Problema de sólido rígido

[MiG10]

Buenas,estoy atascado en el siguiente problema: tengo una masa M unida a un resorte que pasa por una polea de masa M y radio R


Tengo que averiguar la velocidad angular del movimiento armónico pero no me sale lo que la solución:
Planteo las ecuaciones del movimiento para la masa M y la masa m junto con la condición de que rueda sin deslizar:
$\sum F=Mg-kx=Ma$

$\sum \tau=-kxR=I\alpha$
además $a=\alpha r<br />$
El momento de inercia de la polea es el de un disco

sumo ambas ecuaciones y me tiene que quedar una ec.diferencial del oscilador y el termino que acompañe a x sera $\omega^2$

no se que hago mal

[[Beto]]

Re: Problema de sólido rígido

Te falta sumar el torque ejercido por la masa suspendida ya que solo has considerado el que ejerce la fuerza elástica.

[MiG10]

Re: Problema de sólido rígido

Te falta sumar el torque ejercido por la masa suspendida ya que solo has considerado el que ejerce la fuerza elástica.

escribir $\sum \tau=(Mg-kx)R$?
lo he hecho y no llega a buen puerto

[MiG10]

Re: Problema de sólido rígido

si os sirve para orientaros la solución es $\omega=\sqrt(\frac{k}{1/2m+M})$

[[Beto]]

Re: Problema de sólido rígido

escribir $\sum \tau=(Mg-kx)R$?
lo he hecho y no llega a buen puerto

No está del todo correcto en realidad deberías de escribirlo asi:

$\displaystyle\sum \tau=MgR-kx_TR=I\alpha$

Donde $x_T=x_0+x$

$x_0$ es la deformación inicial por causa del bloque.

$x$ es una deformación adicional.

Entonces:

$\displaystyle\sum \tau=MgR-kx_0R-kxR=I\alpha$

Ten en cuenta que acá los dos primeros términos de la suma son iguales (pues $Mg=kx_0$) y si consideras que para la polea $I=\dfrac{1}{2}mR^2$ y $x=\theta R$ obtienes que:

$\dfrac{d^2\theta}{dt^2}+\dfrac{k}{\frac{1}{2}m+M}\theta=0$

De donde ya puedes apreciar que $\omega^2=\dfrac{k}{\frac{1}{2}m+M}$

Un saludo.

[MiG10]

Re: Problema de sólido rígido

$\displaystyle\sum \tau=MgR-kx_0R-kxR=I\alpha$
Ten en cuenta que acá los dos primeros términos de la suma son iguales (pues $Mg=kx_0$)

Eso es lo mismo que tengo yo en la ecuación del movimiento de rotación de la polea



Al hacer las cuentas cuando queda la E.D.O a mi me sale un factor dos multiplando a k, no lo entiendo, hoy debo estar espesito

[pod]

Re: Problema de sólido rígido

Al hacer las cuentas cuando queda la E.D.O a mi me sale un factor dos multiplando a k, no lo entiendo, hoy debo estar espesito

No creo que ese sea el problema, pero por si a caso, ten en cuenta que

$\dfrac{2k}{m+2M} = \dfrac{k}{\frac12 m + M}\ .$

Así que puede que el factor dos que te sale en k sea el mismo 1/2...

[[Beto]]

Re: Problema de sólido rígido

Hola, quizás sea lo que me paso a mi al inicio al realizar las operaciones, ten en cuenta que las masas de la polea (usada para calcular el momento de inercia) y del bloque son diferentes.

[Metaleer]

Re: Problema de sólido rígido

Otra forma que tienes de resolver el problema consiste en escribir la energía mecánica del sistema en un instante dado, cuando ya está oscilando aquello (coge la energía potencial gravitatoria del bloque de masa M tal que coincida con la elongación del muelle), y como sólo intervienen fuerzas conservativas en el problema, la derivada con respecto al tiempo de la energía mecánica ha de ser 0, ya que es constante, y en el segundo miembro que es donde tienes la suma de los distintos términos de energía (energía cinética del bloque de masa M, energía cinética de rotación del disco, energía potencial elástica del muelle y energía potencial gravitatoria del bloque de masa M) lo derivas también con respecto al tiempo, usando la regla de la cadena (suponiendo que cada variable es función del tiempo, tienes que derivar implícitamente, con la ayuda de la regla de la cadena), relacionando la velocidad v con la velocidad angular, el desplazamiento x con el ángulo como ya te han indicado, y debería salir. Si no entiendes algo, no dudes en preguntar.

Saludos

[MiG10]

Re: Problema de sólido rígido

Otra forma que tienes de resolver el problema consiste en escribir la energía mecánica del sistema en un instante dado, cuando ya está oscilando aquello (coge la energía potencial gravitatoria del bloque de masa M tal que coincida con la elongación del muelle), y como sólo intervienen fuerzas conservativas en el problema, la derivada con respecto al tiempo de la energía mecánica ha de ser 0, ya que es constante, y en el segundo miembro que es donde tienes la suma de los distintos términos de energía (energía cinética del bloque de masa M, energía cinética de rotación del disco, energía potencial elástica del muelle y energía potencial gravitatoria del bloque de masa M) lo derivas también con respecto al tiempo, usando la regla de la cadena (suponiendo que cada variable es función del tiempo, tienes que derivar implícitamente, con la ayuda de la regla de la cadena), relacionando la velocidad v con la velocidad angular, el desplazamiento x con el ángulo como ya te han indicado, y debería salir. Si no entiendes algo, no dudes en preguntar.

Saludos

perfecto

[MiG10]

Re: Problema de sólido rígido

Aprovecho este hilo para preguntar una duda de un ejercicio similar
Tengo un disco que rueda sin deslizar por una superficie esférica y tengo que sacar también la velocidad angular, el ejercicio te dice que escribas una ec. para la energía y la derives con respecto al tiempo para que te quede una ec. diferencial en la cual puedas usar la aprox. de ángulos pequeños.
El problema está en que no se como escribir la condición de rodadura ya que ahora no vale imponer que $v=wr$

[[Beto]]

Re: Problema de sólido rígido

Aprovecho este hilo para preguntar una duda de un ejercicio similar
Tengo un disco que rueda sin deslizar por una superficie esférica y tengo que sacar también la velocidad angular, el ejercicio te dice que escribas una ec. para la energía y la derives con respecto al tiempo para que te quede una ec. diferencial en la cual puedas usar la aprox. de ángulos pequeños.
El problema está en que no se como escribir la condición de rodadura ya que ahora no vale imponer que $v=wr$

Esto te puede dar una idea.

http://www.lawebdefisica.com/problem...eofebo20071201

acá rueda una espera pero para el caso del disco solo cambiale el momento de inercia y la expresión de la energía se calcula como se indica ahí.

[MiG10]

Re: Problema de sólido rígido

Dos preguntas:
-La altura no sería R-r ?
-Se cumple entonces la condición v=wr ?

[[Beto]]

Re: Problema de sólido rígido

Dos preguntas:
-La altura no sería R-r ?

No, la altura es $h=R(1-\cos\theta)$, ten en cuenta que se toma al disco en una posición arbitraria y la altura se mide con respecto a la parte inferior de la esfera grande. Observa la figura:

-Se cumple entonces la condición v=wr ?

Si esta condición se cumple porque te indican que el movimiento se realiza sin deslizamiento.