1r ciclo cuestion momento angular

[lucass]

Muchachos, una pregunta que para alguno seguramente será una pavada. Estoy reviendo algo de la mecánica de los cuerpos rígidos, y me surgió una duda.
Supongan que tengo un cilindro macizo de cierto volumen girando por un eje que pasa por su centro de masas, siendo este eje de giro perpendicular a las caras circulares del mismo (espero que se entienda porque me complico poniendo dibujos, que además tendría que buscarlos). O sea, más fácil, el cilindro gira alrededor de lo que uno comunmente llama "el eje del cilindro".
Entonces su vector momento angular L está en ese eje, con el sentido dado por la regla de la mano derecha digamos.
Ahora supongan que corto al cilindro (paralelamente a ese eje) y le saco la mitad. Ahora me queda medio cilindro girando. Ahora el centro de masas de el cuerpo que queda ya no está donde estaba antes, claro, pero supongamos que dejo al "medio cilindro" girando alrededor de ese mismo eje respecto del cual venía girando. Quiero saber cómo es el momento angular de ese cuerpo respecto al "viejo" centro de masas (respecto al mismo punto que antes). Sigue estando en el eje? o ya no coincide con el eje? Ésa es la pregunta.
Trato de pensar que pasa con los momentos de cada diferencial de masa digamos, y me parece ver la simetría necesaria como para decir que el L sigue paralelo al eje de giro (el eje del cilindro). Y sin embargo tengo por ahí en un libro que no lo es, pero no está argumentado, y no lo puedo ver.
Desde ya que agradezco la ayuda.
Saludos

[Cara cruzada]

Re: cuestion momento angular

Si el medio cilindro sigue girando con respecto a su eje de simetría, que es un eje principal, el momentum angular sigue estando en el eje principal, porque $\vec{L} =I\vec{\omega }$ y dado que lo único que varía es el momento de inercia (la masa y las distancias ya no son las mismas), el vector no cambia en dirección. Una historia distinta hubiese sido si hubieses aplicado un torque...

[lucass]

Re: cuestion momento angular

No sé si me expliqué bien: al "medio cilindro" lo hago girar respecto del mismo eje alrededor del cual giraba el "cilindro completo" que es un eje que pasaba por el centro de masa de ese "cilindro completo". Creo que este ya NO ES un eje de simetría, ya que falta la otra parte del cilindro, pero trato de pensar en los momentos angulares de cada partícula y veo como que se anulan las componentes horizontales de todas ellas, resultándome un momento angular en el eje de giro. Eso es lo que me confunde, porque ya no es un eje de simetría, y quería saber que estaba pensando mal. Supongo que todo esta en el vacío así no hay torques.

[polonio]

Re: cuestion momento angular

Lo mejor es que veas cómo es ahora el tensor de inercia respecto a un punto del eje de giro (el antiguo dentro de masas). Por cierto, el eje de giro que pasa por el antiguo centro de masas sí es un eje de simetría del semicilindro, aunque puede que no sea dirección principal (no lo he calculado, pero también podría ser).

Resumiendo: la dirección del momento angular (o cinético) no tiene por qué ser paralela a la velocidad angular puesto de están relacionadas mediante un tensor, además de la velocidad del centro de masas...

$$\vec{L}_O=\vec{L}_G +M\vec{OG}\times\vec{v}_G$$

donde $O$ es el antiguo centro de masas (el del cilindro) y $G$ es el centro de masas del semicilindro.

Si tengo tiempo, mañana de lo desarrollo con sus cálculos.

[lucass]

Re: cuestion momento angular

Gracias polonio por la ayuda. La verdad es que no sabría hacer lo que me decís. Se que el momento de inercia es un tensor en realidad, y que se diagonaliza cuando se calcula respecto a un eje principal (no?), pero después "ni papa". (Todo esto me está esperando para cuando me prepare a rendir mecánica clásica, en algún momento de este año, si todo va bien).
Así que por ahora intenté pensarlo sumando en mi cabeza los momentos de cada pedacito del semicilindro, y también pensé en esa última ecuación que pusiste $\vec{L}_O=\vec{L}_G +M\vec{OG}\times\vec{v}_G$
Ahí sólo sé que $M\vec{OG}\times\vec{v}_G$ es paralelo al aje de giro, pero se me complica ver cómo es $\vec{L}_G$, para finalmente deducir $\vec{L}_O$
Si aclaro algo lo pongo; mientras tanto, la verdad, espero ansioso los cálculos, o mejor dicho, el resultado (jeje).
Saludos

[polonio]

Re: cuestion momento angular

Bueno, tarde pero he hecho algunos cálculos.

El tensor de inercia sigue siendo diagonal para el semicilindro desde el punto $O$ (aunque, evidentemente, cambian los valores de los momentos de inercia respecto al tensor del cilindro entero). Así que los ejes que teníamos siguen siendo direcciones principales de inercia para el semicilindro. Como $O$ es un punto fijo: $\vec{L}_O=\bar{I} (O)\vec{\omega}$ es paralelo a $\vec{\omega}$. (La barra sobre la I denota que es un tensor.)

De otra forma: el producto $M\vec{OG}\times\vec{v}_G$ lleva dirección $OZ$. Y el tensor de inercia respecto al nuevo centro de masas (con lo ejes paralelos a los anteriores) sigue siendo diagonal (con otros valores, de nuevo), luego $\vec{L}_G=\bar{I} (G)\vec{\omega}$ es paralelo a $\vec{\omega}$. Su suma nos da de nuevo el mismo valor de $\vec{L}_O=\bar{I} (G)\vec{\omega}+M\vec{OG}\times\vec{v}_G=\bar{I} (O)\vec{\omega}$ paralelo a $\vec{\omega}$.

Así que, en este caso particular, sí siguen siendo paralelos el momento angular y la velocidad angular.

[lucass]

Re: cuestion momento angular

Excelente Polonio, muchas gracias!!.
Justamente ayer había "confirmado" (no me había convencido; larga historia...) a través de una profesora que efectivamente el momento angular seguía paralelo a omega. Estuve a punto de postearlo, pero me había quedado dudando, y prefería esperar un tiempo (esperar a tener tiempo, en realidad) e intentar hacer los cálculos yo mismo. Ahora con esto que decís, queda asegurado y calculado. Cuando pueda lo haré por mí mismo.
Muchas gracias otra vez por la dedicación.
Saludos