1r ciclo Dos masas se encuentran arriba de un vagón de tren que se mueve...

[Templario777]

El sistema de la figura se encuentra arriba de un vagón de tren que se mueve (hacia la derecha) con velocidad v. Dos masa m1 y m2 están mantenidas en reposo respecto al vagón oprimiendo un resorte de constante k que no está unido a ninguna de las dos masas. El resorte que tiene una masa despreciable y está inicialmente comprimido, respecto de su longitud natural. Se suelta el sistema y, luego, las masas se desplazan por la superficie horizontal sin rozamiento. La velocidad final vf del centro de masas del sistema, vista desde un referencial inercial ubicado en la estación de tren verifica:

A mi me da la opción a) pero al parecer no es la correcta y no sé por qué.

SaluT!
T777

[carmelo]

Re: Dos masas se encuentran arriba de un vagón de tren que se mueve...

Hola: La opción correcta es la (c). No actuan fuerzas externas sobre el sistema.


Saludos
Carmelo

[GNzcuber]

Re: Dos masas se encuentran arriba de un vagón de tren que se mueve...

Hola,

La respuesta es la c), ya que no actúan fuerzas externas (bueno, la gravedad pero la normal la compensa). Haciendo un poco de desarrollo por hacer algo (y que no quede tan soso):

Calculamos la posición del centro de masas, necesitamos entonces un sistema de referencia, como el sistema se mueve/moverá unidimensionalmente cogemos un eje paralelo al suelo del tren.

$$\dst x_{CM}=\Frac{m_1\cdot x_1+m_2\cdot x_2}{m_1+m_2}$$

Obtenemos la velocidad respecto al tren:

$$\dst \frac{{d}\bold{x_{CM}}}{{d}t}=\bold{v_{CM}}=\frac{m_1\cdot \bold{v_1}+m_2\cdot \bold{v_2}}{m_1+m_2}$$

Ahora recordamos que ese sistema se está moviendo respecto a nosotros, en nuestro sistema de referencia veremos esto:

$$\dst \bold{x}=\bold{x'}+v_0\cdot t=\bold{x_{CM}}+\bold{v_0}\cdot t$$

$$\dst \frac{{d}\bold{x}}{{d}t}=\bold{v}=\bold{v_{CM}}+\bold{v_0}$$

Sustituyendo:

$$\dst \bold{v}=\frac{m_1\cdot \bold{v_1}+m_2\cdot \bold{v_2}}{m_1+m_2}+\bold{v_0}$$

Ahora ¿Qué pasa con las velocidades del sistema de referencia?

Simplemente la energía almacenada por el resorte se reparte en ambas masas, éstas adquieren una energía cinética:

$$\dst \frac{k\cdot l^2}{2}=\frac{m_1\cdot v_1^2}{2}+\frac{m_2\cdot v_2^2}{2}$$

Y a su vez se conserva el momento lineal (no hay fuerzas externas, salvo lo dicho):

$$\dst m_1\cdot \bold{v_1}+m_2\cdot \bold{v_2}=0\, \rightarrow \, \bold{v_1}=-\frac{m_2}{m_1}\bold{v_2}$$

Sustituyendo en las energías:

$$\dst k\cdot l^2=m_1\left(-\frac{m_2}{m_1}\bold{v_2}\right)^2+m_2\cdot v_2^2=\frac{m_2+m_1}{m_1}m_2\cdot v_2^2$$

$$\dst E_{c_2}=\frac{m_2\cdot v_2^2}{2}=\frac{m_1}{m_1+m_2}\left(\frac{k\cdot l^2}{2}\right)=\frac{m_1}{m_1+m_2}E$$

$$\dst E-E_{c_2}=E_{c_1}=\frac{m_2}{m_1+m_2}E$$

Ejem... esto no quería hacer, lo de las energías, tengo suficiente con el momento, sustituimos la relación de las velocidades:

$$\dst \left.\begin{aligned}\bold{v}=\frac{m_1\cdot \bold{v_1}+m_2\cdot \bold{v_2}}{m_1+m_2}+\bold{v_0}\\ \bold{v_1}=-\frac{m_2}{m_1}\bold{v_2}\end{aligned}\right\} \bold{v}=\bold{v_0}$$

Me extendí bastante, pero espero que te sirva la proporción de las energías para otro problema .

¡Saludos!

[Templario777]

Re: Dos masas se encuentran arriba de un vagón de tren que se mueve...

La verdad no entiendo eso Carmelo. Yo pienso lo siguiente, algún agente externo mantiene comprimido al resorte y junto a el se hallan las masas, todo se traslada a v cte, se suelta el resorte entonces las 2 masas experimentan una Fuerza de origen elástica que les imprime una cierta velocidad, no es así? Aplico conservación de la energía y uso la fórmula de la vel. del centro de masas y llego a la a). En que falla mi razonamiento?

SaluT!
T777

[GNzcuber]

Re: Dos masas se encuentran arriba de un vagón de tren que se mueve...

La verdad no entiendo eso Carmelo. Yo pienso lo siguiente, algún agente externo mantiene comprimido al resorte y junto a el se hallan las masas, todo se traslada a v cte, se suelta el resorte entonces las 2 masas experimentan una Fuerza de origen elástica que les imprime una cierta velocidad, no es así? Aplico conservación de la energía y llego a la a). En que falla mi razonamiento?

SaluT!
T777

Si las fuerzas externas que actúan, lo hacen sobre todas las partículas por igual, entonces el centro de masas tendrá una resultante neta. Para comprimir el resorte necesariamente debimos aplicar una fuerza, y puede que en una masa más que en otra, esto haría acelerar el centro de masas del sistema, pero ... ¿Qué importa? Lo que te están pidiendo es sobre es después de descomprimirse el muelle, donde actúa una fuerza de acción y reacción dentro del sistema (como son acción y reacción deben ser iguales y opuestas, en diferentes cuerpos, eso hace que no cambie el centro de masas).

¡Saludos!

[Templario777]

Re: Dos masas se encuentran arriba de un vagón de tren que se mueve...

Hola GNzcuber, no entiendo eso de que no actúan Fuerzas externas, ¿y el agente que está comprimiendo al sistema?

[GNzcuber]

Re: Dos masas se encuentran arriba de un vagón de tren que se mueve...

Hola GNzcuber, no entiendo eso de que no actúan Fuerzas externas, ¿y el agente que está comprimiendo al sistema?

El enunciado dice que las masas se encuentran en reposo respecto el tren, ¿Qué significa esto? Simplemente que la resultante de fuerzas externas es cero. Si hay alguien comprimiendo el muelle, lo hace de tal manera que aplica la misma fuerza en ambos sentidos y misma dirección. Con ello el centro de masas se encuentra inmóvil, pero ya te he dicho, el momento que estamos analizando es "al soltar" las masas. Imagínate que de repente desaparecen esas fuerzas y en ese instante te pones a hacer cálculos ¿Qué fuerzas hay? La de recuperación del resorte, que actúa igualmente sobre ambas masas y como la suma de éstas fuerzas es nula, no hay Resultante sobre el centro de masas.

¡Saludos!

P.D.: Si te resulta más fácil, imagínate una caja sólida indeformable tal que su masa sea la suma de las masas anteriores. Ahora mi sistema realmente se ha reducido a una masa, y se ha simplificado el trabajo, que es lo que pretende el concepto de centro de masas.
¿Qué pasa si estiro igualmente por ambos lados de esta caja? Pues nada, la caja se queda en su sitio. Éste es el efecto que intenta hacer el resorte.
¿Qué pasa si empujo la caja? Se cumple la segunda ley de Newton, eso significa que a todas las partículas del sistema se les aplicó la misma fuerza.
¿Qué pasa si empujo la caja por un costado y se rompe moviendose sólo una parte? Lo primero, que descubres que no era tan "sólido rígido" como pensábamos . Pero lo que realmente importa es que ahora no puedes aplicar la segunda ley de Newton diciendo que sobre todas las partículas actúo una única fuerza, es decir, no puedes decir que sobre el centro de masas del sistema actúo una fuerza.

[Templario777]

Re: Dos masas se encuentran arriba de un vagón de tren que se mueve...

OK! Y que sucede si aplicamos conservación de la energía? El agente externo ha realizado un trabajo igual sobre ambos lados del resorte, entonces tenemos:

$\displaystyle\[\frac{{k{l^2}}}<br /> {2} = \frac{1}<br /> {2}{m_1}v_1^2 = \frac{1}<br /> {2}{m_2}v_2^2 \Rightarrow \frac{{{m_1}}}<br /> {{{m_2}}}v_1^2 = v_2^2\]<br />$

Al hacer cuentas junto a la ecuación de la velocidad del centro de masas y sumando luego la velocidad que ya tenía el sistema obtienes la velocidad del centro de masas del sistema desde un referencial inercial en la estación del tren.

Qué está mal acá?

[GNzcuber]

Re: Dos masas se encuentran arriba de un vagón de tren que se mueve...

OK! Y que sucede si aplicamos conservación de la energía? El agente externo ha realizado un trabajo igual sobre ambos lados del resorte, entonces tenemos:

$\displaystyle\[\frac{{k{l^2}}}<br /> {2} = \frac{1}<br /> {2}{m_1}v_1^2 = \frac{1}<br /> {2}{m_2}v_2^2 \Rightarrow \frac{{{m_1}}}<br /> {{{m_2}}}v_1^2 = v_2^2\]<br />$

Al hacer cuentas junto a la ecuación de la velocidad del centro de masas y sumando luego la velocidad que ya tenía el sistema obtienes la velocidad del centro de masas del sistema desde un referencial inercial en la estación del tren.

Qué está mal acá?

Que estás dando por supesto que tendrán la misma energía cinética. En mi planteamiento dije eso erróneamente pero no lo utilicé. Lo fundamental es la conservación del momento, y como al principio se encontraban en reposo (desde un sistema de referencia inercial solidario con el tren), tendremos:

$$\dst m_1=k\cdot m_2$$

$$\dst \Delta \vec{F}_{ext}=0\, \Rightarrow \, \Delta \vec{p}=0\, \rightarrow m_1\cdot \bold{v_1}+m_2\cdot \bold{v_2}=0\Rightarrow \bold{v_1}=-\frac{\bold{v_2}}{k}$$

Ahora sustituyendo en las energías:

$$\dst \left.\begin{aligned}E_{c_1}=\frac{m_1\cdot v_1^2}{2}=\frac{m_1}{2}\left(-\frac{\bold{v_2}}{k}\right)^2=\frac{m_1\cdot v_2^2}{2k^2}\\ E_{c_2}=\frac{m_2\cdot v_2^2}{2}=\frac{m_1}{k}\frac{v_2^2}{2}\end{aligned}\right\}E_{c_1}\neq E_{c_2}$$

¡Saludos!

P.D.: Por cierto, supongo que tu ecuación de las energías escribiste esa relación para simplificar, porque en caso que se repartiera igual (las masas serían iguales) la energía que le corresponde a cada uno, si se ha deformado en l, será:

$$\dst E_{c_1}=E_{c_2}=\frac{k\cdot l^2}{8}$$

[Templario777]

Re: Dos masas se encuentran arriba de un vagón de tren que se mueve...

GNzcuber, si la superficie carece de fricción cuando yo comprimo el resorte desde ambos extremos, junto con las masas, yo lo que imagino es que se comprime lo mismo para ambos lados de su longitud natural, así ambos bloques tendrían la misma energía inicial, que por cierto, atendiendo a tu postdata anterior que creo que hiciste mal los cálculos, las masas no serían iguales.

Igual no sé si mis hipotesis son ciertas, pero si fueran ciertas, ¿por qué al aplicar la conservación de la energía no se llega a la respuesta correcta?

[GNzcuber]

Re: Dos masas se encuentran arriba de un vagón de tren que se mueve...

GNzcuber, si la superficie carece de fricción cuando yo comprimo el resorte desde ambos extremos, junto con las masas, yo lo que imagino es que se comprime lo mismo para ambos lados de su longitud natural, así ambos bloques tendrían la misma energía inicial...

Deja de imaginar eso :P. Te pondré un pequeño ejercicio: Si tengo un resorte de constante k y longitud natural $\dst l_0$, y dejo caer sobre él una masa m desde una altura h>l_0. ¿Qué altura alcanzará después de rebotar? (considerando un resorte ideal y no hay pérdidas de rozamiento por rozamiento con el aire).

que por cierto, atendiendo a tu postdata anterior que creo que hiciste mal los cálculos, las masas no serían iguales.

No, sé que suelo hacerlos, pero esta vez no .
¿Por qué dices que las masas no serían iguales? Si lo dices porque no hace falta que las masas sean iguales para que la energía potencial se reparta por igual ya te he demostrado que si son diferentes las energías cinéticas también.
Si las masas son iguales, por tanto k vale 1 (sí, sé que estoy usando una k para la relación entre las masas y k para la constante del resorte) y las energías cinéticas tienen que ser iguales. Y lo que te digo es que la energía no se crea de la nada, si el resorte está comprimido está almacenando una energía que la repartirá entre los dos cuerpos, hemos supuesto ahora que las masas son iguales, entonces la energía se reparte por igual, y a cada una le corresponde:

$$\dst E_{c_1}=E_{c_2}=\frac{k}{2}\left(\frac{l}{2}\right)^2=\frac{k\cdot l^2}{8}$$

Igual no sé si mis hipotesis son ciertas, pero si fueran ciertas, ¿por qué al aplicar la conservación de la energía no se llega a la respuesta correcta?

Uff... , creo que sí se llega, antes lo he dejado por la mitad porque con el momento lineal salía más sencillo:

Teníamos: $\dst E_{c_2}=\frac{m_1}{m_1+m_2}E\quad y\quad E_{c_1}=\frac{m_2}{m_1+m_2}E$

La velocidad del sistema era: $\dst \bold{v}=\frac{m_1\cdot \bold{v_1}+m_2\cdot \bold{v_2}}{m_1+m_2}+\bold{v_0}$

Entonces:

$$\dst v=\frac{v_1\cdot E_{c_2}-v_2\cdot E_{c_1}}{E}+v_0=\frac{(m_2\cdot v_2-m_1\cdot v_1)}{2E}v_1\cdot v_2+v_0$$

De aquí ya no sabría pasar, pero nota que lo que está entre paréntesis es el estado final del momento lineal del sistema, y si estamos usando "la conservación de la energía" es porque no hay fuerzas externas y ésto conlleva que la cantidad de momento no varía, y si al principio era cero, pues ahora también y anularía todo el término.

¡Saludos!

[GNzcuber]

Re: Dos masas se encuentran arriba de un vagón de tren que se mueve...

Deja de imaginar eso :P. Te pondré un pequeño ejercicio: Si tengo un resorte de constante k y longitud natural , y dejo caer sobre él una masa m desde una altura h>l_0. ¿Qué altura alcanzará después de rebotar? (considerando un resorte ideal y no hay pérdidas de rozamiento por rozamiento con el aire).

Bueno, me voy a dormir y parece que quedaste convencido . Sin embargo este ejercicio lo he puesto para que lo pensaras un poco y son de aquellos que si tenías un error de concepto no se te olvidan.

Supongo que la respuesta es inmediata, al no haber rozamiento por conservación de la Energía Mecánica al rebotar alcanza la misma altura h de la cual se ha dejado caer. Según eso estarías violando lo que decías antes, porque la mitad de la energía potencial elástica iría para la masa que dejamos caer y la otra parte iría para el planeta Tierra, que se encuentra al otro lado del resorte. Sin embargo prácticamente iría toda la energía para la masa de prueba. Siempre hay que acordarnos que la magnitud de la acción y reacción es la misma y ésta se reparte por igual, no la energía.

¡Saludos!

[Templario777]

Re: Dos masas se encuentran arriba de un vagón de tren que se mueve...

Gnzcuber, no entendí esto que has dicho, "Siempre hay que acordarnos que la magnitud de la acción y reacción es la misma y ésta se reparte por igual". Cuáles son los pares acción-reacción acá?

[GNzcuber]

Re: Dos masas se encuentran arriba de un vagón de tren que se mueve...

Hola,

Gnzcuber, no entendí esto que has dicho, "Siempre hay que acordarnos que la magnitud de la acción y reacción es la misma y ésta se reparte por igual". Cuáles son los pares acción-reacción acá?

Pues las fuerzas que, en principio, hacen algún efecto son la fuerza que el resorte ejerce a la masa y la que ejerce a la Tierra. Sé que parece que no son de acción y reacción pero mira: el resorte comprimido tiene energía almacenada y la naturaleza tiende a disminuir la energía de un sistema, por lo tanto el muelle querrá descomprimirse ejerciendo una fuerza sobre la masa, ésta ejerce a su vez una fuerza sobre el resorte, pero el resorte no sale despedido porque esa fuerza se la transfiere a la Tierra, que ésta a su vez reacciona con una normal. Ahora la síntesis, la fuerza de reacción de la masa al muelle es opuesta y actúa sobre el mismo cuerpo, por lo tanto la resultante sobre este es nula.
Entonces podemos tomar como acción y reacción las fuerzas se ejercen sobre la Tierra y masa. Obviamente que tomar esto estaría mal, fallo mío, porque la acción y reacción son las que he dicho antes. Sin embargo quería que lo tomes como un conjunto porque al muelle no le pasa nada, sólo se descomprime.

¡Saludos!