Movimiento incipiente.

[escarabajo]

Hola, acá tengo otro ejercicio que no he sabido plantear, y agradeceria si alguien me puede guiar.

Adjunto figura.

Letra:

"La caja A pesa 1000N, la polea P está fija, si se hace una fuerza F en A:

1)Que valor debe alcanzar F para movimiento incipiente
2)Para mantener el movimiento
3)Para mantener el peso que no caiga."

Datos: $u_{1s}=0,5 \ u_{1k}=0,4 \ u_{2s}=0,3 \ u_{2k}=0,2$

(el subíndice 1 corresponde a la caja y el 2 a la polea, el "s" al coeficiente de rozamiento estático y el "k" al cinético".)

El ángulo de abrazamiento de la cuerda a la polea es 180 grados.

Agradezco alguna ayuda( en el planteo, no en las cuentas y demás!)

Saludos, y gracias.

[pod]

Re: Movimiento incipiente.

Supongo que la mayor dificultad está en saber como cambia la tensión de la cuerda al pasar por la polea. La cuerda "aguantará" sin aceleración por la cuerda siempre que se cumpla

$$\mathrm{e}^{-\mu \alpha} < \frac{T_1}{T_2} < \mathrm{e}^{\mu \alpha}\ .$$

He visto esta fórmula aparecer bajo el nombre de Euler-Eytelwein, pero es fácil de demostrar si no la conoces. $\alpha$ es el ángulo de abrazamiento, en radianes. O sea, $\alpha = \pi$.

En los dos primeros apartados, el rozamiento de la caja y de la cuerda con la polea aguantan su parte de la fuerza "F"; ambos rozamientos tienden a irhacia la izquierda en el dibujo. La tensión $T_c$ de la cuerda entre la caja y la polea, en el caso límite, según la ecuación anterior será

$$T_c = F \mathrm{e}^{-\pi \mu_2} \ .$$

Y el equilibrio de la caja te dice cuanto tiene que ser $T_c$,

$T_c = \mu_1 N \ ,$

Donde la normal se calcula como un plano inclinado normal. La única diferencia entre los apartados uno y dos es que en un caso usas coeficientes estáticos y en el otro dinámicos.

Para hacer el último apartado, la caja (y la cuerda) están a punto de deslizarse hacia abajo, por lo que los rozamientos (estáticos) van ahora a la derecha. En particular, tienes que tomar la fórmula de Euler-Eytelwein con signo positivo en la exponencial.

[escarabajo]

Re: Movimiento incipiente.

Hola Pod, muchisimas gracias por responder.

Si,conozco la fórmula, por eso especificaba el ángulo de contácto entre cuerda-polea, aunque reconozco que no es una fórmula que tenga muy comprendida. Voy a pensar cómo deducirla.

Con respecto al ejercicio, mi mayor dificultad estaba en entender la situación y saber que plantear, pero con lo que me has explicado creo que no andaba tan mal.

Apartado 1:

Mi intuición me decía que debía suponer condición de equilibrio en la caja, y considerar un "pequeñito" movimiento hacia arriba, con lo que entonces el rozamiento es hacia abajo(y estático) y la polea tiende a rotar en sentido horario, sin deslizar la cuerda por la polea.

¿correcto? ...

En el apartado 2, claro, rozamiento dinámico para la caja.

Ahora, en la polea, ¿también hay que considerar dinámico? , no me doy cuenta porque necesariamente ocurre deslizamiento en la polea también.
¿no podria sucederse de que suba la caja con aceleración nula y la cuerda sin deslzar por la misma?


Saludos.

Edit: UUUUUy....todavía tengo la cabeza en la playa....... claro, en el apartado 2 la cuerda está moviéndose por la polea!!! claramente hay rozamiento dinámico.¿no?

[pod]

Re: Movimiento incipiente.

Hola Pod, muchisimas gracias por responder.

Si,conozco la fórmula, por eso especificaba el ángulo de contácto entre cuerda-polea, aunque reconozco que no es una fórmula que tenga muy comprendida. Voy a pensar cómo deducirla.

Con respecto al ejercicio, mi mayor dificultad estaba en entender la situación y saber que plantear, pero con lo que me has explicado creo que no andaba tan mal.

Apartado 1:

Mi intuición me decía que debía suponer condición de equilibrio en la caja, y considerar un "pequeñito" movimiento hacia arriba, con lo que entonces el rozamiento es hacia abajo(y estático) y la polea tiende a rotar en sentido horario, sin deslizar la cuerda por la polea.

¿correcto? ...

En el apartado 2, claro, rozamiento dinámico para la caja.

Ahora, en la polea, ¿también hay que considerar dinámico? , no me doy cuenta porque necesariamente ocurre deslizamiento en la polea también.
¿no podria sucederse de que suba la caja con aceleración nula y la cuerda sin deslzar por la misma?


Saludos.

Edit: UUUUUy....todavía tengo la cabeza en la playa....... claro, en el apartado 2 la cuerda está moviéndose por la polea!!! claramente hay rozamiento dinámico.¿no?

Creo que lo has dicho todo bien, al final. En este tipo de problemas, las cuerdas son prácticamente como cuerpos rígidos, salvo que se pueden "doblarse". Es decir, todos los puntos de la cuerda deben moverse con la misma velocidad y aceleración (sino, la cuerda se estiraría o encogería).

Para deducir la formulita sólo hay que considerar el balance de fuerzas en un diferencial de arco, y luego integrar todo el ángulo. Debería ser sencillo si haces el dibujo bien. Si tienes problemas, postea por aquí.

[escarabajo]

Re: Movimiento incipiente.

Hola,

Al final intenté sacar la fórmula pero no llegué a mucho, igual, la tenía hecha en un repartido de mis clases y entendí los pasos sin problema.

$\displaystyle \frac{T_c}{F}< e^{\mu _s \alpha}$

Esto si uno supone( en este ejercicio) que la polea rotara en sentido antihorario

Y:

$\displaystyle \frac{F}{T_c}< e^{\mu _s \alpha}$

En el caso que suponga que la polea rota en sentido horario.

¿correcto?

Saludos.

[pod]

Re: Movimiento incipiente.

Hola,

Al final intenté sacar la fórmula pero no llegué a mucho, igual, la tenía hecha en un repartido de mis clases y entendí los pasos sin problema.

$\displaystyle \frac{T_c}{F}< e^{\mu _s \alpha}$

Esto si uno supone( en este ejercicio) que la polea rotara en sentido antihorario

Y:

$\displaystyle \frac{F}{T_c}< e^{\mu _s \alpha}$

En el caso que suponga que la polea rota en sentido horario.

¿correcto?

Saludos.

La polea no rota, sino no habría estos problemas Supongo que te refieres a la cuerda, en ese caso creo que lo has dicho correctamente.

Para demostrar la formula, primero hay que hacer el dibujo más o menos correctamente:

Donde $f$ es la fuerza de rozamiento. La segunda ley de Newton se escribe

$$(T+\dd T) - T - f = 0\ .$$

Si estamos en el caso límite, tendremos $f = \mu N$, y del dibujo es fácil lo siguiente: el ángulo es tan pequeño que podemos considerar todo el segmento de arco como una recta horizontal; en ese caso, la normal será la reacción a la componente vertical de las fuerzas:

$$N = (T+\dd\alpha)\sin(\dd\alpha) = T \dd\alpha\ .$$

Recuerda, además, que si estamos hablando de diferenciales, $\sin(\dd\alpha) = \dd\alpha$ no es aproximación, sino una igualdad. Y, como siempre, hemos descartado infinitesimales de orden superior.

Así, pues, todo queda tal que así:

$$\dd T = \mu T \dd \alpha\ .$$

Que se integra para dar la fórmula ya comentada.

De aquí ves que la tensión será superior en el lado hacia el que se intenta mover la cuerda, ya que la tensión en ese lado es igual a la tensión en el otro lado más toda la fuerza de fricción (eso se ve muy claro en la ecuación 1).

Además, en todo este proceso sólo hemos calculado que la aceleración sea cero; no nos importa la velocidad de la cuerda. Así que lo mismo valdrá para un caso en que la cuerda se mueva a velocidad constante, substituyendo el coeficiente de rozamiento por el correspondiente.

[escarabajo]

Re: Movimiento incipiente.

Excelente Pod, muchas gracias.

Yo andaba rumbeado pero,claro, cuando consideraba fuerzas tomaba el rozamiento y dos tensiones, T1 y T2, cuando en realidad se podia considerar por ser un pequeño arco T+dT.

Gracias de nuevo.

Saludos.