Hola, la verdad tengo cierta inquietud en el movimiento de una cadena de cae eslabon a eslabon por el borde de una mesa. Este era el ultimo trabajo de laboratorio que habia que hacer en mi universidad, y pues con un compa~nero desarrollamos la te'oria, pero de forma incorrecta, m'as bien para el de una cuerda que cae por el borde de una mesa o para una cadena que cae eslabon a eslabon, pero donde se trata de minorizar el choque de los eslabones con el borde de la mesa, y la verdad pues presentamos eso, por qu'e nuesta teoria no era del todo correcta. M'as menos explicar'e lo que se hizo :
De la figura 1, tenemos que la suma de fuerzas en el es:\\
Donde es la y la acelaraci\'on del sistema.\\
Ahora bien la suma de fuerzas para el movimiento de la cadena de largo L y masa total M, es:\\
\\
Donde es la masa de la cadena que cae (ver figura 1), es la fuerza de roce de la porci\'on de cadena que se encuentra sobre la mesa y $F_r'$ es la fuerza de roce producida por la perdida de energ\'ia por los choques de cada eslab\'on con el borde de la mesa que depende tanto de la masa del contrapeso como la de masa total de la cadena. Luego, la ecuaci\'on (2) queda:
\\
Donde $\eta$ es el coeficiente de roce asociado a los choques de cada eslab\'on con el borde de la mesa dfjkhgjkhjf. Ahora bien, la suma de fuerzas en el eje $y$ sobre la cadena es:
\\
Reemplazando la ecuaci\'on (4) en la ecuaci\'on (3), se obtiene :
\\
Ahora bien, sumando la ecuaci\'on (5) con la ecuaci\'on (1), se obtiene :
Por otro lado, sabemos que la densidad de cadena es uniforme, luego tendemos que :
Donde
es la densidad de la porci\'on de cadena que se encuentra sobre la mesa y es la porci\'on de cadena que cae. Luego se tiene que :
Ademas sabemos que:
Luego , usando la ecuaci\'on (8) y (9) se obtiene que:
Y reemplazando la ecuacion (10) en (8) se obtiene :
Luego, reemplazando la ecuaci\'on (10) y (11) en (5), y desarrollando se obtiene :
Sea
y
Luego sabiendo que , nuestra ecuaci\'on diferencial, reemplazando las variables auxiliares, es :
La soluci\'on de esta ecuaci\'on diferencial para este caso es:
Con las condiciones de borde, es decir, para y , se obtiene que:
Luego, finalmente se tiene que la soluci\'on final es:
Y aca viene el inconveniente, la curva de moviemiento de la cadena es la siguiente:
Y pues bien, es evidente que la grafica anterior no corresponde a una funicion hiperbolica, la siguiente imagen nos entrega la curva teorica de la ecuacion (19):
Lo cual no es la grafica que se registraron en el laboratorio, hay diferencias en el crecimiento , en el caso experimental es de manera mas brusca que el q se planteo en la teoria.
Bueno alg'una mente sabria determinar como es la ecuacion que mas se asemeja al movimiento de la cadena? ya que como lo dije antes, la teoria que expuse necesita una correccion, y es en la fuerza de roce Fr', que es la que se produce entre los eslabones con el borde de la mesa.
ESpero me puedan ayudar a salir de la duda de como es la ecuacion teorica
Yn saludo
De la figura 1, tenemos que la suma de fuerzas en el es:\\
Ahora bien la suma de fuerzas para el movimiento de la cadena de largo L y masa total M, es:\\
Donde es la masa de la cadena que cae (ver figura 1), es la fuerza de roce de la porci\'on de cadena que se encuentra sobre la mesa y $F_r'$ es la fuerza de roce producida por la perdida de energ\'ia por los choques de cada eslab\'on con el borde de la mesa que depende tanto de la masa del contrapeso como la de masa total de la cadena. Luego, la ecuaci\'on (2) queda:
Donde $\eta$ es el coeficiente de roce asociado a los choques de cada eslab\'on con el borde de la mesa dfjkhgjkhjf. Ahora bien, la suma de fuerzas en el eje $y$ sobre la cadena es:
Reemplazando la ecuaci\'on (4) en la ecuaci\'on (3), se obtiene :
Ahora bien, sumando la ecuaci\'on (5) con la ecuaci\'on (1), se obtiene :
Por otro lado, sabemos que la densidad de cadena es uniforme, luego tendemos que :
Donde
Ademas sabemos que:
Luego , usando la ecuaci\'on (8) y (9) se obtiene que:
Luego, reemplazando la ecuaci\'on (10) y (11) en (5), y desarrollando se obtiene :
Sea
y
Luego sabiendo que , nuestra ecuaci\'on diferencial, reemplazando las variables auxiliares, es :
La soluci\'on de esta ecuaci\'on diferencial para este caso es:
Con las condiciones de borde, es decir, para y , se obtiene que:
Luego, finalmente se tiene que la soluci\'on final es:
Y aca viene el inconveniente, la curva de moviemiento de la cadena es la siguiente:
Y pues bien, es evidente que la grafica anterior no corresponde a una funicion hiperbolica, la siguiente imagen nos entrega la curva teorica de la ecuacion (19):
Lo cual no es la grafica que se registraron en el laboratorio, hay diferencias en el crecimiento , en el caso experimental es de manera mas brusca que el q se planteo en la teoria.
Bueno alg'una mente sabria determinar como es la ecuacion que mas se asemeja al movimiento de la cadena? ya que como lo dije antes, la teoria que expuse necesita una correccion, y es en la fuerza de roce Fr', que es la que se produce entre los eslabones con el borde de la mesa.
ESpero me puedan ayudar a salir de la duda de como es la ecuacion teorica
Yn saludo
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