Otras carreras Cinematica + gravedad problema

[Mikel33]

Siento ser pesado, pero no se como despejar bien este ejercicio:

La aceleracion de la gravedad a una altura y sobre la superficie terrestre viene dada por la expresion $\displaystyle a = \frac{-9,81}{(1 + \frac{y}{ 6,37*10^6})^2 }$ donde a de mide en m/s² e y en m. Utilizando esta expresion, calcular la altura que alcanza el proyectil lanzado vericalmente hacia arriba desde la superficie de la tierra con las siguientes velocidades: a) 300m/s b)3000m/s c) 11,8km/h. Sol.: a)4590m b)494000m c)$\infty$

Lo que se me ha ocurrido es que $\displaystyle a = \frac{dy dv}{ dt dy}$ por lo tanto : $\displaystyle v \frac{dv}{ dy} = a$ . Luego en la ecuacion que te da el ejercicio depejas y, y lo dejas con dy, y v con dv. Sustituyes v con los valores que te pide, y saldria no?
La cosa es que no se como depejar la y de esa ecuacion. He intentado calculado lo que estra dentro del parentesis ( (a+b)² = a² + 2ab + b²), luego pasando todo eso multiplicando al otro lado, pero luego me atasco.

[GNzcuber]

Re: Cinematica + gravedad problema

$$\displaystyle a=\frac{{d}y}{{d}t}\frac{{d}v}{{d}y}=v\frac{{d}v}{{d}y}\Leftrightarrow \int {d}y=\int \frac{v}{a} {d}v \Leftrightarrow y=-\int \dfrac{g}{\left(1+\frac{v}{b}\right)^2} v{d}v$$

Donde $\dst g=9.81$ y $\dst b=6.37\cdot 10^5$

$$\displaystyle \int \dfrac{gv}{\left(1+\frac{v}{b}\right)^2}{d}v=gb^2\int\dfrac{v}{\left(b^2+2vb+v^2\right)}{d}v=gb^2\left[\frac{1}{2}\underbrace{\int \dfrac{2v+2b}{v^2+2bv+b^2}{d}v}_{\ln(b+v)^2} -\underbrace{\int \frac{b}{(b+v)^2}{d}v}_{A} \right]$$

$$\displaystyle \left.\begin{aligned}A=\int \frac{b}{(b+v)^2}{d}v \\ b+v=u\leftrightarrow {d}v={d}u\end{aligned}\right\}\Rightarrow A=b\int \frac{1}{u^2}{d}u=-\frac{b}{u}+C=-\frac{b}{b+v}+C$$

Nos queda

$$\displaystyle y=-\int \dfrac{gv}{\left(1+\frac{v}{b}\right)^2}{d}v=-gb^2\ln(b+v)-\frac{gb^3}{b+v}+C$$

Bueno, había algo raro, y es que el resultado saldrá siempre negativo, ya me lo volveré a mirar. Lo único que te queda es determinar C, que si coges como condición inicial que el cohete se encuentra en la superficie terrestre y haces que sea el origen, tendrás que C=0.

¡Saludos!

[Mikel33]

Re: Cinematica + gravedad problema

En el primer paso donde despejas y, entiendo como despejas, pero pones el la fracion de abajo, 1 + v/b, no entiendo como ha pasado de ser y a ser v

[GNzcuber]

Re: Cinematica + gravedad problema

En el primer paso donde despejas y, entiendo como despejas, pero pones el la fracion de abajo, 1 + v/b, no entiendo como ha pasado de ser y a ser v

Jajajaja, perdón. Pensaba que era una $\displaystyle v$. Para hacer las fórmulas grandes pon \dst, y para las fracciones es recomendable usar \dfrac en vez de \frac, en caso que vayas a poner una fracción dentro de una fracción.

Vamos nuevamente:

$$\displaystyle a=v\frac{{d}v}{{d}y}\Leftrightarrow -\int \dfrac{g{d}y}{\left(1+\frac{y}{b}\right)^2} = \int v{d}v=\frac{v^2}{2}+C$$

$$\displaystyle \int \dfrac{g}{\left(1+\frac{y}{b}\right)^2}{d}y=gb^2\int \frac{1}{(b+y)^2}{d}y=-\frac{gb^2}{b+y}+C'$$

Igualando (1) y (2) y despejando y:

$$\displaystyle y=\frac{2gb^2}{v^2}-b$$

Espero que ahora esté bien .

¡Saludos!

[Al2000]

Re: Cinematica + gravedad problema

...

$$\displaystyle a=v\frac{{d}v}{{d}y}\Leftrightarrow -\int \dfrac{g{d}y}{\left(1+\frac{y}{b}\right)^2} = \int v{d}v=\frac{v^2}{2}+C$$

$$\displaystyle \int \dfrac{g}{\left(1+\frac{y}{b}\right)^2}{d}y=gb^2\int \frac{1}{(b+y)^2}{d}y=-\frac{gb^2}{b+y}+C'$$

Igualando (1) y (2) y despejando y:

$$\displaystyle y=\frac{2gb^2}{v^2}-b$$

...

Una ligera modificación:

$$-g \int_{0}^{y}\! \frac {dy}{(1 + y/R )^2} = \int_{v_0}^{v}\! v \,dv$$

$$g R \left(\frac R {R+y} - 1 \right)= \frac 1 2 \left(v^2 - v_0^2 \right)$$

$$y = \frac {v_0^2 - v^2}{2 g R - v_0^2 + v^2} R$$

Poniendo en cero la velocidad final, la máxima altura sobre la superficie terrestre será

$$y_\text {max} = \frac {v_0^2}{2 g R - v_0^2} R$$

donde puede verse que para una velocidad inicial $\dst v_0 = \sqrt {2 g R}$ el cuerpo alcanza una altura infinita.

Por cierto que hay un error en el enunciado. Donde pone inciso c) 11.8 km/h debe decir c ) 11.18 km/s.

Saludos,

Al

[Mikel33]

Re: Cinematica + gravedad problema

GNzcuber, entiendo como despejas y, pero si sustituyo v= 300m/s en tu ecuacion me da 8839394200m, y tendrian que ser 4590m.

Al2000, no entiendo muy bien lo que has hecho.

Gracias.