Masa de una esferita

[[Beto]]

[FONT=Comic Sans MS]Hola, acabando de leer el tema mosca en un pote de esta misma sección se me vino a la mente la siguiente cuestión:

Imaginemos que se tiene un recipiente lleno de agua sobre una balanza y una esfera en el fondo cuyo peso es menor que la fuerza de empuje que el agua le ejerce, y por tanto empieza a subir. La pregunta es ¿Qué marca la balanza?

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[pod]

Re: Masa de una esferita

La esfera marca la suma de la masa del pote más la del agua más del recipiente, todo esto multiplicado por el valor de la gravedad.

Que el peso aparente de una esfera (o de cualquier otra cosa) dentro del agua sea menor sólo es verdad si se pesa sólo la esfera; y lo que ocurre es que la balanza no sostiene todo el peso de la esfera, sino que el agua sostiene parte de él. Pero la fuerza de flotabilidad también tiene "reacción", que es una fuerza igual sobre el fluido pero hacia abajo, que acaba siendo aplicada sobre el fondo del recipiente y, por ende, a la báscula.

[[Beto]]

Re: Masa de una esferita

Bueno pero si consideramos la fuerza viscosa, en el momento en que esta subiendo la esferita lo que marca la balanza si varía ¿cierto?

[pod]

Re: Masa de una esferita

El rozamiento viscoso también tiene su reacción.

[[Beto]]

Re: Masa de una esferita

Hola de nuevo, hace unos días leí esta solución, en donde también se está considerando al aire, bueno la solución que menciono la copiaré tal y como leí:

[FONT=Verdana, Arial, Helvetica]Notaciones:
δa (densidad del aire)
δc,M,Vc (densidad, masa y volumen del fluido en el vaso)
δp,m,Vp (densidad, masa y volumen de la pelotita)

Cuando la pelotita está atada al fondo del vaso la lectura de la balanza es igual a la suma de los "cuasipesos" de los componentes que están sobre ella (vaso, líquido, pelotita cuerda, etc.)

Cuando ésta empieza a acelerar hacia ARRIBA, es evidente que el centro de masa del sistema también se acelera.

Pero, ¿hacia que dirección?

Cuando la pelotita acelera hacia ARRIBA, el centro de masa acelera hacia ABAJO. Esto se debe a que la masa de la pelotita es "negativa" (porque su densidad es menor que la del fluido). Si hacen los cálculos se van a convencer... (Calculen el centro de masa del sistema cuando la pelotita está en el fondo del vaso y cuando está en la superficie suponiendo que su masa es un número negativo).

Entonces, la aceleración "a" tiene un valor negativo y como la masa "m" de la pelotita se supone negativa el término "m.a" es positivo. Por lo tanto, la lectura de la balanza va dismuniyendo a medida que la pelotita sube.

Hasta ahora tenemos los siguientes resultados:

- Cuando la pelotita está atada al fondo del vaso la lectura de la balanza es:

Po = (δp - δa).Vp.g + (δc - δa).Vc.g (suma de los "cuasipesos")

Como se aclaró anteriormente, NO hace falta tener en cuenta el peso del vaso ni de la cuerda (cuasipesos en este caso). ESTO NO SIGNIFICA QUE LOS ESTEMOS DESPRECIANDO!! Sus pesos dan una contribución constante a la lectura de la balanza y podemos descontarlos de nuestras mediciones.

- Cuando se corta la cuerda y la pelotita se acelera hacia arriba la lectura de la balanza es:

P = (δp - δa).Vp.g + (δc - δa).Vc.g + δp.Vp.a = Po + m.a

Ahora vamos a hallar una expresión para P en función del tiempo t:

P(t) = Po + m.a(t)

Para esto, escribimos la segunda ley de Newton para la pelotita que se está acelerando hacia arriba (dirección positiva):

Las fuerza que actúan sobre ella son:
* Fuerza viscosa proporcional a la velocidad instantánea (Fv = k.v) dirijida hacia abajo.
* Peso de la pelotita (m.g = δp.Vp.g) que actúa hacia abajo.
* Fuerza de empuje (Fe = δc.Vp.g) que el líquido ejerce sobre la pelotita hacia arriba.

Segunda ley de Newton:

δc.Vp.g - δp.Vp.g - k.v = δp.vp.(dv/dt)

Se supone que:
- k es una constante conocida.
- La línea de acción de las fuerzas pasan por el centro de flotación de la pelotita (que en este caso es su centro de gravedad).

Reordenando con un poco de álgebra nos queda:

(dv/dt) + c.v = b (Una ecuación diferencial lineal de 1º orden)

donde c = k/(δp.Vp) y b = [(δc/δp)-1].g

Haciendo (dv/dt) = 0 obtenemos que la velocidad límite de la pelotita es "vl = b/c" (que es dato!)

La solución de la ecuación diferencial sujeta a la condición inicial v(0) = 0 [m/s] es:

v(t) = vl.[1-e^(-ct)]
Y la aceleración (que es lo que nos interesa) se obtiene derivando la expresión anterior:

a(t) = c.vl.e^(-ct)

Reemplazando la aceleración en la expresión de P(t) obtenemos:

P(t) = Po + δp.Vp.c.vl.e^(-ct) = Po + k.vl.e^(-ct)

P(t) = (δp - δa).Vp.g + (δc - δa).Vc.g + k.vl.e^(-ct)

RESUMIENDO:

- Cuando la pelota está atada al fondo, la balanza marca:
Po = (δp - δa).Vp.g + (δc - δa).Vc.g

- Cuando se corta la cuerda, la balanza marca:
P(t) = Po + k.vl.e^(-ct) donde, - c = k/(δp.Vp)= k/m
- vl (velocidad límite)

Vemos que para un tiempo muy largo, la balanza vuelve a marcar la lectura inicial Po.

Ahora debemos analizar que sucede con la pelotita cuando llega a la superficie del vaso. Pueden pasar dos cosas:

1) δp sea mayor que δa
2) δp sea menor que δa

CASO 1)
Luego de un tiempo, la pelotita va a flotar en equilibrio con una parte de su volumen sumergido en el líquido. Sobre ella actúan tres fuerzas:
(Volumen sumergido de la pelotita = Vs)
- Su peso (m.g)
- La fuerza de empuje del fluido (δc.Vs.g)
- La fuerza de empuje del aire [δa.(Vp-Vs).g]

Analizando este problema estático teniendo en cuenta todos los componentes del sistema (esta vez incluyendo en aire circundante) obtengo que la lectura final "Pf" de la balanza es:

Pf = (δp - δa).Vp.g + (δc - δa).Vc.g
Que es igual a la lectura inicial Po...
O sea, si la pelotita se queda flotando, la lectura inicial y final de la balanza es la misma.

CASO 2) Una vez que la pelotita llega a la superficie, como su densidad es menor que la del aire circundante, se "escapa" a la atmósfera. Es fácil darse cuenta que la lectura "Pf" final de la balanza es:

Pf = (δc - δa).Vc.g ("cuasipeso" del líquido)

La lectura inicial (cuando la pelotita estaba atada) era:

Po = (δp - δa).Vp.g + (δc - δa).Vc.g

Ahora hacemos :

Pf - Po = - (δp - δa).Vp.g = (δa - δp).Vp.g
Pf - Po = (δa - δp).Vp.g

Como supusimos que δa es mayor que δp, el segundo miembro de la última ecuación es positivo...
Cuando la pelotita se escapa del vaso, la lectura de la balanza aumenta!
El vaso "pierde" masa y la lectura de la balanza aumenta...

Y con eso termina la solución que me dieron, como ven es a partir de esto que nace la duda que tengo ya que allí si varía lo que marca la balanza.

¿Algún comentario?


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[pod]

Re: Masa de una esferita

No es que sea lo más didáctico del mundo... Las masas no pueden ser negativas, obviamente. Lo que (supongo) quiere decir es que pesa menos que el mismo volumen de agua... pero de ahí a decir que la masa es negativa.

[[Beto]]

Re: Masa de una esferita

La parte que me da más curiosidad es esta:

[FONT=Verdana, Arial, Helvetica] Ahora vamos a hallar una expresión para P en función del tiempo t:

P(t) = Po + m.a(t)

¿Tienes idea de como sale? ya que a partir de alli concluyen que la masa varía mientras sube hasta alcanzar su velocidad límite.
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Re: Masa de una esferita

La masa no, el peso aparente.

Es un problema típico de movimiento con rozamiento fluido. Además, tienes una fuerza constante (peso menos empuje). Básicamente (yo no voy a tener en cuenta el aire, que no juega ningún papel en el caso...),

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Se puede integrar muy fácilmente; teniendo en cuenta que $a = \dd v / \dd t$ es una ecuación diferencial separable.

Ahora bien, en mi parecer, con los signos se hacen la picha un lío. La fuerza total calculada arriba es positiva (¡la pelotita sube!), por lo tanto la reacción sobre el líquido es negativa; el peso aparente que marcará la balanza será

$$P = P_0 - m a \ .$$

Y la conclusión es la misma que en la mosca: en el caso de un descenso acelerado (aunque la pelota suba, en este caso "gana" el descenso de una masa mayor de agua), la balanza marcará menos, ya que la masa neta que desciende no está siendo substentada por la base del pote. Y al cabo de mucho tiempo, la velocidad es constante (velocidad terminal), por lo que recobramos el mismo peso.

[[Beto]]

Re: Masa de una esferita

La masa no, el peso aparente.

Vaya confusión.

Ya me quedó claro