Olimpiada Propuesto, pista de snowboard

[angel relativamente]

Este problema de olimpiada local de Zaragoza me pareció dificil, a la par de interesante:

A los practicantes avanzados del "snowboard" les suelen gustar las pistas complicadas, con fuertes desniveles y saltos acrobáticos. La pista de saltos representada en la figura consta de una primera zona de aceleración A-B, con pendiente acusada, por la que los deportistas descienden un desnivel h hasta una pequeña zona horizontal B-C. A continuación, la pista tiene un perfil de cuadrante de circunferencia C-D, de radio R, continúa con una nueva zona horizontal D-E, de longitud d, y termina en una zona plana de pendiente $\alpha$.
Supón en todo momento que la nieve está muy dura, de forma que el rozamiento con la tabla puede suponerse
despreciable.

[ATTACH=CONFIG]2514[/ATTACH]

a) Determina la velocidad del deportista en el punto C.

b) Si el desnivel h es pequeño, una vez superado el punto C el “snowboarder” sigue deslizando sobre la nieve hasta un cierto punto P, donde se separa de la pista e inicia el salto. Determina la posición angular (ángulo $\theta$) del punto P de despegue.

c) Para desniveles superiores a un cierto valor crítico h0, el punto de despegue coincide con C, es decir $\theta$= 0. Demuestra que h0 = R/2.

d) Supón que h = R. Si el saltador cayese en la zona llana D-E, el aterrizaje sería muy brusco, lo que obviamente podríaperjudicar su integridad física. Determina unos valores adecuados de d y $\alpha$ para que el aterrizaje sea suave.

Se ruega que quien lo solucione ponga el proceso, no el resultado exclusivamente, así quien tenga dudas de resolución pueda aprender

Saludos! Y suerte con el problema

[angel relativamente]

Re: Propuesto, pista de snowboard

Bueno intentaré responder al a) (ya que los otros 3 no tengo ni idea):

La energía potencial que tiene arriba es:

$E_p=mgh$

Y la energía cinética que tendra sobre la superficie B-C será:

$E_c=\frac{1}{2} m v^2$

Como no hay rozamiento, la energía mecánica total se conserva, por tanto:

$E_p=E_c\;\; ;\;\; mgh=\frac{1}{2} m v^2 \;\; ;\;\; v=\sqrt{2gh}$

[Stormkalt]

Re: Propuesto, pista de snowboard

Hola Ángel, no se ve la imagen (al menos yo no la veo)

¡Saludos!

[angel relativamente]

Re: Propuesto, pista de snowboard

Mira ver ahora...

[Stormkalt]

Re: Propuesto, pista de snowboard

Con el Mozilla sí lo veo Debe ser un error de mi
Explorer.

¡Saludos!

[Xel]

Re: Propuesto, pista de snowboard

Tampoco veo la imagen con el explorer ...

[angel relativamente]

Re: Propuesto, pista de snowboard

Debe ser que el explorer no la acepta...
¿Nadie se anima?

[dany_nash]

Re: Propuesto, pista de snowboard

haré el b) y el c) xD

Ubicaré mi eje x en la dirección tangente a la circunferencia en el punto P, y mi eje y lo ubicaré en la misma direccion del radio en P (ver la imagen adjunta xD).

Tenemos que la suma de fuerzas en el eje y sobre el punto P es igual a la fuerza centripeta (en el instante en que est'a girando en ese arco de circunferencia), luego :

$$N -mg\cos(\theta)=-Fc\Rightarrow N - mg\cos(\theta)=-\frac{mv_f^2}{R}$$

.

ahora bien, inmediatamente despues de pasar por P, el "snowboard" escapa del arco de circunferencia, luego imponemos la condicion N=0 en la ecuacion anterior. quedando:

$$\displaystyle mg\cos(\theta)=\frac{mv_f^2}{R}$$

Ahora bien, por conservacion de la energia, calcularemos $v_f$, para ello haremos conservacion en el punto C con P. Entonces se tendra que $h_i=R$ , $v_i=\sqrt{2gh}$ y $h_f=R\cos(\theta)$, Luego:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Reemplazando la ecuacion (3) en (2), se obtiene :

$$\displaystyle \cos(\theta)=\frac{2R(1-\cos\theta)+2h}{R}\Rightarrow \cos\theta=\frac{2(R+h)}{3R}\Rightarrow \theta=arcos \left(\frac{2(R+h)}{3R}\right)$$

c) Ahora bien, si $\theta=0$ entonces $\cos\theta=1$, luego de la ecuacion (4) se tiene que :

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Despu'es medito el d) xD

Adioss

[angel relativamente]

Re: Propuesto, pista de snowboard

:O Bien hecho dany_nash, mis felicitaciones

[angel relativamente]

Re: Propuesto, pista de snowboard

mm respecto al ejercicio d) a mi no se me ocurre, pero el ángulo $\alpha$ , yo creo que cuanto más inclinado esté mas suave será la caída.
Salud!

[dany_nash]

Re: Propuesto, pista de snowboard

Ahora que cuento con más tiempo, haré el d), aunqe me quedo bastante largo, tanto que dudo de mi soluci'on xD, cuando cuente con m'as tiempo, lo revisar'e con calma, mientras tanto dejo esta soluci'on a las grandes mentes de este foro para su evaluacion :B


De la figura, tenemos que la velocidad de salida del snowboard $v_p$, forma un angulo $\theta$ respecto a nuestro eje de coordenadas. Luego para que el snowboard tenga un aterrizaje suave, necesitamos que el movimiento parabolico que que describe despu'es de salir del punto P recorra una distancia $d$ respecto al eje x (y obviamente necesitamos que el snowboard baje una altura H) y adem'as necesitamos que el vector velocidad (de aterrizaje $v_f$) forme un angulo $\alpha$ respecto a nuestro eje de coordenadas (que en terminos simples, necesitamos que el vector velocidad $v_p$ cambie su angulo de salida con el angulo de aterrizaje , es decir, de $\theta$ a $\alpha$ ). Comencemos entonces:

De la figura, tenemos que la velocidad de salida es :

$$\displaystyle \vec{V_p}=V_p\cos{\theta}\ \hat x - V_p\sin{\theta}\ \hat y$$

donde V_p lo calculamos antes, y es $\displaystyle V_p= \sqrt{2Rg(1-\cos{\theta})+2gh}$.


Ahora bien, como en el eje x se debe recorrer una distancia d, sea $t_1$ el tiempo que se demora el snowboard en recorrer esa distancia, entonces se tendr'a que :

$$\displaystyle t_1=\frac{d}{V_p\cos{\theta}}$$

Ahora bien, deseamos calcular la velocidad final en el eje y. Sabemos que el tiempo que le toma en recorrer una distancia $d$ al snowboard es lo mismo que le toma en bajar, entonces se tendr'a que la velocidad final del snowboard en el eje y es:

$$\displaystyle v_f\sin{\alpha}= v_p\sin{\theta}+gt_1 \Rightarrow v_f\sin{\alpha}=v_p\sin{\theta}+g\left(\frac{d}{v_p\cos{\theta}}\right)$$

Paralelamente, tambi'en tenemos una expresion para la velocidad final en el eje y, es decir:

$$\displaystyle (v_f\sin{\alpha})^2= (v_p\sin{\theta})^2+2gR$$

Elevando al cuadrado la ecuacion (3), e igualandola con la ecuacion (4) se obtiene :

$$\displaystyle \left(v_p\sin{\theta}+g\left(\frac{d}{v_p\cos{\theta}}\right)\right)^2=(v_p\sin{\theta})^2+2gR$$

$$\displaystyle (v_p\sin{\theta})^2+g^2\left(\frac{d}{v_p\cos{\theta}}\right)^2+2gd\tan{\theta}=(v_p\sin{\theta})^2+2gR$$

$$\displaystyle g\left(\frac{d}{v_p\cos{\theta}}\right)^2+2d\tan{\theta}-2R=0$$

La ecuacion (7) es una ecuaci\'on en segundo grado para $d$, luego de ac'a se encuntra el valor que debe tener d. donde su solucion es:

$$\displaystyle d=\frac{-2\tan{\theta}\pm \sqrt{4\tan^2{\theta}+\frac{8gR}{(v_p\cos(\theta))^2}}}{2\frac{g}{(v_p\tan{\theta})^2}}<br />$$

$$\displaystyle d=\frac{-(v_p\cos{\theta})^2\tan{\theta}\pm v_p\cos{\theta} \sqrt{v_p^2\sin^2{\theta}+2gR}}{g}<br />$$

Luego, tomando la solucion positiva, obtenemos el valor de d.



S'olo nos falta saber el angulo $\alpha$

Sabemos que en el eje x, la velocidad no varia , entonces se tiene que :
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Sabemos que

$$\displaystyle |v_f|=\sqrt{(V_f\cos{\alpha})^2+(V_f\sin{\alpha})^2}$$

Reemplazando la ecuacion (4) y (8) en (9), se obtiene :

$$\displaystyle |v_f|=\sqrt{(V_p\cos{\theta)^2+ (v_p\sin{\theta})^2+2gR}}\Rightarrow \\V_f=\sqrt{V_p^2+2gR}$$

Luego reemplazando la ecuacion (10) en la ecuacion (8), se obtiene el valor de $\alpha$, es decir

$$\sqrt{V_p^2+2gR}\cdot cos{\alpha}=V_p\cos{\theta}\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{V_p\cos{\theta}}{\sqrt{V_p^2+2gR}}$$

que es el valor para $\alpha$

Pd: falto reemplazar el valor de $V_p$, pero eso lo dejo a otra persona xD

[angel relativamente]

Re: Propuesto, pista de snowboard

Sinceramente, me he perdido a la mitad de la explicación

mientras tanto dejo esta soluci'on a las grandes mentes de este foro para su evaluacion :B

No soy yo una de esas grandes mentes... xD

El único comentario que puedo hacer es el siguiente. Como bien dice en el apartado c (y bien lo has demostrado), el valor mínimo de $h_0$ para que el snowboarder salte desde el punto C (es decir, para que $\theta=0$ ) es: $R/2$

Por tanto, como el ejercicio d) empieza diciendo: Supón que h=R, ya indica que saltará desde el punto C.
No se si esto modifica tus resultados o quizá ya lo habías deducido y está plasmado en tus ecuaciones sin que yo haya reparado..

Saludos!

[dany_nash]

Re: Propuesto, pista de snowboard

Sinceramente, me he perdido a la mitad de la explicación



El único comentario que puedo hacer es el siguiente. Como bien dice en el apartado c (y bien lo has demostrado), el valor mínimo de $h_0$ para que el snowboarder salte desde el punto C (es decir, para que $\theta=0$ ) es: $R/2$

Por tanto, como el ejercicio d) empieza diciendo: Supón que h=R, ya indica que saltará desde el punto C.
No se si esto modifica tus resultados o quizá ya lo habías deducido y está plasmado en tus ecuaciones sin que yo haya reparado..

Saludos!

Lo que entendi yo al menos xD, era que si el snowboard se encuentra a una altura inicial R/2, va a salir disparado justo en el punto C, en el caso en que la altura sea mayor a R/2, ya no sale disparado en C sino en el punto P. Los resultados para $d$ y $\alpha$ est'an calculados para una velocidad $v_p$ y un angulo $\theta$ que depende de $h$ , entonces solo bastaria reemplazar h=R para saber cuanto es $d$ y $\alpha$ (es decir los resultados est'an calculados para el caso general, osea para cualquier h).

Espero se haya entendido

[GNzcuber]

Re: Propuesto, pista de snowboard

Hola, le he dado varias veces a "Thanks" pero sólo te da una, y no encuentro el botón "I admire you" .

El apartado d) me lo he mirado y cuando dices sustituir (4) y (8) en (9), y otras sustituciones que involucren el (8) ó (9), pues simplemente he confiado en el resultado . Ya me los miraré con más detalle.
Por cierto, lo que dice Ángel es cierto, si estás a una altura mayor de R/2 significa que habrá mayor energía potencial que se transforme en cinética y por lo tanto la normal se anulará en C, la diferencia es que la velocidad tangencial en ese instante será mayor.

Pero bueno, lo has hecho de forma genérica (mira que a mí me gusta complicarme, pero tu.... ).

¡Saludos!

[dany_nash]

Re: Propuesto, pista de snowboard

xD peroooooooooo todaaaaa la razonnnn GNzcuber, en que estuve pensandooo . Pido disculpas a angel relativamente por corregirle mal, si estaba en toda la razon xD. Bueno me alargue un poco yo sabia que no podia ser tan larga la solucion xD, entonces bastaria tomar $\theta=0$ y$h=R$ en las ecuaciones, i nos damos cuenta que el snowboard sale disparado en C con velocidad solo en el eje x.

Con esto, las ecuaciones qued'an mucho mas reducidas :B. Esto me pasa por no leer bien

Un saludo