2o ciclo Partícula girando en un alambre

[Facaz]

Buenas, tengo el siguiente ejercicio



En cuanto a las posiciones de equilibrio, por "inspección directa" dije que la parte superior e inferior son equilibrios inestable y estable respectivamente. Podría ayudar con un diagrama de cuerpo libre, pero no plantie ninguna ecuación. Quería saber que se les ocurria a uds...
Y con respecto a las demas posiciones, para la parte inferior encontre posiciónes de equilibrio para todo $\Omega$ pero para la parte superior no encontre ninguna posición de equilibrio...

Necesito ayuda por favor, ya que dentro de poco rindo un exámen y necesito saberlo!

Muchas gracias

[ser humano]

Re: Partícula girando en un alambre

Muy interesante el problema. Gracias por facilitarmelo.

Como marco de referencia use el centro geometrico de la circunferencia. $\theta$ sera el angulo medido desde el eje de las abscisas hacia arriba, en el plano del alambre.
Lo primero que hice, fue notar que la fuerza de contacto que le ejerce el alambre a la pelota tiene, sea cual fuese la posicion de esta, la misma direccion y el sentido opuesto que el vector posicion. Entonces:

$$\vec {F_c}=\alpha \vec{r}$$

siendo $\alpha$ un escalar que varia con la posicion (ya que la fuerza de contacto varia con la posicion).
(si esto no se termina de comprender me lo decis y lo aclaro un poco mejor)

Como el alambre es una circunferencia y la particula se mueve sobre ella, la posicion de la particula esta dada por:

$$\vec r=(R \cos \theta ; R \sin \theta)$$

Por lo tanto:

$$\vec F_c = \alpha \vec r=(\alpha R \cos \theta ;\alpha R \sin \theta)$$

Si $\vec F_c = (F_x ; F_y)$

entonces:

$$F_x=\alpha R \cos \theta$$

$$F_y=\alpha R \sin \theta$$

Por otro lado, se puede notar que una vez que la particula este en "equilibrio", va a rotar junto con el alambre, y por lo tanto va a poseer una aceleracion centripeta (cuya direccion es sobre el plano perpendicular al eje de rotacion (en donde se encuentra la particula), y hacia dicho eje).
Esta circunferencia que trazara la particula en su recorrido, tendra un radio equivalente a la proyeccion sobre el eje de las abscisas del vector posicion (lo que se puede notar facilmente en un grafico). Esto es:

$$r=R cos \theta$$

Hay que notar que la fuerza de contacto es la que hace que la particula rote, mas especificamente, la fuerza de contacto en las abscisas. Entonces:

$$F_x=ma$$

Como la velociad angular es constante, la unica aceleracion que hay es la que hace que la particula se mueva en forma circular, es decir la aceleracion centripeta. Entonces:

$$F_x= m r \Omega^2$$

Que por (2):

$$F_x= m R \Omega^2 \cos \theta$$

Ahora hagamos un apartado y pensemos en el eje de las ordenadas. Aqui sí hay equilibrio, y esto indica que las fuerzas aplicadas se anulan, si $P$ es el peso y $F_y$ la fuerza de contacto en la direccion de las ordenadas:

$$F_y=P=mg$$

Si tenemos en cuenta (1.4):

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Con esto volvemos a (1.3):

$F_x=\alpha R \cos \theta= \dfrac {mg}{R \sin \theta} R \cos \theta =\dfrac {mg}{ \sin \theta} \cos \theta$

Igualando la expresion anterior con (3.2):

$\dfrac {mg}{ \sin \theta} \cos \theta = m R \Omega^2 \cos \theta \Longrightarrow \arcsin \dfrac {g}{R \Omega^2}= \theta$

pd: Para posiciones por encima de la mitad del alambre, no vas a encontrar el equilibrio, ya que la fuerza de contacto tiene el mismo sentido que el peso, y por lo tanto la particula se acelera en ese sentido (hacia abajo).
Si tu resolucion es diferente a la que deje, seria util que la expongas asi quedan expresadas diferentes alternativas de abordar el problema.

[Al2000]

Re: Partícula girando en un alambre

Mis cálculos coinciden con los tuyos pero quería hacer un comentario con respecto a los puntos de equilibrio. La respuesta sin simplificar, que podríamos escribir $\dst \cot \theta = \frac {R \Omega ^2} g \cos \theta$ se satisface para los ángulos $\theta = \pm \pi/2$ (que corresponden a los polos norte y sur de la figura, respectivamente) para cualquier valor de $\Omega$. Son los puntos que menciona Facaz en su mensaje. El "polo norte" es un punto de equilibrio inestable para cualquier valor de $\Omega$ y el "polo sur" es estable si $\Omega = 0$, caso contrario es inestable.

Una vez que se simplifica la expresión y se divide ambos miembros por el factor $\cos \theta$ queda la expresión $\dst \csc \theta = \frac {R \Omega ^2} g$, que es tu expresión final. Al dividir ambos miembros por $\cos \theta$ implícitamente estamos aceptando que $\cos \theta \ne 0$ y por consiguiente estamos eliminando la solución de los polos de la expresión final.

Saludos,

Al

[ser humano]

Re: Partícula girando en un alambre

El "polo norte" es un punto de equilibrio inestable para cualquier valor de y el "polo sur" es estable si , caso contrario es inestable.

Que sentido fisico tiene un estado de "equilibrio" inestable? es como un no-estado de equilibrio?
Porque noto que si no hay velocidad angular, o lo que es lo mismo, tiene una magnitud cero, el polo sur seria la unica solucion. Pero no noto de que forma se puede considerar "equilibrado" en algun aspecto en el polo norte.
Gracias por aclararme los terminos, porque no los conocia .

[Al2000]

Re: Partícula girando en un alambre

Pues hemos resuelto el problema como un equilibrio de fuerzas y ciertamente en el "polo norte" las fuerzas están en equilibrio independientemente del giro del alambre. Pero, de nuevo independientemente del giro del alambre, si la partícula se separa ligeramente de su posición de equilibrio no retorna a élla, sino que cae a lo largo del alambre.

Sería interesante resolver el problema desde el enfoque de la energía. Debe obtenerse que la energía total de la partícula tiene un máximo en el "polo norte". ¿Te imaginas resolver el problema en el cual se suelta la partícula desde el "polo norte" y queda oscilando alrededor de algún punto del alambre? Pa' locos

En realidad mi comentario fue motivado porque la expresión que obtuvimos no refleja los puntos extremos como puntos de equilibrio y me sentí impulsado a hacer el comentario porque a veces cuando resolvemos una ecuación y hacemos alguna simplificación introducimos alguna solución extraña (o descartamos alguna solución válida) del problema. Por ejemplo, un amigo en otro foro planteaba que la solución de la ecuación $x y = x$ es $y = 1$ para todo $x$ y yo le refutaba que había descartado la solución $x = 0$ para todo $y$ cuando simplificó

Saludos,

Al

[ser humano]

Re: Partícula girando en un alambre

En realidad mi comentario fue motivado porque la expresión que obtuvimos no refleja los puntos extremos como puntos de equilibrio y me sentí impulsado a hacer el comentario porque a veces cuando resolvemos una ecuación y hacemos alguna simplificación introducimos alguna solución extraña (o descartamos alguna solución válida) del problema.

Si, esta perfecto. Yo, la verdad, es que no lo habia tenido en cuenta. Pero es algo a lo que es necesario prestarle atencion. Probablemente de ahora en adelante este mas atento a esas cosas .

Pues hemos resuelto el problema como un equilibrio de fuerzas y ciertamente en el "polo norte" las fuerzas están en equilibrio independientemente del giro del alambre

Pero si en el polo norte tanto la fuerza de contacto como el peso tienen el mismo sentido, hacia abajo. De que forma se equilibran?

¿Te imaginas resolver el problema en el cual se suelta la partícula desde el "polo norte" y queda oscilando alrededor de algún punto del alambre?

Esta interesante la idea, tal vez mas tarde la intente

Un saludo

[Al2000]

Re: Partícula girando en un alambre

...
Pero si en el polo norte tanto la fuerza de contacto como el peso tienen el mismo sentido, hacia abajo. De que forma se equilibran?
...

Je je, aquí se te escapó un gazapo Obviamente la fuerza de contacto apunta hacia arriba y es igual al peso. De hecho la fuerza de contacto es radial hacia afuera en toda la mitad superior del alambre y debido a eso la partícula no puede permanecer en equilibrio. Tu mismo dijiste algo parecido en tu primer mensaje.

Saludos,

Al

[ser humano]

Re: Partícula girando en un alambre

Je je, aquí se te escapó un gazapo Obviamente la fuerza de contacto apunta hacia arriba y es igual al peso. De hecho la fuerza de contacto es radial hacia afuera en toda la mitad superior del alambre y debido a eso la partícula no puede permanecer en equilibrio.

si el alambre esta por encima de la particula, entonces no puede generar una fuerza de contacto hacia arriba, porque la fuerza de contacto no es atractiva (y lo necesitaria ser para que apunte hacia alli), es la fuerza de repulsión que ejerce todo cuerpo al "querer atravesarlo". Es consecuencia de la repulsion entre los electrones de los cuerpos segun tengo entendido.
Si la fuerza de contacto fuese hacia afuera (y ya no seria fuerza de contacto ), como el peso apunta hacia abajo, podria ponerse en equilibrio en el caso de que la parte de la fuerza de contacto en las ordenadas tuviese el mismo modulo que el peso. Cosa que no pasa, claramente.

Tu mismo dijiste algo parecido en tu primer mensaje.

Lo que yo mencionaba es que la fuerza de contacto siempre es radial y de sentido contrario al vector posicion. En el "polo norte" el vector posicion es $(0;R)$, mientras que la fuerza de contacto es $(0;-\alpha R)$.

Habra algun mal entendido?

Un saludo.

[Facaz]

Re: Partícula girando en un alambre

Ahi te equivocas ser humano, la fuerza no es contraria al vector posicion, es siempre hace arriba. imaginate en la parte superior, la normal y el peso tendrian el mismo sentido, no habria ninguna fuerza hacia arriba, de modo qe la particula se aceleraria hacia abajo, cosa que no ocurre. La normal es siempre tiene la componente vertical apuntando hacia arriba.
En cuanto a lo de equilibrio estable e inestable vamos a ver un ejemplo. Suponte que tenes una pelotita en un recipiente (como un bowl) y otra en otro bowl, pero este esta dada vuelta. Osea, la mitad inferior de una esfera en el 1º caso y la mitad superior en el segundo. Si en el primer caso moves la pelotita un poco hacia el costado y la soltas, la pelotita va a volver hacia la parte inferior del recipiente. por eso es estable, ante una perturbacion el sistema evoluciona de modo tal de volver a su ocndicion de equilibrio. Ahora vamos al otro caso. Move un poqito esa pelotita, se te va a caer irremediablemente al piso!! por eso es inestable, porqe lo perturbas y el sistema no vuelve a su posicion de equilibrio. En ausencia de interacciones, podriamos decir que ambos son "equilibrios", pero donde aparece alguien a perturbar se ve la diferencia.
Solo como un plus, un equilibrio estable en una grafica de potencial esta ubicado donde la grafica presenta un minimo y el inestable donde la grafica presenta un maximo (mira la grafica de potencial de un resorte $E(x)=\dst\frac{kx^2}{2}$, es una parabola qe presenta un minimo en $x=0$, osea, en la posicion ed equilibrio... No se me ocurre un ejemplo para uno inestable pero debe haber miles)

Espero haber ayudado y gracias por sus respuestas!!

Saludos

[Al2000]

Re: Partícula girando en un alambre

...si el alambre esta por encima de la particula, entonces no puede generar una fuerza de contacto hacia arriba, porque la fuerza de contacto no es atractiva (y lo necesitaria ser para que apunte hacia alli), es la fuerza de repulsión que ejerce todo cuerpo al "querer atravesarlo". Es consecuencia de la repulsion entre los electrones de los cuerpos segun tengo entendido...

Creo que se trata de que estamos interpretando el enunciado de manera diferente. Yo he mirado el problema como si se tratase de una cuenta (bolita) de plástico perforada ensartada en un collar. La reacción del alambre no le permite a la partícula moverse radialmente. Por eso si está arriba del alambre será empujada hacia arriba por éste, mientras que si está abajo será jalada hacia arriba, bueno tu me entiendes, restringiendo su movimiento radial.

Saludos,

Al

[ser humano]

Re: Partícula girando en un alambre

Ahi te equivocas ser humano, la fuerza no es contraria al vector posicion, es siempre hace arriba. imaginate en la parte superior, la normal y el peso tendrian el mismo sentido, no habria ninguna fuerza hacia arriba, de modo qe la particula se aceleraria hacia abajo, cosa que no ocurre. La normal es siempre tiene la componente vertical apuntando hacia arriba.

No. La normal no es "siempre para arriba". Que permite que puedas levantar una silla? la fuerza de contacto (o normal) que le ejerce tu cuerpo hacia arriba a la silla.
Ciertamente, te puedo asegurar que si pones la pelotita en la parte superior del alambre, se va a caer. El sentido de la fuerza de contacto se puede notar por lo que escribi en el mensaje anterior, del hecho del motivo por el que existe.
Si la pelotita no cae cuando esta girando, es por su inercia. ¿que hace que la pelotita no siga subiendo (y pase a traves del alambre) ? si no hubiera una fuerza que la hace ir "bajando" para que efectivamente su trayecto sea una circunferencia esto no seria posible, es lo que enuncia la primera ley de newton. La fuerza que lo permite es la fuerza de contacto.
Lo podemos ver de otra forma ¿que evita que puedas pasar tu mano a traves del alambre superior? ¿que fuerza tiene un sentido "hacia abajo" y evita que tu mano acelere hacia arriba aunque generes una fuerza en dicho sentido?.
Ademas el "arriba" o "abajo" dependen del marco de referencia que elijas, todo puede ser arriba o abajo, pero no por ello cambia el comportamiento fisico.
Es conveniente que mas alla de las ecuaciones, se intente notar el sentido fisico de estas para una correcta aplicacion.

En cuanto a lo de equilibrio estable e inestable vamos a ver un ejemplo. Suponte que tenes una pelotita en un recipiente (como un bowl) y otra en otro bowl, pero este esta dada vuelta. Osea, la mitad inferior de una esfera en el 1º caso y la mitad superior en el segundo. Si en el primer caso moves la pelotita un poco hacia el costado y la soltas, la pelotita va a volver hacia la parte inferior del recipiente. por eso es estable, ante una perturbacion el sistema evoluciona de modo tal de volver a su ocndicion de equilibrio. Ahora vamos al otro caso. Move un poqito esa pelotita, se te va a caer irremediablemente al piso!! por eso es inestable, porqe lo perturbas y el sistema no vuelve a su posicion de equilibrio. En ausencia de interacciones, podriamos decir que ambos son "equilibrios", pero donde aparece alguien a perturbar se ve la diferencia.
Solo como un plus, un equilibrio estable en una grafica de potencial esta ubicado donde la grafica presenta un minimo y el inestable donde la grafica presenta un maximo (mira la grafica de potencial de un resorte $E(x)=\dst\frac{kx^2}{2}$, es una parabola qe presenta un minimo en $x=0$, osea, en la posicion ed equilibrio... No se me ocurre un ejemplo para uno inestable pero debe haber miles)

Ah, ya comprendi. Gracias

[ser humano]

Re: Partícula girando en un alambre

Creo que se trata de que estamos interpretando el enunciado de manera diferente. Yo he mirado el problema como si se tratase de una cuenta (bolita) de plástico perforada ensartada en un collar. La reacción del alambre no le permite a la partícula moverse radialmente. Por eso si está arriba del alambre será empujada hacia arriba por éste, mientras que si está abajo será jalada hacia arriba, bueno tu me entiendes, restringiendo su movimiento radial.

Ah, comprendo. Pero aun asi, la fuerza de contacto apunta hacia abajo (si estuviera perforada ejerceria el contacto en la parte inferior del agujero). Eso es lo que permite que la pelotita acelera hacia abajo y pueda describir el movimiento circular y no siga acelerando hacia arriba.

Saludos

[Facaz]

Re: Partícula girando en un alambre

Ah, comprendo. Pero aun asi, la fuerza de contacto apunta hacia abajo (si estuviera perforada ejerceria el contacto en la parte inferior del agujero). Eso es lo que permite que la pelotita acelera hacia abajo y pueda describir el movimiento circular y no siga acelerando hacia arriba.

Saludos

No, la fuerza nunca apunta para abajo. Imaginate qe tenes los brazos como una bailarina de ballet (sin ofender ) y te colgas de un aro. Si te colgas en cualqier parte inferior, vas a estar sostenido por el aro, del mismo modo qe una caja se sostiene con el piso, asi qe el normal sera para arriba y si estas en la parte superior pasa lo mismo. Se me ocurre qe puede haber un normal hacia adentro en el caso de qe $\Omega$ sea muy grande, ya qe estarias en la sutiacion en la qe parecida a cuando vas en un auto y doblan, vos qedas apoyado contra la puerta y por ende, esta te hace una fuerza normal hacia el lado qe doblas, que seria hacia adentro en nuestro caso.

Habia empezado a escribir la respuesta re seguro pero ahora me dio dudas el echo de qe el omega tenga que ver con la direccion del normal. Si peude venir alguien de los grosos a ayudar, estaria bueno .

Saludos

[Al2000]

Re: Partícula girando en un alambre

...Habia empezado a escribir la respuesta re seguro pero ahora me dio dudas el echo de qe el omega tenga que ver con la direccion del normal. Si peude venir alguien de los grosos a ayudar, estaria bueno ...

Estás pensando en términos de una fuerza (centrífuga) que no es real. Ninguna fuerza intenta expulsar a un objeto que sigue una órbita; ninguna fuerza nos aplasta contra la puerta cuando el automóvil toma una curva cerrada. Habiendo aceptado y estando bien establecido el concepto de inercia, reconocemos que cuando un cuerpo sigue una trayectoria curvilínea es porque alguna fuerza lo obliga a que abandone su tendencia natural a moverse en línea recta.

En el problema específico que nos ha reunido aquí, las únicas fuerzas actuantes son el peso de la partícula y la reacción normal del alambre. Si la partícula gira al girar el alambre es porque la combinación de estas fuerzas produce una resultante en dirección al centro de giro. Por estar dirigida hacia el centro de giro, llamamos a esta fuerza centrípeta, pero el que le demos un nombre especial no significa que exista una fuerza producida por el giro. No es el giro el que produce la fuerza, es la fuerza la que produce el giro.

Extrañamente ser humano, que muestra un claro dominio en la solución de estos problemas, se ha atascado en la imagen de una fuerza de contacto, o fuerza normal, que apunta radialmente hacia adentro del anillo cuando lo cierto es que esa fuerza apuntará hacia adentro o hacia afuera dependiendo de la dirección en la cual intente moverse la partícula.

Saludos,

Al

[ser humano]

Re: Partícula girando en un alambre

No, la fuerza nunca apunta para abajo. Imaginate qe tenes los brazos como una bailarina de ballet (sin ofender ) y te colgas de un aro. Si te colgas en cualqier parte inferior, vas a estar sostenido por el aro, del mismo modo qe una caja se sostiene con el piso, asi qe el normal sera para arriba y si estas en la parte superior pasa lo mismo.

Si, pero si metes la mano en el aro, e intentas sacarla por "arriba" de el, no lo podes hacer porque la fuerza de contacto te lo impide.
Aca estas poniendo algunos ejemplos de casos en que con un marco de referencia conveniente, la fuerza de contacto va hacia "arriba", pero no es un hecho general.

Se me ocurre qe puede haber un normal hacia adentro en el caso de qe $\Omega$ sea muy grande, ya qe estarias en la sutiacion en la qe parecida a cuando vas en un auto y doblan, vos qedas apoyado contra la puerta y por ende, esta te hace una fuerza normal hacia el lado qe doblas, que seria hacia adentro en nuestro caso.

No, esa no es una fuerza normal, esa es tu inercia .

Habia empezado a escribir la respuesta re seguro pero ahora me dio dudas el echo de qe el omega tenga que ver con la direccion del normal. Si peude venir alguien de los grosos a ayudar, estaria bueno .

Me alegra haber invertido tiempo en pasar las ecuaciones al LaTeX, y que se valore tan bien mi intensión

Extrañamente ser humano, que muestra un claro dominio en la solución de estos problemas, se ha atascado en la imagen de una fuerza de contacto, o fuerza normal, que apunta radialmente hacia adentro del anillo cuando lo cierto es que esa fuerza apuntará hacia adentro o hacia afuera dependiendo de la dirección en la cual intente moverse la partícula.

No, yo no tengo un claro dominio . Me gustaria que me muestren donde esta el error, porque yo no lo noto. Intentando expresar lo que me parece de otra forma:
Imaginemos que la parte superior del alambre no esta. Entonces cuando la particula se mueva a traves del alambre, y llegue a un extremo, seguira ascendiendo. Ahora le ponemos la parte de arriba. Como ya vimos en el experimento anterior, por inercia el cuerpo sigue ascendiendo. Veamos las posibilidades: Si la fuerza de contacto apunta en su parte de las ordenadas hacia arriba, entonces el cuerpo no solo ira para arriba como lo hacia por inercia, sino que ademas tendra una aceleracion positiva, es decir en el sentido de su movimiento (hacia arriba). Si la fuerza de contacto apunta en la parte de sus ordenadas hasta abajo, entonces la aceleracion en esa direccion sera negativa (contraria al movimiento) y por lo tanto, llegara un punto en donde la particula dejara de ascender (polo norte) y comenzara a descender. Esto ultimo es lo que pasa, y por ende podemos suponer que es correcto el hecho de que la fuerza de contacto apunta hacia el centro.
Creo que todo esto se puede notar de una forma mucho mas simple, como esta expresado en los mensajes anteriores.
La particula por inercia tiende a seguir ascendiendo, se encuentra al alambre de por medio, el cual "le implide el paso" con la fuerza de contacto (y si le implide que siga ascendiendo, es porque la fuerza debe ser hacia abajo). la parte de las abscisas de la fuerza de contacto, permiten el desplazamiento horizontal para que se transcriba efectivamente una circunferencia.

Un Saludo