Determinar coeficiente de fricción

[escarabajo]

Hola , tengo un problema que debe ser tan simple que por eso no me sale.

(Adjunto figura)

"Sabiendo que el coeficiente de fricción $\mu_s$ en A y B es el mismo, determinar el mínimo valor de $\mu_s$ para mantener el equilibrio."

No logro entender el problema.

No habla de peso, así que supongo que se desprecia el peso de la escalera.

Yo hago el siguiente razonamiento:

En el diagrama de cuerpo libre creo que en A tengo:

$N_1$ dirigida hacia arriba,vertical a la superficie.
$f_{k1}$ hacia la derecha .(me parece que el posible movimiento de la escalera sería hacia la izquierda, y supongo entonces que la froz aguanta haciendo fuerza en sentido opuesto.)

Y en B, siguiendo el mismo razonamiento tengo:

$N_2$ dirigida perpendicular a la superficie,
$f_{k2}$ hacia arriba,paralela a la superficie. (Nuevamente,supongo que la escalera al deslizarse hacia la izquierda bajaría entonces la fuerza de rozamiento se opondrá a ese movimiento).

Y acá salta a la vista que no hay ninguna fuerza en la dirección vertical hacia abajo...no podría haber equilibrio.

¿Qué razono mal?

Agradezco la ayuda.

Saludos.

[alefriz]

Re: Determinar coeficiente de fricción

Hola , tengo un problema que debe ser tan simple que por eso no me sale.

(Adjunto figura)

"Sabiendo que el coeficiente de fricción $\mu_s$ en A y B es el mismo, determinar el mínimo valor de $\mu_s$ para mantener el equilibrio."

No logro entender el problema.

No habla de peso, así que supongo que se desprecia el peso de la escalera.

Yo hago el siguiente razonamiento:

En el diagrama de cuerpo libre creo que en A tengo:

$N_1$ dirigida hacia arriba,vertical a la superficie.
$f_{k1}$ hacia la derecha .(me parece que el posible movimiento de la escalera sería hacia la izquierda, y supongo entonces que la froz aguanta haciendo fuerza en sentido opuesto.)

Y en B, siguiendo el mismo razonamiento tengo:

$N_2$ dirigida perpendicular a la superficie,
$f_{k2}$ hacia arriba,paralela a la superficie. (Nuevamente,supongo que la escalera al deslizarse hacia la izquierda bajaría entonces la fuerza de rozamiento se opondrá a ese movimiento).

Y acá salta a la vista que no hay ninguna fuerza en la dirección vertical hacia abajo...no podría haber equilibrio.

¿Qué razono mal?

Agradezco la ayuda.

Saludos.

Llamando (A) al punto del suelo y (B) al punto de la pared, y la escalera tiene un peso $P$ y la distancia del suelo es $a$ y en la pared es $b$, se tienen las siguientes fuerzas:

FUERZAS EN (A) (suelo)
$N_A$ hacia arriba (reacción del suelo)
$\mu_s N_A$ hacia la derecha (fuerza de rozamiento)

FUERZAS EN (B) (pared)
$N_B$ hacia la izquierda (reacción de la pared)
$\mu_s N_B$ hacia arriba (fuerza de rozamiento)

$P$ hacia abajo en el centro de gravedad de la escalera (peso)

Para que haya equilibro planteamos que la suma de fuerzas y momento (respecto al punto A, por ejemplo) de las fuerzas es nulo.

$\sum F_x = 0 \rightarrow \mu_s N_A - N_B = 0$ .......... (1)
$\sum F_y = 0 \rightarrow \mu_s N_B + N_A - P = 0$.......... (2)
$\sum M_A = 0 \rightarrow \frac{a}{2} \cdot P - b \cdot N_B - a \cdot \mu_s N_B = 0$.......... (3)

Entre (1) y (2) se llega a que
$P = N_A(1 + {\mu_s}^2)$

Despejando de (3) el peso:
$P = \frac{2}{a} \mu_s N_A (a \mu_s + b)$

Igualando estas dos expresiones, pues son iguales, obtenemos una ecuación de 2º grado en $\mu_s$ (vemos que no dependerá del peso de la escalera):
$a {\mu_s}^2 - 2a \mu_s - (2b - a) = 0$

Para obtener el mínimo valor del coeficiente de rozamiento, sólo basta derivar e igualar a cero, obteniendo: ${\mu_s}_{min} = 1$

[escarabajo]

Re: Determinar coeficiente de fricción

Hola alefriz, gracias por responder.

Supongo que está mal la respuesta del libro, porque en realidad segun el libro la respuesta correcta es $\mu_s =0.2$

Además, la letra no menciona peso de la escalera, aunque, como veo que las fuerzas en A y en B las puse igual que tu entonces claramente hay que tenerla en cuenta, si no es imposible el equilibrio.

Muy clara tu explicación.

Saludos!

[carroza]

Re: Determinar coeficiente de fricción

Llamando (A) al punto del suelo y (B) al punto de la pared, y la escalera tiene un peso $P$ y la distancia del suelo es $a$ y en la pared es $b$, se tienen las siguientes fuerzas:

FUERZAS EN (A) (suelo)
$N_A$ hacia arriba (reacción del suelo)
$\mu_s N_A$ hacia la derecha (fuerza de rozamiento)

FUERZAS EN (B) (pared)
$N_B$ hacia la izquierda (reacción de la pared)
$\mu_s N_B$ hacia arriba (fuerza de rozamiento)

$P$ hacia abajo en el centro de gravedad de la escalera (peso)

Para que haya equilibro planteamos que la suma de fuerzas y momento (respecto al punto A, por ejemplo) de las fuerzas es nulo.

$\sum F_x = 0 \rightarrow \mu_s N_A - N_B = 0$ .......... (1)
$\sum F_y = 0 \rightarrow \mu_s N_B + N_A - P = 0$.......... (2)
$\sum M_A = 0 \rightarrow \frac{a}{2} \cdot P - b \cdot N_B - a \cdot \mu_s N_B = 0$.......... (3)

Entre (1) y (2) se llega a que
$P = N_A(1 + {\mu_s}^2)$

Despejando de (3) el peso:
$P = \frac{2}{a} \mu_s N_A (a \mu_s + b)$

Igualando estas dos expresiones, pues son iguales, obtenemos una ecuación de 2º grado en $\mu_s$ (vemos que no dependerá del peso de la escalera):
$a {\mu_s}^2 - 2a \mu_s - (2b - a) = 0$

Para obtener el mínimo valor del coeficiente de rozamiento, sólo basta derivar e igualar a cero, obteniendo: ${\mu_s}_{min} = 1$

El problema sale mas facil si calculas el momento con respecto al centro de la escalera.

Entonces, la ecuacion suma de momentos = 0 sale

$(N_A-N_B \mu) a/2 = (N_B + \mu N_A) b/2$ (4)

que con la ecuacion (1) da

$(1-\mu^2) a = 2 \mu b$


Resolviendo esa ecuacion (no igualando la derivada a cero!!!!) sale una solucion positiva de $\mu$, que es el coeficiente de rozamiento minimo para que no se mueva la escalera.

[escarabajo]

Re: Determinar coeficiente de fricción

Gracias carroza por tu aporte!

Saludos.