1r ciclo otro de choque interesante

[gaussiano]

Perdonad que no haga un esquema pero es que el scanner no me va. A ver si puedo explicarlo lo mejor posible.
Un cuerpo de masa M=2 kg cuelga de un resorte vertical de constante K=8 N/m, pero la masa M esta ensartada en una guia horizontal por la que puede moverse sin rozamiento, y en esa situacion, el resorte mantiene su longitud natural Lo= 1 m.
Una esferita que se mueve a 10 m/s y de masa m=0,5 kg impacta horizontalmente contra M en una colision elastica. Se supone que dicha esferita tambien puede moverse por la guia. Como resultado del choque, M se mueve y el resorte se estira, formando un triangulo rectangulo si tenemos en cuenta su posicion inicial; calcular el angulo $\theta$ que formara el resorte estirado en su posicion maxima con la vertical original.
Bueno, yo he aplicado conservacion del momento lineal y de la energia cinetica, que luego se transforma en potencial elastica. Con los datos del problema he obtenido un angulo:

$\cos \theta = 1/2,25$ pero el resultado es $\cos \theta = 1/3$
¿Como lo veis?

[GNzcuber]

Re: otro de choque interesante

Hola gaussiano,

A ver qué me sale. Conservación del momento:

$$\dst m\cdot v_0=M\cdot v-m\cdot v_1\rightarrow v_1=\frac{M}{m}v-v_0$$

Como es un choque elástico, se conserva la energía cinética:

$$\dst \frac{1}{2}m\cdot v_0^2=\frac{1}{2}m\cdot v_1^2+\frac{1}{2}k\cdot (\Delta r)^2\rightarrow \Delta r=\sqrt{m\frac{v_0^2-v_1^2}{k}}$$

$$\dst \Delta r=\sqrt{\frac{2v_0\cdot v\cdot M\cdot m-M^2\cdot v^2}{m\cdot k}}$$

La velocidad desconocida la podemos relacionar con las otras magnitudes pensando que es un péndulo de longitud l_0.

$$\dst x=A\cdot \cos(\omega t)=l_0\cdot \cos\left(\sqrt{\frac{k}{M}}t\right)\rightarrow \frac{{d}x}{{d}t}=v=l_0\sqrt{\frac{k}{M}}\cos\left(\sqrt{\frac{k}{M}}t\right)$$

Sustituyendo la velocidad en (3) y teniendo en cuenta que en t=0 la velocidad es máxima, es decir, con la que sale despedido después del choque:

$$\dst (\Delta r)^2m\cdot k=2l_0\cdot v_0\sqrt{M\cdot k}-l_0^2\cdot k\rightarrow \Delta r=\sqrt{\frac{2v_0\cdot l_0}{m}\sqrt{\frac{M}{k}}-\frac{l_0^2}{m}}$$

$$\dst \Delta r=r-l_0\Rightarrow r=l_0+\Delta r$$

El ángulo formado está relacionado con la longitud inicial del resorte y su longitud final, teniendo que éstas con el carril forman un triángulo rectángulo:

$$\dst \theta=\arccos\left(\frac{l_0}{r}\right)\rightarrow \cos(\theta)=\frac{l_0}{r}$$

$$\dst \cos(\theta)=\frac{l_0}{l_0+\Delta r}=\sqrt{\frac{m\cdot l_0\sqrt{k}}{l_0\left(2v_0\sqrt{M}-\sqrt{k}\right)}}$$

$$\dst \cos(\theta)=\sqrt{\frac{0.5kg\cdot 1m\sqrt{8N\cdot m^{-1}}}{1m(2\cdot 10m\cdot s^{-1}\sqrt{2kg}-\sqrt{8N\cdot m^{-1}})}}=\frac{1}{3\sqrt{2}}$$

Demonios ... :'(.

Revisaré todo nuevamente, pero primero tengo que hacer algunas cosillas :P.

¡Saludos!

[Al2000]

Re: otro de choque interesante

...Con los datos del problema he obtenido un angulo:

$\cos \theta = 1/2,25$ pero el resultado es $\cos \theta = 1/3$
¿Como lo veis?

¿Puedes confirmar los datos? Con los datos propuestos me resulta $\dst \cos \theta = \frac {L_0}{\sqrt {4 \,\frac M k \,\left(\frac m {M+m}\right)^2\,v_0^2 + L_0^2}} = \frac 1 {\sqrt {5}}$

Saludos,

Al

PD. Corrigiéndole los errores a GNzcuber (la paja) conseguí los míos (la viga): El resultado es

$\dst \Delta r = 2\, \frac m {M+m}\,v_0\, \sqrt {\frac M k}$

$\dst \Delta r = L_0\,\sec \theta - L_0 \quad \Rightarrow \quad \cos \theta = \frac {L_0}{L_0 + \Delta r}$

$\dst \cos \theta = \frac {L_0}{L_0 + 2\, \frac m {M+m}\,v_0\, \sqrt {\frac M k}} = \frac 1 3$

[Al2000]

Re: otro de choque interesante

...
A ver qué me sale. Conservación del momento:

$$\dst m\cdot v_0=M\cdot v-m\cdot v_1\rightarrow v_1=\frac{M}{m}v-v_0$$

Como es un choque elástico, se conserva la energía cinética:

$$\dst \frac{1}{2}m\cdot v_0^2=\frac{1}{2}m\cdot v_1^2+\frac{1}{2}k\cdot (\Delta r)^2\rightarrow \Delta r=\sqrt{m\frac{v_0^2-v_1^2}{k}}$$

$$\dst \Delta r=\sqrt{\frac{2v_0\cdot v\cdot M\cdot m-M^2\cdot v^2}{m\cdot k}}$$

La velocidad desconocida la podemos relacionar con las otras magnitudes pensando que es un péndulo de longitud l_0.

$$\dst x=A\cdot \cos(\omega t)=l_0\cdot \cos\left(\sqrt{\frac{k}{M}}t\right)\rightarrow \frac{{d}x}{{d}t}=v=l_0\sqrt{\frac{k}{M}}\cos\left(\sqrt{\frac{k}{M}}t\right)$$

...

Tienes una complicación y un errorcillo.

La complicación es que cuando hiciste directamente en balance de energía cinética a energía elástica, omitiste una ecuación (energía inicial de m = energía final de m + energía de M) con lo cual te faltó despues una ecuación para hallar la velocidad de M.

El errorcillo es asumir que el movimiento es armónico simple, cuando la restricción de la guía hace que la fuerza restauradora no sea precisamente proporcional a la deformación del resorte.

Saludos,

Al

[Jose D. Escobedo]

Re: otro de choque interesante

¿Puedes confirmar los datos? Con los datos propuestos me resulta $\dst \cos \theta = \frac {L_0}{\sqrt {4 \,\frac M k \,\left(\frac m {M+m}\right)^2\,v_0^2 + L_0^2}} = \frac 1 {\sqrt {5}}$

Saludos,

Al

Creo que aqui tu tambien tienes un errocillo, como es con la vertical $\dst \cos \theta =\frac{l_o}{l_o +x}$ y si en efecto da $\dst \cos \theta = \frac{1}{3}$

[Al2000]

Re: otro de choque interesante

Creo que aqui tu tambien tienes un errocillo...

Damn! Cogido in fraganti...

[Jose D. Escobedo]

Re: otro de choque interesante

Damn! Cogido in fraganti...

That's really funny Al

[carmelo]

Re: otro de choque interesante

Hola:
Aca va mi desarrollo. Estamos de acuerdo en que el resultado correcto es $\cos \theta=\frac13$

Conservación de la cantidad de movimiento en la colisión.
$mv_0=Mv-mv_1\Rightarrow v=\dst\frac mM(v_0+v_1)\Rightarrow v^2=\dst\frac{m^2}{M^2}(v_0+v_1)^2$

Conservación de la energía.
$\frac12mv_0^2=\frac12Mv^2+\frac12mv_1^2$
desarrollando ambas ecuaciones se tiene:
$(v_0^2-v_1)^2=\dst\frac mM(v_0+v_1)^2\Rightarrow v_0-v_1=\dst\frac mM(v_0+v_1)\Rightarrow v_1=\dst\frac{M-m}{M+m}v_0$
$v=\dst\frac mMv_0\left(\dst\frac{M-m}{M+m}+1\right)=\dst\frac{2mv_0}{M+m}$

Ahora por balance de energía se tiene:
$\frac12Mv^2=\frac12kx^2$ donde $x = l-l_0$ y $l$ es la longitud del resorte en el momento de máximo estiramiento.
Teniendo en cuenta esto se tiene que $\cos\theta=\dst\frac{l_0}{l}$

Desarrollando se tiene:

$x=l-l_0=\left(\dst\frac{1}{\cos\theta}-1\right)l_0=\dst\frac{2mv_0}{M+m}\sqrt{\dst\frac Mk}$
Despejando se tiene:
$\cos\theta=\left[1+\dst\frac{2mv_0}{l_0(M+m)}\sqrt{\dst\frac Mk}\right]^{-1}$
Que sustituyendo por los datos suministrados en el ejercicio se llega al valor ya comentado.


Saludos
Carmelo

[gaussiano]

Re: otro de choque interesante

Demonios! Cómo funcionais! Prestadme alguna neurona que os sobre! jaja

[gaussiano]

Re: otro de choque interesante

by the way, ¿por que rebota m para atras? porque yo pensaba que al ser choque elastico, m le transferia parte de su energia y ella continuaba moviendose en el mismo sentido?

[GNzcuber]

Re: otro de choque interesante

Hola gaussiano,

Continuaría moviéndose en el mismo sentido si fuese más masiva que M, pero al ser menos masiva y colisionar elásticamente rebota. Agradecería que si alguien lo puede explicar mejor, yo no tuve un buen profesor de mecánica y ésto lo descubrí en un examen de Ondas y Óptica :P. Lo que son las cosas .

¡Saludos!

[carmelo]

Re: otro de choque interesante

Hola:
Simplemente si observas la expresión para $v_1$ notaras que depende del factor $M-m$. Yo supuse que rebotaba, pero si $m>M$ cambia el signo de $v_1$ y la masa sigue en el sentido que venía. Incluso se las masas son iguales, la masa m, queda en reposo.


Saludos
Carmelo