Secundaria Velocidad de escape de un satélite

[angel relativamente]

Hola compañeros de LWDF. Estaba yo revisando exámenes de selectividad de años anteriores, y me he encontrado con el siguiente problema:


Un satélite se sitúa en órbita circular alrededor de la Tierra. Si su velocidad orbital es de $v=7.6 \cdot 10^3 \; m/s$calcula:
a) El radio de la órbita y el periodo orbital del satélite. (1,2 puntos)
b) La velocidad de escape del satélite desde ese punto. (0,8 puntos)
Utilizar exclusivamente estos datos: aceleración de la gravedad en la superficie terrestre g = 9,8 m/s; radio de la Tierra $R = 6,4\cdot10^6 \; m$

Bien, os expongo detalladamente lo que he hecho en el apartado a) y si algún alma caritativa se lo lee y me corrige los posibles fallos, pues estupendo

a) Llamaremos $R$ al radio de la Tierra, $r$ al radio de la órbita (que viene siendo el radio de la Tierra R más la altura a la que se encuentra el satélite, pero es innecesario descomponerlo en dos sumandos), $m_T$ a la masa de la Tierra, $m_s$ a la masa del satélite y $T$ al período orbital. Comencemos:

$$\dst F_c=F_g$$

$$\dst \frac{m_s \cdot v^2}{r}=\frac{G \cdot m_s \cdot m_T}{r^2}\; \Rightarrow \; m_T\cdot G=v^2 \cdot r$$

Además sabemos que en la superficie terrestre se cumple:

$$\dst g=\frac{G\cdot m_T}{{r_T}^2}\; \Rightarrow \; m_T \cdot G=g \cdot {r_T}^2$$

Igualamos 2 y 3:

$$\dst v^2 \cdot r=g \cdot {r_T}^2 \; \Longrightarrow \; \boxed{r=\frac{g\cdot {r_T}^2}{v^2}>r_T}$$

Una vez tenemos eso, calcular el período es tarea de niños:

$$\dst v=\omega \cdot r = \frac{2\pi r}{T}\; \Rightarrow \boxed{T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2g\pi \cdot {r_T}^2}{v^3}}$$

b) El apartado b no tengo ni idea, no he dado absolutamente nada de velocidad de escape (y tengo miedo de darlo al año que viene deprisa y corriendo). Se lo que significa el concepto velocidad de escape, pero no sabría calcularlo. ¿Alguien me hecha una manita (aunque sea al cuello)?

¡Un saludo!

[javier m]

Re: Velocidad de escape de un satélite

creo que esto servirá.

pero creo que $R$ no sería en este caso el radio de la tierra (como dice wiki) sino el radio de la orbita, lo mismo con $g$

[imperfecto]

Re: Velocidad de escape de un satélite

L aprimera expresion es preciosa,observa como compara las dos fuezas:Fc=m.V2/r y Fg=mg,ahora igualalas y obten ese dichoso radio orbital,pues en este caso la masa actua en ambas exprexiones igual(la quitamos de en medio. G=v2/r ACELERACION CENTRIPETA.
iNTENTALO HABER QUE TAL CAMPEON,YA ME CUENTAS

[angel relativamente]

Re: Velocidad de escape de un satélite

creo que esto servirá.

pero creo que R no sería en este caso el radio de la tierra (como dice wiki) sino el radio de la orbita, lo mismo con g

Ok muchas gracias javier

L aprimera expresion es preciosa,observa como compara las dos fuezas:Fc=m.V2/r y Fg=mg,ahora igualalas y obten ese dichoso radio orbital,pues en este caso la masa actua en ambas exprexiones igual(la quitamos de en medio. G=v2/r ACELERACION CENTRIPETA.
iNTENTALO HABER QUE TAL CAMPEON,YA ME CUENTAS

Siento no entender mucho lo que me quieres decir, pero voy a intentarlo con lo que he visto en wiki:

$$v_e=\dst \sqrt{2g_s\cdot r}$$

Siendo $g_s$ la aceleración de la gravedad a la altura del satélite y r el radio de la órbita. Entonces, igualando la fuerza centrípeta a la gravitatoria:

$$\dst \frac{m v^2}{r}=\frac{G\cdot m_T \cdot m}{r^2}\; \Rightarrow \; G\cdot m_T=v^2 \cdot r$$

Y como:

$$\dst g_s=\frac{G\cdot m_T}{r^2}=\frac{v^2}{r}$$

Sustituimos en 1:

$$v_e=\dst \sqrt{2v^2}\; \Rightarrow \; v_e=v \sqrt 2$$

Si alguien le echa un vistazo a mis cálculos se lo agradecería
¡Un saludo!

[Pepealej]

Re: Velocidad de escape de un satélite

Hmm. La verdad, no entiendo mucho lo que dijiste que viste en la Wikipedia ($v_e=\dst \sqrt{2g_s\cdot r}$), pero yo creo que calcular la velocidad de escape es bastante sencillo (si no lo es que alguien me rectifique). Yo lo planteo de la siguiente manera.

Si la velocidad orbiatal de un cuerpo alrededor de otro cuerpo con masa es:

$\displaystyle\frac{v^2}{r}=\displaystyle\frac{G\cdot M_T}{r^2}$

$v=\sqrt{\displaystyle\frac{G\cdot M_T}{r}}$

Entonces, podemos decir que cualquier velocidad mayor o menor que esa hará que el cuerpo se salga de su órbita. Si es menor el cuerpo "caerá" hacia el cuerpo de más masa, y si es mayor el cuerpo se alejará. Así que, si queremos calcular la velocidad de escape (supongo que eso se refiere a una velocidad mayor) decimos que:

$v>\sqrt{\displaystyle\frac{G\cdot M_T}{r}}$

Y, como dijiste antes:

$G\cdot M_T=g\cdot r_T^2$

Pues:

$\boxed{v>\sqrt{\displaystyle\frac{g\cdot r_T^2}{r}}}$

Bueno, creo que es así. Al menos es así como siempre lo he entendido, aunque no he hecho ningún ejercicio al respecto pero creo que no tiene más misterio. Si lo tiene que alguien me lo diga

Saludos!

[angel relativamente]

Re: Velocidad de escape de un satélite

Hola pepealej, bueno según la wikipedia la velocidad de escape se define así:

La velocidad de escape es la velocidad con la que debe lanzarse un cuerpo para que llegue al infinito con velocidad cero.
Es decir, es la velocidad minima con la que debe lanzarse el cuerpo para que escape de la atracción gravitatoria de la Tierra o de cualquier otro astro. Esto significa que el cuerpo o proyectil no volverá a caer sobre la Tierra o astro de partida, quedando en reposo a una distancia suficientemente grande (en principio, infinita) de la Tierra o del astro.

Tú dices que tan solo ha de superar la velocidad orbital, pero creo que en ese caso se convertiría en una órbita elíptica. A ver si nos ilumina alguna mente sabia
¡Un saludo!

[Pepealej]

Re: Velocidad de escape de un satélite

Uuups, fallo mío. Pensaba que la velocidad de escape era la velocidad con la que un satélite en órbita debía moverse para escapar de dicha órbita, por eso lo plantee de esa forma. Lo siento

[Pepealej]

Re: Velocidad de escape de un satélite

Después leer lo que me dijiste de la velocidad de escape y su definición pensé en utilizar la ley de la conservación de la energía y lo hice de la siguiente forma:

$E_{superficie \ terrestre}=E_{infinito}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Puesto que la velocidad en el infinito $v^{\prime}=0$, y el radio desde la tierra hasta el infinito $r=+\infty$, tenemos que:

$\frac 1 2 v^2 - \displaystyle\frac{G \cdot M_T}{R_T}=0$

Y como:

$G \cdot M_T=g \cdot R_T^2$

Pues:

$v^2=2g\cdot R_T$

$\boxed{v=\sqrt{2g\cdot R_T}}$

Y esa es mi respuesta. Creo que es así, pero si me equivoco me gustaría que alguien me corrigiese

De todas formas esto es considerando que se lanza, como dijiste, un cuerpo desde la superficie de la tierra. Si consideramos que el satélite está en órbita, no veo porque la respuesta que te di en mi otra respuesta no es válida para la velocidad de escape.

Saludos!

[angel relativamente]

Re: Velocidad de escape de un satélite

En efecto esa es la fórmula que nos da la velocidad de escape de la superficie terrestre.

$$\boxed{v=\sqrt{2g\cdot R_T}}$$

Que es la misma que nos da la wikipedia

Pero si el cuerpo en lugar de estar en la superficie se encuentra a una altura $h$, varía el radio y la aceleración de la gravedad, de ahí que yo use:

$$v_e=\dst \sqrt{2g_s\cdot r}$$

Siendo $g_s$ la aceleración a la altura del satélite y r el radio de la órbita (que es $R_T+h$)

Fíjate que la velocidad de escape de la superficie terrestre es 11 200 m/s

$$v_e=\sqrt{2\cdot 9.8 \cdot 6.4\cdot 10^6}\approx 11\;200\; m/s$$

Y haciendo mis cálculos, a una altura h da ligeramente menor:

$$v_e=7600\sqrt 2 = 10\; 748\; m/s$$

En ese sentido tiene lógica, al llevar ya cierta altura necesitará menor velocidad para abandonar el campo gravitatorio.
¡Un saludo!

[Pepealej]

Re: Velocidad de escape de un satélite

Ah bueno, sí claro. Pensaba que tenías dudas pero veo que no

[angel relativamente]

Re: Velocidad de escape de un satélite

Ah bueno, sí claro. Pensaba que tenías dudas pero veo que no

Bueno sigo sin estar seguro, aunque poco a poco me voy autoconvenciendo jiji
Voy a hacer más de estos a ver si me cuadran los números.
¡Un saludo!

[Cat_in_a_box]

Re: Velocidad de escape de un satélite

Hola,

Ángel, ya remato este hilo aclarando ciertas cosas sobre la velocidad de escape del satélite (el concepto, vamos) y así sabemos lo que estamos haciendo en todo momento, de modo que verás que el resultado tiene bastante lógica y la expresión que queda es muy sencilla. He de decir que el primer apartado está perfecto, por lo que desarrollaré la expresión a partir de lo que tú has llegado.

Pues bien, la velocidad de escape está relacionada con una cosa que se llama energía de amarre o de ligadura. Suponed que deseamos que el satélite de masa m abandone el campo gravitatorio terrestre y no vuelva a él. Esto se podría traducir a ''términos físicos'' como que el satélite ha de llegar hasta una distancia infinita. Ahora bien, entonces, ¿cuánto trabajo se tendría que realizar (en contra del campo obviamente) para conseguir que el dichoso satélite que se encuentra tranquilamente orbitando alcance una distancia infinita? Fíjate que como se realiza trabajo en contra de la fuerza gravitatoria la fuerza que se debe ejercer sobre el satélite una vez que se esté moviendo tiene que ser, como mínimo, igual y de sentido contrario, claro está, a dicha fuerza. Por tanto:

$$F=-F_{gravitatoria}=G\dst\frac{M_Tm_s}{R^2}$$

Por tanto, haciendo uso de la definición de trabajo y con un poquito de cálculo integral, llegamos a lo siguiente:

$$W=\dst\int_{R}^{\infty} \vec F\cdot d\vec r= \dst\int_{R}^{\infty} G\dst\frac{M_t m_s}{R^2} dR=GM_t m_s \dst\int_{R}^{\infty} \dst\frac{1}{R^2}dR=GM_tm_s\left[-\dst\frac{1}{R}\right]_{R}^{\infty}$$

$$E_{ligadura}=\boxed{G\dst\frac{M_T m_s}{R}}$$

Esto es lo que se conoce como energía de amarre o de ligadura y cualquier cantidad de energía que se halle por debajo de ésta hará que el satélite no escape del campo gravitatorio. Entonces, ¿esto qué tiene que ver con la velocidad de escape?

Mucho, pues en consonancia con todo lo anterior, la energía cinética inicial que ha de adquirir el satélite para escapar del campo gravitatorio terrestre debe ser como mínimo igual a la energía de amarre o de ligadura. Esto es lo que nos permite conocer cuál tiene que ser la velocidad que debe tener el cuerpo para abandonar el ''lugar'' donde se encuentra orbitando el satélite, es decir, la denominada velocidad de escape.Así pues:

$$\dst\frac{1}{2} m_sv^2=G\dst\frac{M_T m_s}{R}\Rightarrow \boxed{v_{escape}=\dst\sqrt{\dst\frac{2GM_T}{R}}}$$

Observa que es independiente de la masa del satélite y dado que su deducción surge de la igualdad de dos magnitudes escalares, da exactamente igual la dirección del lanzamiento (hombre, siempre que no se apunte hacia el suelo, ¿no? )

Además, como bien dijiste:

$$g=G\dst\frac{M_T}{r^2_T}\Rightarrow gr^2_T=GM_T$$

Si sutituimos, nos quedaría entonces:

$$v_{escape}=\sqrt{\dst\frac{2gr^2_T}{R}}$$

Ahora, teniendo en cuenta cuál es el radio orbital calculado en el primer apartado, siendo este:

$$R=\dst\frac{gr^2_T}{v^2_o},\quad (R> r_T)$$

Obtenemos la expresión final, que sería:

$$v_{escape}=\sqrt{\dst\frac{2gr^2_T}{\dst\frac{gr^2_T}{v^2_o}}}$$

Donde $v_o$ es la velocidad orbital del satélite. En conclusión, fíjate que expresión más sencilla queda simplficando (ya te doy el resultado):

$$\boxed{v_{escape}=\sqrt{2v^2_0}=\sqrt{2\cdot (7.6\cdot 10^3)^2}=\sqrt{115520000}\approx 10748 ms^{-1}=10.748 kms^{-1}}$$

Como ves es el mismo resultado al que llegas tú, y sí, lógica tiene más que de sobra, pues se necesitará una velocidad menor que la de escape en la superficie ya que el campo gravitatorio que liga al satélite también es menor. Espero que te hayas convencido completamente

Saludos,

[angel relativamente]

Re: Velocidad de escape de un satélite

Creo que tu mensaje es precisamente lo que necesitaba para autoconvencerme. Creía (y al parecer acertaba) que mis cálculos eran correctos, pero aun no estaba seguro de cómo llegar hasta la fórmula. Lástima que tan solo pueda darle 1 gracias a tu mensaje

[javier m]

Re: Velocidad de escape de un satélite

pero aun no estaba seguro de cómo llegar hasta la fórmula

y por que no estabas seguro? si en la wiki decia como llegar.

vamos, $E_0=E_f$. al final el cuerpo está quieto (K=0) y está muy lejos (U=0, pues $r=\infty$)

y al comienzo está la cinetica $(\frac12 mv^2$) y la gravitatoria ($-GM_emr^{-1}$)

[Pepealej]

Re: Velocidad de escape de un satélite

Acabo de leer tu mensaje Cat y veo que tenemos casi idéntica la ecuación de la velocidad de escape.

Tu dices:

$v_{escape}=\dst\sqrt{\dst\frac{2GM_T}{R}}$

Yo digo:

$v_{escape}=\dst\sqrt{\dst\frac{GM_T}{R}}$

Pero claro, veo que tu planteamiento es totalmente correcto, pero no veo porque el mío no lo es.

Yo lo que hice es igualar la fuerza centrípeta a la fuerza gravitatoria del satélite, y de ahí obtener la velocidad de escape. En lo único que difieren las ecuaciones es en el 2, pero no se porque.

Gracias