Planeta isótropo

[MOS]

Hola a todos. Vuelvo con otra duda de cara a mi examen de este viernes. Es un problema de gravitación, a priori sencillo, pero con lo que sospecho una pequeña trampa.

Suponiendo que la Tierra fuera un cuerpo homogéneo e isótropo, de densidad constante, encuéntrese cuánto habría que descender por debajo de la superficie terrestre para que un cuerpo pesara lo mismo a dicha profundidad que a una altura de 100 kms sobre la superficie terrestre. (Datos: Radio de la tierra= 6370 kms)

Me pongo a resolver el problema confiando que la palabra isótropo no vaya a influir porque desconozco su significado y en todo mi libro de Alonso-Finn no la citan... Así que igual las fuerzas gravitatorias que sufriría el cuerpo en los dos sitios (a 100 de altura y a profundidad p)

$<br /> \displaystyle\frac {4m \pi r^3 \rho} {(r+100)^2} = \frac {4m \pi (r-p)^3 \rho}{(r-p)^2}$

siendo $\displaystyle\rho$ la densidad de la tierra. De donde despejaría p que es lo único que desconozco y habría resuelto el problema.

Al ir a ver la solución me encuentro que, efectivamente, lo de isótropo algo debe querer decir, porque en la solución, al ir a igualar las dos fuerzas, hay una pequeña diferencia en la 2ª fuerza, la de la masa enterrada en la tierra a profundidad p:

$\displaystyle\frac {4m \pi r^3 \rho} {(r+100)^2} = \frac {4m \pi (r-p) \rho}{r^3}$

Mirando por ahí he leído que un isótropo es un cuerpo en el que las magnitudes físicas se mantienen constantes con independencia de la dirección escogida o algo así... No alcanzo a entender muy bien el concepto y, sobre todo, no alcanzo a ver su aplicación al problema.

Si alguien me aclara el término isotropía y el por qué de la solución se lo agradecería.

Un saludo

[pod]

Re: Planeta isótropo

Un cuerpo esférico y homogéneo no tiene más remedio que ser isótropo. Como bien dices, que sea isótropo significa que las magnitudes físicas sólo pueden variar con la distancia al centro, pero no con la dirección.

Lo que has hecho mal es escribir que la gravedad dentro de la tierra va como $1/r^2$, eso sólo es cierto en el vacío. Lo dejaré aquí para ver si con esta pista puedes resolver el problema; tienes que aplicar el teorema de Gauss. Si no puedes, no dudes con gusto te ayudaremos más.

[MOS]

Re: Planeta isótropo

Muchas gracias por responder!!!

Sigo sin comprender nada... y menos aún cuando resulta que desarrollando mi solución y desarrollando la solución "oficial" llegamos al mismo resultado: $195 m.$

Lo cual me lleva a pensar que mi planteamiento es correcto pero existe otro planteamiento posible...

[pod]

Re: Planeta isótropo

Muchas gracias por responder!!!

Sigo sin comprender nada... y menos aún cuando resulta que desarrollando mi solución y desarrollando la solución "oficial" llegamos al mismo resultado: $195 m.$

Lo cual me lleva a pensar que mi planteamiento es correcto pero existe otro planteamiento posible...

Uhm... He mirado con más detenimiento las fórmulas que pusiste, y son correctas. El único error que hay es el $r^3$ en el miembro de la derecha de la segunda ecuación, que supongo que será un error al copiar... Eso me hizo pensar que habías simplemente usado la fórmula general substituyendo la distancia, pero no

La diferencia en las dos fórmulas no se debe a la isotropía, sino a que la capa de tierra que queda por encima de ese punto no contribuye a la gravedad.

[Gothgauss]

Re: Planeta isótropo

$<br /> \displaystyle\frac {4m \pi r^3 \rho} {(r+100)^2} = \frac {4m \pi (r-p)^3 \rho}{(r-p)^2}$

siendo $\displaystyle\rho$

$\displaystyle\frac {4m \pi r^3 \rho} {(r+100)^2} = \frac {4m \pi (r-p) \rho}{r^3}$


Un saludo

Yo sinceramente creo que se trata de una errata, y que si esta bien planteado. Es tan solo calcular la fuerza con la que el campo gravitatirio atrae a la masa m en ambos casos e igualarla.

En cuanto a lo de isotropo, el propio enunciado te dice lo uqe es. Cuando despues de una palabra va algo entre comas, es un vocativo, es decir, una explicacion de lo que significa una palabra.

Por ejemplo:

Enrique, el hijo de Juan, era un desastre en los estudios.

Por eso te aconsejo leeer bien las preguntas. Normalmente los profesores suelen tender al abuso de adjetivar todo en exceso, explicando 2 vecse lo mismo, como en tu problema, y consiguiendo confundir al personal.

[carroza]

Re: Planeta isótropo

Yo creo que tu solucion esta correcta.

El enunciado no parece muy afortunado. Lo que deberia decir es que la tierra es una esfera de densidad constante y perfectamente esferica.

La isotropia esta relacionado con el comportamiento en las distintas direcciones. En general, un solido cristalino no es isotropo. Tiene distindas propiedades segun lo miremos en la dirección de los planos en los que se alinean los atomos o en direcciones diferentes. El caso extremo son los cristales birrefrigentes, que tienen indices de refraccion diferentes en las distintas direcciones.

Pues bien, para tu problema, lo relevante es la homogeneidad (en concreto, que la densidad sea constante), y la esfericidad perfecta de la tierra. Lo demas es irrelevante.

Tu solucion se puede obtener usando el teorema de Gauss, usando el hecho de que el campo gravitatorio va siempre en la direccion radial, y depende solo de la distancia al centro de la tierra.

[pod]

Re: Planeta isótropo

Yo creo que tu solucion esta correcta.

El enunciado no parece muy afortunado. Lo que deberia decir es que la tierra es una esfera de densidad constante y perfectamente esferica.

La isotropia esta relacionado con el comportamiento en las distintas direcciones. En general, un solido cristalino no es isotropo. Tiene distindas propiedades segun lo miremos en la dirección de los planos en los que se alinean los atomos o en direcciones diferentes. El caso extremo son los cristales birrefrigentes, que tienen indices de refraccion diferentes en las distintas direcciones.

Pues bien, para tu problema, lo relevante es la homogeneidad (en concreto, que la densidad sea constante), y la esfericidad perfecta de la tierra. Lo demas es irrelevante.

Tu solucion se puede obtener usando el teorema de Gauss, usando el hecho de que el campo gravitatorio va siempre en la direccion radial, y depende solo de la distancia al centro de la tierra.

En realidad, para ese procedimiento la isotropía es imprescindible, ya que es lo que te permite asegurar que el campo gravitatorio constante en la superfície de Gauss, y sacarlo de la integral. Podría darse el caso de un planeta perfectamente isotrópico pero donde la densidad depende de la distancia al centro, $\rho(r)$.

Lo que pasa es que el enunciado es redundante, ya que una esfera homogénea es, por definición, isótropa.

[carroza]

Re: Planeta isótropo

En realidad, para ese procedimiento la isotropía es imprescindible, ya que es lo que te permite asegurar que el campo gravitatorio constante en la superfície de Gauss, y sacarlo de la integral. Podría darse el caso de un planeta perfectamente isotrópico pero donde la densidad depende de la distancia al centro, $\rho(r)$.

Lo que pasa es que el enunciado es redundante, ya que una esfera homogénea es, por definición, isótropa.

Difiero de esa afirmación.

Una esfera homogenea, hecha de un material birrefrigente, no es isotropa. La luz se propagaria de forma distinta en las diferentes direcciones. de la esfera. No obstante, el campo gravitatorio (no relativista) solo depende de la densidad de materia, y por tanto, seria igual en todas direcciones.

[pod]

Re: Planeta isótropo

Difiero de esa afirmación.

Una esfera homogenea, hecha de un material birrefrigente, no es isotropa. La luz se propagaria de forma distinta en las diferentes direcciones. de la esfera. No obstante, el campo gravitatorio (no relativista) solo depende de la densidad de materia, y por tanto, seria igual en todas direcciones.

Una esfera homogénea de material birrefringente es perfectamente isótropa a efectos del teorema de Gauss de la gravedad.

[carroza]

Re: Planeta isótropo

Una esfera homogénea de material birrefringente es perfectamente isótropa a efectos del teorema de Gauss de la gravedad.

Diccionario de la lengua española © 2005 Espasa-Calpe S.A., Madrid:

isótropo, pa

1. adj. Que presenta las mismas propiedades, independientemente de la dirección en que se midan.

[pod]

Re: Planeta isótropo

:Confused_smiley:

¿Algún comentario mínimamente relevante al problema?

[carroza]

Re: Planeta isótropo

Nada, hombre, es que en el foro se divierten con nuestras discusiones.

Volviendo al tema, creo que es importante el concepto de "Isótropo", por eso puse la definicion del diccionario.

La isotropia y la homogeneidad son propiedades diferentes. Una esfera puede ser homogenea, y no isotropa, y viceversa. No me gusta el concepto de "isotropo a efectos de...". O se es isotropo, o no se es.

Una pregunta interesante (que ya trasciende a este hilo) seria, en relatividad general, cuál seria el campo gravitatorio, o el tensor metrico, generado por una distribucion esferica de masa, homogenea
(con densidad constante), pero no isotropa, en el que la parte espacial del tensor tension-energia tuviera una direccion privilegiada:

Como la tierra, supuesta esferica, pero con una tension que la apretara por los polos.