Ley de Hooke "completa"

[teje]

Buenas tardes, esta es mi primera duda, pero la verdad es que justamente esto no lo he encontrado en ningún sitio.

La duda es que la ley de Hooke es muy conocida, y que el periodo de las oscilaciones que tiene un muelle o cualquier sistema similar es de :



(1) [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Siendo m la masa que colgamos del muelle en cuestión, y k la constante de elasticidad de ese muelle. Pero, para esta ecuación ignoramos los efectos de rozamiento del muelle, consideramos que no hemos pasado su límite de elasticidad, y otra última consideración es que la masa del muelle es despreciable frente a la masa de nuestro peso...

Si queremos resolver la ecuación considerando además la masa del muelle, sé que la fórmula que describe eso es:

(2) [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Sin embargo, intento deducir de donde sale ese 3 que divide a la masa del muelle, y aunque estoy analizando desde la solución armónica del problema del tipo:

(3) $x = A cos(\omega t + \phi)$

No consigo encontrar el desarrolo por el cual el periodo da justamente la ecuación 2, alguien podría ayudarme por favor??

Un saludo y muy buen día, muy útil su página

[balik]

Re: Ley de Hooke "completa"

Como bien dijiste en la ecuación 1 no se toma en cuenta la masa del resorte. Para tomarlo en cuenta es bueno saber que no todas las partes del resorte oscilaran con la misma amplitud. La amplitud del extremo inferior del resorte es la misma que la de la masa colgada a este. La del punto superior, por donde se sujeta el resorte a el soporte (creo que se llama así, no recuerdo) es cero. Así que a la hora de tomar en cuenta el movimiento del resorte, debemos colocar en nuestra ecuación 1, una suma combinada, del la masa que el resorte soporta, y una fracción de la masa del resorte, es decir f.m , donde f <1



, si elevemos la ecuación así obtenida ( la ecuación dos ) al cuadrado , ( tendremos la ecuación de una recta ) y si se representan los valores de T ² en función de m , obtenemos de la pendiente de la recta graficada a k , y de la ordenada en el origen a f

[teje]

Re: Ley de Hooke &quot;completa&quot;

Gracias, la verdad es que con tu propuesta he entendido ya de dónde sale el valor ponderado de la masa del resorte, y el porqué esta fraccionado, que yo ya me estaba comiendo la cabeza con la inercia y cosas así...

Pero para terminar de entender este problema, me podrías o alguien podría indicarme por que en este ejemplo es f=1/3 exactamente????

Yo creo que podría ser un valor standard, como el hecho de que la inercia de un muelle sea

$<br /> I = \frac{1}{3}m L^2<br />$

Al igual que para un cilndro sólido sea:

$<br /> I = \frac{1}{2}m r^2<br />$

Estoy saliéndome del tema, o en realidad tiene algo que ver la inercia. Es que es para poder sacar la ecuación 2 por desarrollo, y no llegar desde la ecuación 2 a la 1.

Muchas gracias Balik y también a quien intente ayudar

[balik]

Re: Ley de Hooke &quot;completa&quot;

Cito
Yo creo que podría ser un valor standard, como el hecho de que la inercia de un muelle sea

$<br /> I = \frac{1}{3}m L^2<br />$

Al igual que para un cilndro sólido sea:

$<br /> I = \frac{1}{2}m r^2<br />$

expresado por teje .

Balik=
Ahora bien

Lo que pasa es que existe una diferencia entre una formula y una constante , son dos cosas distintas , tu puedes hacer una grafica , asignando distintos valores a una formula , a una constante no. y ES PORQUE PODEMOS TRATAR A UNA FORMULA COMO UNA FUNCION .

No me quiero salir del tema , solo trato de explicarte que si te fijas en las formulas de momentos de inercia ( no de inercia , son conceptos relacionados , pero no iguales ) date cuenta que I depende deL VALOR DE L , asi que no siempre sera un valor constante. De la misma forma el movimiento de un resorte , depende del resorte usado , de su constante de resorte , y su forma geometrica . Asi que hasta donde se , f no es una constante universal, sino unica para cada resorte .

[pod]

Re: Ley de Hooke &quot;completa&quot;

Yo he conseguido demostrarlo a partir de la conservación de la energía. Claro, se trata de de dividir el muelle en muelles elementales de tamaño infinitesimal. Cada muelle seguirá la ley de Hooke tradicional y se encargará de mover una parte de la masa total del muelle, que llamaremos$\dd m$. Como razonaba Balik, la amplitud del movimiento de cada uno de estos muelles será mayor cuan más cerca del extremo libre se encuentre; si la elongación total del muelle es $x$, entonces el desplazamiento total de un punto intermedio será $\eta x$, donde $0 < \eta < 1$ es el parámetro que recorre el muelle en su longitud.

La energía mecánica total, $E$, será la suma de la energía cinética, $T$, y la potencial, $U$. Cada una de estas energías se puede poner como la suma de energías de cada uno de los muelles infinitesimales. No obstante, para la energía potencial no hace falta; en la energía potencial elástica no importa la masa de los muelles elementales, sabemos que la suma debe ser $U = \frac12 k x^2$. Tan sólo nos queda sacar la energía cinética.

Habrá dos componentes en la energía cinética: la debida a la masa $M$ enganchada al final del muelle, $T_M = \frac12 M v^2$, y la debida al muelle, que hay que calcular. Será simplemente la suma de energía cinética de cada mini-muelle; teniendo en cuenta que la velocidad de un determinado punto será proporcional a la distancia al punto fijo (simplemente, se trata de derivar la relación $\eta x$, teniendo en cuenta que para un punto fijo $\eta$ es constante. Por tanto,

$$T_m = \int \frac12 \dd m (\eta v)^2 = \frac12 m v^2 \int \eta^2 \dd\eta = \frac16 m v^2 \ .$$

Así, pues, la energía mecánica total es

$$E = \frac12 \left(M + \frac13 m\right) v^2 + \frac12 k x^2 \ .$$

En este momento, debemos suponer que el movimiento es oscilatorio. Este es el camino fácil, puede demostrarse que el movimiento es oscilatorio, sin suponer nada, siguiendo el mismo procedimiento de este problema, pero por hoy nos conformaremos con la versión más sencilla. Así, pues, imponemos un movimiento del tipo

$$x = A \cos(\omega t + \phi_0) \ .$$

Introduciendo esto en la energía,

$$E = \frac12 \left(M + \frac13 m\right) \omega^2 A^2 \cos^2(\omega t + \phi_0) + \frac12 k A^2 \sin^2(\omega t + \phi_0)\ .$$

Como el sistema es conservativo, esta cantidad debe ser independiente del tiempo. La forma de conseguir que los senos y cosenos se combinen para dar una constante es que los factores sean iguales y se puedan sacar factor común, de forma que por la ley fundamental de la trigonometría nos dé $\cos^2\phi + \sin^2\phi = 1$. Esto nos dice cuanto debe valer la pulsación $\omega$,

$$\left(M + \frac13 m\right) \omega^2 = k \ ,$$

es decir,

$$\omega^2 = \frac{k}{M + \frac13 m}\ .$$

Lo que tenemos que calcular es el periodo,

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{M + \frac13 m}{k}}\ .$$

Como se suele decir, QED.

[teje]

Re: Ley de Hooke &quot;completa&quot;

Muchísimas gracias, empecé a hacerlo por energías yo también después del consejo de Balik, pero me atasqué en que no caí en que tenía que ser conservativo, y ahí se te simplificaba todo.

Estoy muy contento, he aprendido bastante con esta duda, y para ser mi primera consulta en ésta web, le tengo que dar un 10/10 al trato de la gente y vuestra brevedad por responder.

De nuevo gracias, e intentaré aportar mi granito de arena al foro si puedo responder alguna pregunta

Saludos!!

[[Beto]]

Re: Ley de Hooke &quot;completa&quot;

$$T_m = \int \frac12 \dd m (\eta v)^2 = \frac12 m v^2 \int \eta^2 \dd\eta = \frac16 m v^2 \ .$$

¿Cómo haces para que la integral pase de $\dd m$ a $\dd \eta$?

[pod]

Re: Ley de Hooke &quot;completa&quot;

¿Cómo haces para que la integral pase de $\dd m$ a $\dd \eta$?

Por construcción, $\dd m = m \dd\eta$.