Hallar posicion de equilibrio y estabilidad!!

[escarabajo]

Hola!!! , después de un tiempito largo...unas vacaciones para despejarse acá ando preparando un examen!!!!

Quería verificar,si alguien es tan amable, el resultado de este ejercicio:

(Adjunto una figura)

"Se tiene una placa de forma triangulo equilatero de material homogéneo y de peso P newtons. El lado del triangulo es R=0,9m. Está sujeto en A por un hilo y obligado a moverse en una guia circular.La constante del resorte es K=0,6P. Y la longitud natural del resorte es cuando h=0.

Determinar el ángulo h de equilibrio y estudiar estabilidad ".

Me dio que h es aproximadamente 15 grados , y es estable.

(Nota, no hay que dar un valor exácto del ángulo,es válido aproximar)

Nota II:Las rueditas de A y B se consideran de diametro despreciable.

Agradezco quien se tome la molestia de verificarme el resultado, ya que este ejercicio fue uno de los que me salió mal en el parcial.

Saludos.

[pod]

Re: Hallar posicion de equilibrio y estabilidad!!

Bueno, supongo que la mejor forma de hacerlo es por energías. Hay la energía potencial gravitatoria del triángulo, y la energía potencial elástica del muelle.

Para la energía gravitatoria, nos llega con considerar todo el triángulo como su centro de masas. El centro de masas del triángulo equilátero está a en la linea central a una distancia $R/\sqrt{3}$ del vértice. Considerando que $h=0$ corresponde con el lado superior del triángulo completamente horizontal (lugar donde ponemos el origen de alturas), entonces la coordenada vertical del centro de masas será

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
El $\pi/6$ (que equivale a 30º) es la inclinación de la linea central del triángulo para $h=0$.

Por lo tanto la energía potencial total del sistema será

$$U = \frac12 k R^2\sin^2h - P\frac{R}{\sqrt3} \sin\left(h+\frac{\pi}{6}\right) \ .$$

Si dices que es posible hacer aproximaciones, podemos suponer que $h$ es pequeño, tu resultado de 15º lo confirma;

$$\begin{aligned}<br /> \sin h & \approx h \ , \\<br /> \sin\left(h+\frac{\pi}{6}\right) & = \sin h \cos\frac{\pi}{6} + \cos h \sin\frac{\pi}{6} \approx \frac12 ( 1 + \sqrt3 h ) \ .<br /> \end{aligned}$$

Metiendo esto en (3), tenemos

$$U = \frac12 k R^2 h^2 - \frac{P R h}{2} - \frac{P R}{2\sqrt3} \ .$$

Habrá un punto de equilibrio cuando la derivada sea cero,

$$\frac{\dd U}{\dd h} = k R^2 h - \frac{P R}{2} = 0\ ,$$

lo cual nos da

$$h = \frac{P}{2k R} = \frac{1}{2\times 0.6 \times 0.9} = 0.926\text{rad} = 53^o$$

Lo cual no parece muy coherente con tu resultado (ni con la aproximación de ángulos pequeños). Así que hay un error, tuyo, mío... o de ambos

[escarabajo]

Re: Hallar posicion de equilibrio y estabilidad!!

Claro, jeje, yo no me expliqué bien con lo de las aproximaciones y cometi inconscientemente(por costumbre) el error de aproximar el seno para angulos pequeños , pero no es la idea aproximar con h pequeño...lo que quise decir es que al derivar la función de energía va a quedar una ecuación que no se puede despejar el ángulo directamente y por lo tanto hay que aproximar la solución.

En fin,

Igual también veo que no hice las cosas tan mal, lo que yo planteé fue:

Energía resorte: $\frac{1}{2}sen^2h R^2$

Energia gravitatoria: $mgR(1-\frac{\sqrt{3}}{6}cos(30+h))$

Luego derivo la suma de ambas y busco las raices de las derivadas.

Si no hay ningún error de planteo, entonces, cierro el hilo :P . Lo que me interesa es ver que el planteo está bien.!

Saludos , y gracias.

[pod]

Re: Hallar posicion de equilibrio y estabilidad!!

Yo diría que la energía potencial es la que te puse yo, no con coseno. El coseno te daría la proyección horizontal, no la vertical como debe ser

Sin la aproximación, es más tedioso hacer la derivada y tal, pero nada que no pueda hacer el Mathematica... De hecho, podemos pintar todo el potencial:

Vemos claramente que hay un punto de equilibrio estable, que se da para

$h = 0.597238\text{rad} = 34.2192^o$

[escarabajo]

Re: Hallar posicion de equilibrio y estabilidad!!

Bien Pod, muchas gracias por tu ayuda.

Si, con el tema del coseno sucede que tomé el ángulo complementerio, aunque igual me quedó mal, si uso ese ángulo la cosa quedaría:

$mgR(1-\frac{\sqrt{3}}{6}cos(60-h))$

Saludos!!!