Avanzado Movimiento de una cadena por el borde de una mesa

[dany_nash]

Hola, la verdad tengo cierta inquietud en el movimiento de una cadena de cae eslabon a eslabon por el borde de una mesa. Este era el ultimo trabajo de laboratorio que habia que hacer en mi universidad, y pues con un compa~nero desarrollamos la te'oria, pero de forma incorrecta, m'as bien para el de una cuerda que cae por el borde de una mesa o para una cadena que cae eslabon a eslabon, pero donde se trata de minorizar el choque de los eslabones con el borde de la mesa, y la verdad pues presentamos eso, por qu'e nuesta teoria no era del todo correcta. M'as menos explicar'e lo que se hizo :


De la figura 1, tenemos que la suma de fuerzas en el $$y$$ es:\\

$$<br /> T-m_c\cdot g=m_c\cdot a<br /> <br />$$

Donde $$T$$ es la $tensi\'on$ y $$a$$ la acelaraci\'on del sistema.\\
Ahora bien la suma de fuerzas para el movimiento de la cadena de largo L y masa total M, es:\\

$$<br /> -F_r-F_r'+M_yg-T=M_ta<br />$$

\\
Donde $$M_y$$es la masa de la cadena que cae (ver figura 1),$$F_r$$ es la fuerza de roce de la porci\'on de cadena que se encuentra sobre la mesa y $F_r'$ es la fuerza de roce producida por la perdida de energ\'ia por los choques de cada eslab\'on con el borde de la mesa que depende tanto de la masa del contrapeso $$m_c$$ como la de masa total $$M_t$$ de la cadena. Luego, la ecuaci\'on (2) queda:

$$<br /> -\mu \cdot N -\eta \cdot (m_c+M_t)+M_yg-T=M_ta<br />$$

\\
Donde $\eta$ es el coeficiente de roce asociado a los choques de cada eslab\'on con el borde de la mesa dfjkhgjkhjf. Ahora bien, la suma de fuerzas en el eje $y$ sobre la cadena es:

$$<br /> N - M_{L-y}\cdot g&=&0 <br /> \Rightarrow N&=&M_{L-y}\cdot g<br />$$

\\
Reemplazando la ecuaci\'on (4) en la ecuaci\'on (3), se obtiene :

$$\begin{equation}<br /> -\mu gM_{L-y} -\eta \cdot (m_c+M_t)+M_yg-T=M_ta <br /> \end{equation}$$

\\
Ahora bien, sumando la ecuaci\'on (5) con la ecuaci\'on (1), se obtiene :

$$<br /> m_cg-\mu gM_{L-y} -\eta (m_c+M_t)+M_yg=(m_c+M_t)a<br />$$

Por otro lado, sabemos que la densidad de cadena es uniforme, luego tendemos que :

$$\begin{equation}<br /> \delta_{L-y}=\delta_{y} <br /> \end{equation}$$

Donde

$$$\delta _{L-y}$$$

es la densidad de la porci\'on de cadena que se encuentra sobre la mesa y $$\delta{y}$$ es la porci\'on de cadena que cae. Luego se tiene que :

$$<br /> \frac{M_{L-y}}{L- Y}= \frac{M_y}{Y}\Rightarrow M_{L-y}=\frac{(L-Y)M_y}{Y}$$

Ademas sabemos que:

$$<br /> M_{L-y}+M_y=M_t<br />$$

Luego , usando la ecuaci\'on (8) y (9) se obtiene que:

$$<br /> M_y=\frac{YM_t}{L}<br /> <br />$$

Y reemplazando la ecuacion (10) en (8) se obtiene :

$$<br /> M_{L-y}=M_t(L-Y)<br />$$

Luego, reemplazando la ecuaci\'on (10) y (11) en (5), y desarrollando se obtiene :

$$<br /> a=\frac{(1+\mu)M_tgY}{L(M_t+m_c)} - \frac{M_t \left[(\mu+\frac{m_c}{M_t})g+\eta \right]}{m_c+M_t}<br />$$

Sea

$$<br /> \alpha^2=\frac{(1+\mu)M_tg}{L(M_t+m_c)}<br />$$

y

$$<br /> \beta= \frac{M_t \left[(\mu+\frac{m_c}{M_t})g+\eta \right]}{m_c+M_t}<br />$$

Luego sabiendo que $$a=\ddot{Y}$$, nuestra ecuaci\'on diferencial, reemplazando las variables auxiliares, es :

$$<br /> \ddot {Y} - \alpha^2Y +\beta=0<br />$$

La soluci\'on de esta ecuaci\'on diferencial para este caso es:

$$<br /> Y(t)=A\cosh(\alpha t)+ \frac{\beta}{\alpha^2}<br />$$

Con las condiciones de borde, es decir, para $$Y(t=0)=Y_0$$y $$\dot{Y}(t=0)=0$$, se obtiene que:

$$<br /> A=Y_0-\frac{\beta}{\alpha^2}<br />$$

Luego, finalmente se tiene que la soluci\'on final es:

$$\displaystyle <br /> Y(t)=\left(Y_0-\frac{\beta}{\alpha^2}\right)\cosh{(\alpha t)} + \frac{\beta}{\alpha^2}<br />$$

Y aca viene el inconveniente, la curva de moviemiento de la cadena es la siguiente:


Y pues bien, es evidente que la grafica anterior no corresponde a una funicion hiperbolica, la siguiente imagen nos entrega la curva teorica de la ecuacion (19):


Lo cual no es la grafica que se registraron en el laboratorio, hay diferencias en el crecimiento , en el caso experimental es de manera mas brusca que el q se planteo en la teoria.



Bueno alg'una mente sabria determinar como es la ecuacion que mas se asemeja al movimiento de la cadena? ya que como lo dije antes, la teoria que expuse necesita una correccion, y es en la fuerza de roce Fr', que es la que se produce entre los eslabones con el borde de la mesa.

ESpero me puedan ayudar a salir de la duda de como es la ecuacion teorica

Yn saludo

[Metaleer]

Re: Movimiento de una cadena por el borde de una mesa

Haciendo un análisis dinámico, a mi la ecuación diferencial me sale

$$\frac{d^2y}{dt^2} - \frac{g M (\mu +1)}{\ell (m+M)} y = -\frac{g (m+M \mu )}{m+M}.$$

donde $\ell$ es la longitud total de la cadena, $M$ es su masa y $m$ es la masa del bloque de la izquierda.

Para plantearla, apliqué la segunda ley de Newton al trozo de cadena que cuelga del borde de la mesa:

$$m_1 g - T - F_R = M \frac{d^2y}{dt^2}$$

donde $m_1$ es la masa del trozo que cuelga, $T$ es la tensión en la cuerda, y $F_R$ es la fuerza de rozamiento del trozo de cadena sobre la mesa. Se tiene que $m_1 = \lambda y$, $F_R = \mu N = \mu m_2 g = \mu \lambda (\ell - y) g$ y $T = m\frac{d^2y}{dt^2} + mg$ ya que el bloque adquiere la misma aceleración que la cadena. La demostración de este hecho es muy sencillo, sólo tienes que recordar que la longitud total de la cadena más la cuerda es constante, y diferenciar para ver que la aceleración hacia arriba del bloque es la aceleración hacia abajo de la cadena. Sustituyendo todos estos valores en (2), y recordando que $\lambda = \frac{M}{\ell}$ ya que la cadena la supones homogénea, obtienes la EDO (1).

Parece ser que la solución es parecida a la que ya has obtenido, la parte homogénea da exponenciales reales (cosenos y senos hiperbólicos), y la parte no homogénea, constante, sólo supone la adición de una constante a la solución general.

Saludos.

PD: Buscando un poco por Internet, he podido encontrar este enlace. A ver si te ayuda.

[dany_nash]

Re: Movimiento de una cadena por el borde de una mesa

Hola, gracias por la respuesta . Pero de ser de esa forma, la soluciion tambi'en vendr'ia siendo un coseno hiperbolico (la misma soluci'on que plantie antes) aunque por lo que veo no incorporaste lo esencial de este problema que era incluir los efectos de roce que se producen cuando chocan los eslabones con el borde de la mesa y sabiendo como se comporta (que es la real complicación de este problema) se podria determinar como es la solucion general de este movimiento , ya que al verla grafica que obtuvimos experimentalmente, no concuerda en su totalidad con la ecuacion teorica.

Si pueden hacerlo via lagrange no importa xD...solo quiero ver como ser'ia la solucion general.

Un saludoo.

Y grax por responder

[Metaleer]

Re: Movimiento de una cadena por el borde de una mesa

Me dio por mirar las referencias que da el autor del informe que puse antes. En "Another look at the uniform rope sliding over the edge of a smooth table" de Domingo Prato y Reinaldo J. Gleiser, en efecto dicen que para que la cadena mantenga la forma que viene indicada en el diagrama de fuerzas (una L invertida), debe haber una fuerza aplicada sobre la cadena en el borde para que exista un ángulo recto brusco. Ellos utilizan el siguiente argumento:

Parten de $\displaystyle \mathbf{F} = \frac{d \mathbf{p}}{dt}$ donde $\mathbf{F}$ es la suma de todas las fuerzas externas y $\mathbf{p}$ es la suma de los momentos de cada partícula del sistema que estamos considerando (este caso, la cadena). Como antes, $\ell = x + y$ donde $\ell$ es la longitud total de la cadena. Si el eje $X$ está en la dirección de la parte horizontal sobre la mesa y el eje $Y$ apuntando hacia abajo, tenemos que $\mathbf{p} = p_x \boldsymbol i + p_y \boldsymbol j$ y

$$p_x = \rho x \frac{dx}{dt} = - \rho (\ell - y) \frac{dy}{dt},$$

$$p_y = \rho y \frac{dy}{dt}$$

donde $\rho$ es la masa por unidad de longitud (densidad lineal de masa) y hemos podido diferenciar en $\ell = x + y$ con respecto al tiempo para ver que $\displaystyle \frac{dx}{dt} = - \frac{dy}{dt}$. Diferenciando ahora las ecuaciones (1) y (2) con respecto al tiempo para obtener la fuerza en cada eje:

$$F_x = \frac{d(- \rho (\ell - y) \frac{dy}{dt})}{dt} = \rho \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 - \rho (\ell - y) \frac{d^2y}{dt^2},$$

$$F_y = \frac{d(\rho y \frac{dy}{dt})}{dt} = \rho \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \rho y \frac{d^2y}{dt^2}.$$

Vamos a llamar $\mathbf{f} = f_x \boldsymbol i + f_y \boldsymbol j$ a la fuerza que actúa en el borde de la mesa sobre la cadena. Recordando que el peso del trozo que cuelga es $\rho y g$, las ecuaciones (3) y (4) se convierten en

$$f_x + T + F_R= \rho \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 - \rho (\ell - y) \frac{d^2y}{dt^2},$$

$$f_y + \rho y g = \rho \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \rho y \frac{d^2y}{dt^2}.$$

Lo que hace el autor para obtener $\mathbf{f} = f_x \boldsymbol i + f_y \boldsymbol j$ es apoyarse en la conservación de la energía para obtener $y(t)$ y a continuación sustituir en (5) y (6). Esto lo puede hacer porque el autor considera el caso de una cadena que cae sin rozamiento en la parte que queda apoyada sobre la mesa. Pero es que aquí esto no lo podemos hacer porque has supuesto que sí hay rozamiento entre la cadena y la mesa (el autor además sólo trata la caída de la cadena sin ninguna masa colocada en el otro extremo de la mesa que sube mediante una polea; no hay término $F_R$ ni $T$). Entonces, una posible forma de solucionar el asunto sería, ¿es despreciable el rozamiento entre la cadena y la mesa? Si es así, puedes plantear la conservación de la energía mecánica para el sistema en su totalidad, diferenciar con respecto al tiempo y así obtienes una ecuación diferencial donde $y(t)$ es la incógnita. A continuación, tendrías que sustituir en

$$f_x + T= \rho \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 - \rho (\ell - y) \frac{d^2y}{dt^2},$$

$$f_y + \rho y g = \rho \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \rho y \frac{d^2y}{dt^2}.$$

donde $\displaystyle T = m\frac{d^2y}{dt^2} + mg$ y así podrías despejar $f_x$ y $f_y$. Por otra parte, si el rozamiento no es despreciable, puedes intentar deducir el coeficiente de rozamiento de forma experimental como lo hace el autor del informe que puse al principio de este mensaje.

Espero que esto te sirva.

Saludos.

[dany_nash]

Re: Movimiento de una cadena por el borde de una mesa

:O gracias por la respuesta, ya lo leere y ver'e si anda perfecto con la curva experimental

[jorgext]

Re: Movimiento de una cadena por el borde de una mesa

Esa es la gracia de la física experimental.
Asumiendo que tu cálculo teórico es correcto. Pregúntate, cómo ajustarías los parámetros $\alpha, \beta, Y_0$. Es muy importante, ya que así, puede ser que coincidan. Tampoco esperes que te de exáctamente la misma curva, debido a que el roce que tiene, por ejemplo, la cadena con la mesa, no es el más ideal que hay, como para escribirlo solo como el producto del coeficiente de roce y la normal, esta presente que la cuerda no es ideal, y que la polea tiene un momento de inercia y también, muy probablemente la fuerza de gravedad, no es $9.8~m/s^2$ en tu laboratorio. Errores! hay que saber tratarlos.