Velocidad de escape desde un satelite en orbita

[kpaxs]

Hola a todos!!

Estoy en 2 de bachiller y no se resolver el siguiente problema a ver si me podeis ayudar:

Relacion entre la V de escape de un cuerpo... cuando esta en reposo a una altura h y cuando esta orbitando a esa altura h (Orbitando alrededor de la tierra, es decir, R= Radio de la tierra + h )

Lo he hecho de la siguiente manera:
a) V de escape a una altura h
Em(en esa altura) = Em (en el infinito)
...
V^2= (2gM) / (Rt + h)
Donde M es la masa de la tierra.

b) Este es el apartado que no se hacer...
En orbita ya lleva una velocidad [ v^2 = (gM) / R ] por lo que supongo que habra que lanzarlo a menos velocidad para que salga del campo gravitatorio de la tierra.

Lo he intentado hacer asi:

Ec (en orbita) + Ec (a esa altura) + Ep (en esa altura) = Em (en el infinito)

... y de ahi despejo la velocidad de la energia cinetica en esa altura.

Pero me sale v^2= 0/...

Asi que supongo que me habre equivocado al plantearlo o al resolverlo.
Como puedo hacerlo?
Gracias!

[pod]

Re: Velocidad de escape desde un satelite en orbita

La velocidad de escape en cierto lugar, por definición, es la velocidad que debería tener un móvil en esa posición para poderse escapar totalmente de la atracción gravitatoria. Lo único que importa es la distancia entre el centro del cuerpo celeste que crea el campo gravitatorio y dicha masa; cuál sea la masa en si, o su estado de movimiento, no tienen ninguna influencia. La clave está en que decimos la velocidad que debería tener; la velocidad que tenga ahora no importa para nada. Claro, si el cuerpo ya se esta moviendo, habrá que aportarle menos energía extra para llegar a la velocidad de escape. Pero la velocidad de escape será la misma.

[kpaxs]

Re: Velocidad de escape desde un satelite en orbita

mmm entonces por que pide que calcule la velocidad de escape minima cuando esta en orbita?

Despues de ese ejercicio tengo el siguiente:

Demostrar que cuando un cuerpo esta orbitando, la energia cinetica minima que hay que darle para sacarlo del campo gravitatoria de la tierra es igual a la energia que tiene cambiada de signo.

Cual es la energia que tiene?

Sigo sin enterarme bien...

[pod]

Re: Velocidad de escape desde un satelite en orbita

mmm entonces por que pide que calcule la velocidad de escape minima cuando esta en orbita?

Para ver si picas.

Despues de ese ejercicio tengo el siguiente:

Demostrar que cuando un cuerpo esta orbitando, la energia cinetica minima que hay que darle para sacarlo del campo gravitatoria de la tierra es igual a la energia que tiene cambiada de signo.

Cual es la energia que tiene?

Puedes calcular la energía de una órbita como cualquier otra energía mecánica,

$$E = \dfrac12 m v^2 - \dfrac{G M m}{R}\ .$$

Sólo te queda substituir la velocidad de la órbita. Hazlo para practicar. El resultado que te debe salir es, si no recuerdo mal, el siguiente

$$E = - \dfrac{G M m}{2R}\ .$$

[kpaxs]

Re: Velocidad de escape desde un satelite en orbita

Por partes...
La velocidad de escape de un cuerpo en una altura h, y en orbita a esa misma altura es la misma. Solo que al segundo hay que aplicarle menos energia no?

Como demuestro eso?

Si la formaula es v^2= (2gM) / (Rt + h)
En esta formula no hay nada que varie en funcion de la energia, no?

El segundo ejercicio:

La energia mecanica de orbita me sale lo que tu has puesto

Ahora, calculo la Ec que hay que darle para sacarlo del campo gravitatorio...

Ec= 1/2 m v^2

Sustituyo v^2 por la velocidad de escape v^2= (2gM) / (R)

... y me sale: GMm / R

Me falta un 2 en el denominador para que sea igual a la energia que tienen en la orbita cambiada de signo!!


Gracias!

[pod]

Re: Velocidad de escape desde un satelite en orbita

Por partes...
La velocidad de escape de un cuerpo en una altura h, y en orbita a esa misma altura es la misma. Solo que al segundo hay que aplicarle menos energia no?

Como demuestro eso?

Si la formaula es v^2= (2gM) / (Rt + h)
En esta formula no hay nada que varie en funcion de la energia, no?

Una demostración no tiene por qué ser una sucesión de cálculos. Puede ser un razonamiento bien hecho.

El segundo ejercicio:

La energia mecanica de orbita me sale lo que tu has puesto

Ahora, calculo la Ec que hay que darle para sacarlo del campo gravitatorio...

Ec= 1/2 m v^2

Sustituyo v^2 por la velocidad de escape v^2= (2gM) / (R)

... y me sale: GMm / R

Me falta un 2 en el denominador para que sea igual a la energia que tienen en la orbita cambiada de signo!!


Gracias!

La energía (cinética) que hay que darle es igual a la a la total que tendrá menos la que ya tiene. Dado que para estar en situación de velocidad de escape hay que pretender que la energía (mecánica) final sea cero, es obvio que la energía que hay que aportar es igual pero cambiada de signo. Y como la única forma que hay de aportar energía es con los motores, dicha energía será cinética.

[kpaxs]

Re: Velocidad de escape desde un satelite en orbita

Entonces... respondiendo:

1) a. En reposo: v^2= (2gM) / (Rt + h)
b. Puesto que la velociad de escape es la velocidad que deberia tener un moivl en esa posicion para salir del CG de la tierra, lo unico que importa es la distancia entre el centro del satelite y el centro de la tierra y la masa de está. La masa del satelite o su estado de movimiento no tienen influencia. Solo que si eta en orbita habra que aportarle menos energia "extra", pero la velocidad de escape es lal misma.

2) (Em)o= Energita total orbitando

Ec - (Em)o = Em en infinito

Ec = (Em)o

...sustituyendo: GMm / 2r = - GMm /2r