1r ciclo Inercia de una Polea

[Laron]

Hola, aquí tengo un problema que lo hise de una manera y me gustaría saber si es correcta o no, dice así:
Se tiene una polea de momento de inercia I, y de radio R, sobre la cual se pasa un hilo de masa despreciable y a cada extremo del hilo se colocan masas de valores m1 y m2. Si m1 > m2, la aceleración del sistema está dado por:
A) $\displaystyle a = \dfrac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2 + \dfrac{I}{R^2}}$

B) $\displaystyle a = \dfrac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2}$

C) $\displaystyle a = \dfrac{(m_1 - m_2)g}{\dfrac{I}{R^2}}$

D) $\displaystyle a = \dfrac{(m_1 + m_2)g}{m_1 + m_2 + \dfrac{I}{R^2}}$

E) $\displaystyle a = \dfrac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2 - \dfrac{I}{R^2}}$


Lo que hice fue:
las sumatoria de fuerza en la masa m1 sería,
$\displaystyle P_1 - T_1 = m_1a$

en la masa m2,
$\displaystyle T_2 - P_2 - m_pa = m_2a$

igualando me queda:

$P_1 - P_2 = m_1a + m_2a + m_pa$

Despejando y sabiendo que I = MR^2 tengo que,

$\displaystyle a = \dfrac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2 + \dfrac{I}{R^2}}$

Si no es así me podrian decir como es por favor gracias y

NaClu2 _/

[Al2000]

Re: Inercia de una Polea

...
Lo que hice fue:
las sumatoria de fuerza en la masa m1 sería,
$\displaystyle P_1 - T_1 = m_1a$

en la masa m2,
$\displaystyle T_2 - P_2 - m_pa = m_2a$

igualando me queda:

$P_1 - P_2 = m_1a + m_2a + m_pa$

Despejando y sabiendo que I = MR^2 tengo que,

$\displaystyle a = \dfrac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2 + \dfrac{I}{R^2}}$
...

Hola amigo, permíteme que te corrija un par de errocitos en tu desarrollo.

Cuando pones "igualando me queda" asumo que lo que hiciste fue sumar las dos ecuaciones y cancelar las tensiones... pues bien, eso es un error. Las dos tensiones son diferentes, ya que se está considerando que la polea tiene inercia. Es precisamente esa diferencia de tensiones en los extremos de la cuerda a ambos lados de la polea lo que hace que la polea acelere. Entonces fíjate que tienes tres incógnitas en las dos ecuaciones. Ya te explico como obtener la tercera ecuación que necesitas.

Un segundo error es mezclar las "fuerzas" sobre dos cuerpos diferentes en tu segunda ecuación. Fíjate que le estás dando un tratamiento al segundo cuerpo injustificadamente diferente al del primero, siendo que la única diferencia es el sentido de movimiento. Tu segunda ecuación debió decir

$\dst T_2 - P_2 = m_2 a$

Y un tercer error es que la polea no se desplaza, solo rota. Considerar que la polea tiene una aceleración igual a las de las masas es erróneo. En lugar de eso lo que tienes es una aceleración angular. La ecuación de movimiento de la polea sería

$\dst (T_1 - T_2) R = I \alpha$

donde $T_1 R - T_2 R$ es el torque neto sobre la polea, supuesto positivo en sentido antihorario.

En este momento tienes lo que aparentan ser tres ecuaciones y cuatro incógnitas ($T_1$, $T_2$, $a$ y $\alpha$) pero en realidad sólo son tres incógnitas ya que la aceleración angular de la polea está relacionada con la aceleración de los cuerpos por $a = \alpha R$, ya que se supone que la cuerda no resbala. Entonces te queda el sistema

$<br /> \left \{\begin{aligned}<br /> P_1 - T_1 &= m_1 a \\<br /> T_2 - P_2 &= m_2 a \\<br /> (T_1 - T_2) R & = I \frac a R <br /> \end{aligned}\right .<br />$

el cual tiene como solución la respuesta A).

Permíteme hacer un comentario adicional. Los ejecicios de selección múltiple tienen que ser muy bien diseñados para no dar claves para responder sin resolver el problema. En este caso la pregunta está muy mal diseñada, la respuesta correcta se puede obtener por simple inspección. Yo te invito a que analizes cada opción y, olvidándote de la solución que ya conoces, trates de descartar las respuestas claramente erróneas usando un puro razonamiento físico de las condiciones del problema.

Saludos,

Al

PD. El conejo ese que te sacaste del sombrero al poner que I = MR^2... je je je, buena esa. Al menos sabemos que nunca tendrás problemas para meter una pieza cuadrada en un hueco redondo

[Laron]

Re: Inercia de una Polea

Mmm entiendo, y sí cuando vi las soluciones por simple inspección me fui por la A por eso resolví el problema de esa manera gracias Al. Una pregunta adicional si la polea no tuviera inercia se podrían eliminar las tensiones?

PD. El conejo ese que te sacaste del sombrero al poner que I = MR^2... je je je, buena esa. Al menos sabemos que nunca tendrás problemas para meter una pieza cuadrada en un hueco redondo

jajajajaja porqué lo dices, no es válido decir I = MR^2 ?

NaClu2 _/

[Al2000]

Re: Inercia de una Polea

Si, si la polea es de inercia despreciable, entonces las tensiones son iguales. Eso puedes verificarlo fácilmente si determinas las tensiones del sistema de ecuaciones mencionado antes y compruebas que se hacen iguales cuando I = 0.

Si consideras que una polea sea en esencia un disco homogéneo, entonces el momento de inercia respecto de su eje es I = (1/2)MR^2. Ese momento de inercia que usaste es el de un aro delgado. En todo caso, como el problema no te dice nada de la distribución de masa en la polea (ni necesitas saberlo), tu simplemente trabajas con el valor del momento de inercia que te hayan indicado.

Saludos,

Al

[Laron]

Re: Inercia de una Polea

jajajajajaja no me había percatado de eso gracias Al

NaClu2 _/