2 y x3 corresponden a las posiciones de las masas, empezando desde la izq (x1 es la masa de la izq, x2 la del centro y x3 la de la derecha)

[Al2000]

Re: Frecuencias de los Modos Normales

OK, una primera sugerencia sería que no necesitas utilizar 3 coordenadas sino solamente 2, eligiendo el sistema de referencia sobre la partícula de tu preferencia. ¿Por qué solamente 2 coordenadas? Porque el sistema sólo está sujeto a fuerzas internas y por lo tanto no acelera. La configuración del sistema queda completamente determinada por la distancia entre sus componentes y para eso solo necesitas saber 2 valores.

Saludos,

Al

PD. Me retracto, pensando el problema no veo forma de analizarlo usando solamente dos coordenadas. Tus ecuaciones se ven bien, deberían darte la respuesta correcta.

[Jose D. Escobedo]

Re: Frecuencias de los Modos Normales

En el caso de esta molecula existen dos modos normales uno es simetrico y el otro es antisimetrico, lo demas modos son combinacines de estos. Como son tres cuerpos moviendose en una dimencion, se deveria tener tres grados de libertad y sabiendo que existen dos de los modos, entonces el otro esta designado a la velocidad de centro de masa.

Para mas info: http://farside.ph.utexas.edu/~rfitzp...s/node114.html

I hope this helps

[Maxi232]

Re: Frecuencias de los Modos Normales

Gracias por contestar, el link es util pero necesito resolverlo sin usar energia.

Lo que hice fue plantear como solución: $x_1 = A_0e^{i(wt + \phi)}$
$x_2 = B_0e^{i(wt + \phi)}$ y $x_3 = C_0e^{i(wt + \phi)}$.

Reemplazando, etc, llego a esta ecuación:


$-w^2\begin{bmatrix}{A_0}\\{B_0}\\{C_0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{-w_0}&{0}&{w_0}\\{0}&{-w_0}&{w_0}\\{w_0}&{w_0}&{-2w_0}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{A_0}\\{B_0}\\{C_0}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}{-w_0l_0}\\{w_0l_0}\\{0}\end{bmatrix}$

con $w_0 = \dst\frac{k}{m}$

Es correcta esta forma de plantearlo? y de ser asi, que hago con el termino que me queda sumando (lo), puedo plantear lo=0 y eliminarlo? De lo contrario como se resuelve?