1r ciclo necesito que me ayuden una vez más

[yas]

Hola a todos. como van?

escribo para perdirles que me colaboren con el desarrollo de este ejercicio.Ya lo he mirado de varias maneras pero no se como empezar a desarrollarlo.

EL EJERCICIO ES EL SIGUIENTE: El resorte AB tiene constante k=1,2 [kN/m] Y
y está unido al collar A de 2,00 [kg], que se desliza
libremente a lo largo de una barra horizontal. La
longitud del resorte sin deformar es de 0,25 [m]. Si
el collar se deja en reposo en la posición de la
figura, determinar la máxima velocidad alcanzada.
(Nota: se sugiere resolver el problema mediante la
aplicación de la segunda ley de Newton y el
método del trabajo y la energía). R/ 14,23 [m/s]

LA figura QUE REPRESENTA ESTE EJERCICIO SE ENCUENTRA EN ESTE TALLER QUE LES MANDO: taller III (1).pdf en el ejercicio numero 3

[GNzcuber]

Re: necesito que me ayuden una vez más

Hola yas,

Si llamamos $\alpha_0$ al ángulo entre el resorte y la barra, este ángulo lo puedes encontrar sabiendo los catetos opuesto (0.4[m]) y adyacente (0.75[m]) y que $0<\alpha_0<\frac{\pi}{2}$.

La fuerza que ejerce el resorte en cada momento vendrá dada por su elongación, ésta es $\Delta L = \sqrt{h^2+x^2} - L_0$, donde $h=0.4\,\mathrm{m}$ y $L_0=0.25\,\mathrm{m}$ (su longitud natural).

La fuerza la podemos descomponer en dos, una paralela al eje de la barra, sobre el cual colocaremos el eje $x$, y uno perpendicular que denominaremos eje $y$, la fuerza $\mathbf{F_y}$ se anula con la normal de contacto entre el collar y la barra, y la fuerza $\mathbf{F_x} = F\cos(\alpha)\mathbf{i}$ es la que contribuye a la velocidad.

La segunda ley de Newton dice

$$\displaystyle \mathbf{F} + \mathbf{N} = m\mathbf{a}$$

Separando en sus componentes

$$\displaystyle <br /> \left\{\begin{aligned}<br /> x&:\quad \mathbf{F_x} = F\cos(\alpha) \mathbf{i} = ma\mathbf{i} \\<br /> y&:\quad \mathbf{F_y} +\mathbf{N} = F\sin(\alpha)\mathbf{j} - N\mathbf{j} = 0 = ma\mathbf{j}<br /> \end{aligned}\right.<br />$$

La fuerza en el eje $x$ viene dada exclusivamente por el resorte, por lo tanto (colocando el eje $x=0$ por debajo del extremo fijo del resorte)

$$\displaystyle \mathbf{F_x} = -k\big(\sqrt{h^2+x^2}-L_0\big)\cos(\alpha)\mathbf{i}$$

Para dejarlo en función de $\alpha$ (o de $x$, yo lo haré con $\alpha$), usaremos que $\displaystyle \tan(\alpha)=\frac{h}{x}\Leftrightarrow x=\frac{h}{\tan(\alpha)}$. Por lo tanto

$$\displaystyle <br /> \begin{aligned}<br /> \mathbf{F_x} &= -k\left(x\sqrt{\left(\frac{h}{x}\right)^2+1}-L_0\right)\cos(\alpha)\mathbf{i} \\<br /> &= -k\left[\frac{h}{\tan(\alpha)}\sqrt{\tan^2(\alpha)+1}-L_0\right]\cos(\alpha)\mathbf{i} \\<br /> &= -k\left[\frac{h}{\sin(\alpha)}-L_0\right]\cos(\alpha)\mathbf{i}<br /> \end{aligned}<br />$$

Como tenemos la fuerza respecto a la posición calcularemos la velocidad respecto a la misma:

$$\displaystyle a=\frac{\dd v}{\dd t} = \frac{\dd v}{\dd x}\frac{\dd x}{\dd t} = v\frac{\dd v}{\dd x}$$

Pero como $\displaystyle x=\frac{h}{\tan(\alpha)} \Rightarrow \dd x = -\frac{h}{\sin^2(\alpha)}\dd\alpha$, así

$$\displaystyle a = v\frac{\dd v}{\dd x} = -\frac{v\sin^2(\alpha)}{h}\frac{\dd v}{\dd \alpha}$$

Y por lo tanto

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> a &= \frac{F_x}{m} \\<br /> \int_0^v v'\dd v' &= \displaystyle \frac{kh}{m}\int_{\alpha_0}^{\frac{\pi}{2}}\left[h\frac{\cos(\alpha)}{\sin^3(\alpha)} - <br /> L_0\frac{\cos(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}\right]\dd\alpha \\<br /> \frac{v^2}{2} &= \frac{kh}{m}\left[-\frac{h}{2\sin^2(\alpha)}+\frac{L_0}{\sin(\alpha)} \right]_{\alpha_0}^{\frac{\pi}{2}}<br /> \end{aligned}$$

$$\displaystyle <br /> \boxed{ v = \sqrt{\frac{2kh}{m}\left[\left(\frac{1}{\sin^2(\alpha_0)}-1\right)\frac{h}{2} + \left(1-\frac{1}{\sin(\alpha_0)}\right)L_0\right]}}$$

Veamos cuanto vale $\alpha_0$ y sustituiremos valores $\alpha=\tan^{-1}\left(\frac{0.4}{0.75}\right) \simeq 0.49\,\mathrm{rad}$

Me da $v=14.22852906...\simeq 14.23\,\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}$

¡Saludos!

P.D.: Para calcular las integrales he hecho un cambio de variable, las he hecho por separado obviamente. Para la primera $u=\sin^2(\alpha)$ y para la segunda $u=\sin(\alpha)$, resultaron ser inmediatas jeje.

[Al2000]

Re: necesito que me ayuden una vez más

Hacerlo por conservación de la energía es una tontería, solo tienes que plantear que la energía total en el punto inicial y en el punto de mínima elongación del resorte son iguales:

$$\frac 1 2 k l_1^2 = \frac 1 2 k l_2^2 + \frac 1 2 m v^2\,,\,\,\text {con}\,\,l_1 = \sqrt {x_0^2 + d^2}\,,\,\,l_2 = d$$

donde estoy llamando $x_0$ el desplazamiento horizontal inicial del collarín y $d$ la distancia desde el punto B hasta la barra.

Si lo quieres hacer usando las ecuaciones de movimiento, pues resulta un poco mas complicado. La fuerza horizontal, que es la única que te interesa, vale

$$\boldsymbol F = k l \, \mathrm {sen} \, \theta \,\boldsymbol i = k \sqrt {x^2 + d^2} \frac {-x} {\sqrt {x^2 + d^2}} \boldsymbol i = - k x\, \boldsymbol i$$

($\theta$ es el ángulo que forma el resorte con la vertical) lo que te da una aceleración como función de la posición de

$$\boldsymbol a = - \frac k m x \, \boldsymbol i$$

la cual puedes resolver para hallar la velocidad expresando la aceleración como

$$a = \frac {dv}{dt} = \frac {dv}{dt} \frac {dx}{dx} = \frac {dx}{dt}\frac {dv}{dx} = v \frac {dv}{dx}$$

quedando

$$v \frac {dv}{dx} = - \frac k m x \quad \Rightarrow \quad v\,dv = - \frac k m x\,dx$$

y luego integrar

$$\int_{0}^{v}\!\! v\,dv = - \frac k m \int_{-x_0}^{0}\!\! x \,dx$$

llegar por una vía mucho mas complicada al mismo resultado.

Saludos,

Al

PD. Sería bueno en el futuro que en lugar de pegar el pdf copiaras y pegaras el gráfico, toda vez que te tomaste el trabajo de tipear el enunciado.

PD2. Viendo el mensaje de GNzcuber (¡saludos!) me doy cuenta de que me comí la longitud natural del resorte. Bueno, dejo todo el mensaje como constatación de que todos nos equivocamos. Me perdonan esta y la próxima, por favor...

[Al2000]

Re: necesito que me ayuden una vez más

Bueno, añado aquí la versión corregida, para que no se diga que no rectifico mis errores jajaja

Hacerlo por conservación de la energía es una tontería, solo tienes que plantear que la energía total en el punto inicial y en el punto de mínima elongación del resorte son iguales:

$$\frac 1 2 k l_1^2 = \frac 1 2 k l_2^2 + \frac 1 2 m v^2\,,\,\,\text {con}\,\,l_1 = \sqrt {x_0^2 + d^2} - l_0\,,\,\,l_2 = d - l_0$$

donde estoy llamando $x_0$ el desplazamiento horizontal inicial del collarín y $d$ la distancia desde el punto B hasta la barra.

Si lo quieres hacer usando las ecuaciones de movimiento, pues resulta un poco mas complicado. La fuerza horizontal, que es la única que te interesa, vale

$$\boldsymbol F = k l \, \mathrm {sen} \, \theta \,\boldsymbol i = k (\sqrt {x^2 + d^2} - l_0) \frac {-x} {\sqrt {x^2 + d^2}} \boldsymbol i = k \left(\frac {l_0}{\sqrt {x^2 + d^2}} - 1\right) x\, \boldsymbol i$$

($\theta$ es el ángulo que forma el resorte con la vertical) lo que te da una aceleración como función de la posición de

$$\boldsymbol a = \frac k m \left(\frac {l_0}{\sqrt {x^2 + d^2}} - 1\right) x \, \boldsymbol i$$

la cual puedes resolver para hallar la velocidad expresando la aceleración como

$$a = \frac {dv}{dt} = \frac {dv}{dt} \frac {dx}{dx} = \frac {dx}{dt}\frac {dv}{dx} = v \frac {dv}{dx}$$

quedando

$$v \frac {dv}{dx} = \frac k m \left(\frac {l_0}{\sqrt {x^2 + d^2}} - 1\right) x \quad \Rightarrow \quad v\,dv = \frac k m \left(\frac {l_0}{\sqrt {x^2 + d^2}} - 1\right) x\,dx$$

y luego integrar

$$\int_{0}^{v}\!\! v\,dv = \frac k m \int_{-x_0}^{0}\!\! \left(\frac {l_0}{\sqrt {x^2 + d^2}} - 1\right) x \,dx$$

llegar por una vía mucho mas complicada al mismo resultado:

$$\boxed {v = \sqrt {\frac k m \left[x_0^2 - 2 l_0 \left(\sqrt {x_0^2 + d^2} - d \right)\right]}}$$

Saludos,

Al

[yas]

Re: necesito que me ayuden una vez más

GNzcuber, como estas?

lo que pasa es que tengo algunas preguntas:

1. alfa sub cero (angulo entre el resorte y la barra) es igual a alfa?
2. cuál es el extremo fijo del resorte?
3. x = 0.75?
4. que es Fr?
5. qué es v’?
6. ¿ a cuales dos integrales te refieres en tu P.D ?
7. por que dices que la fuerza esta respecto a la posición?
8. en la integral que tiene limite superior pi medios, ¿cuál es el limite inferior?,es que no se ve bien.

[juankorku55]

Re: necesito que me ayuden una vez más

Creo que puedo aclararte un par de dudas ,
1. alfa sub cero es el angulo inicial entre el resorte y la barra.
4. no es Fr es Fx, y Fx es la fuerza paralela a la barra, es decir, la fuerza F respecto al eje x, Fx.
5.v´se refiere a la derivada de dv, eso lo hace porque esta haciendo una integral por cambio de variable o de sustitución.
6. justo a las integrales que tiene un poquito mas arriba.
7. dice que la fuerza es respecto a la posición mas que nada porque la fuerza es respecto al eje x, por eso es Fx, toda la trigonometría de sus formulas no estan de adorno xd.
8. el limite inferior en esa integral es alfa sub cero.

[GNzcuber]

Re: necesito que me ayuden una vez más

Hola yas y juankorku55,

toda la trigonometría de sus fórmulas no están de adorno

Esa me ha gustado .

yas, lo que te ha respondido juankorku55 es cierto, excepto por la 5. Pero responderé a todo igualmente:

1. $\alpha_0$ es el ángulo inicial, $\alpha$ es un ángulo genérico que en este caso va desde el inicial, $\alpha_0$, hasta el final, $\frac{\pi}{2}$.

2. ¿Cuál crees tú? Hay un extremo del resorte que está atado al anillo que se desliza, como se desliza se mueve, por lo tanto este extremo no es. Sólo tiene otro extremo que está fijo (en B de tu figura).

3. Sí, he decidido que $x$ fuera el eje coincidente con la barra por donde se mueve el anillo, como comienza a una distancia de 0.75 m respecto a una perpendicular por la cual está el extremo fijo del resorte (punto B), entonces $x=0.75$ si tomamos como positivo el sentido hacia la izquierda en la imagen.

4. Como te ha dicho juan, es $F_x$, la fuerza que va en la dirección del eje $x$.

5. En la integral $\displaystyle \int_0^v v'\dd v'$, cuando el límite de integración es igual a la variable a integrar se suele poner ésta última como prima, el significado es el mismo que si no lo tuviese, pero es para que sea más inteligible y no quede tan "feo" a la vista que se usa lo mismo para dos cosas distintas en una misma operación. ¿Si hubiese escrito $\displaystyle \int_0^v t\dd t$ hubieras tenido algún problema? Por cierto, normalmente designamos al tiempo con la $t$, pero piensa que es una variable muda, es decir, que el mismo resultado darían las siguientes integrales:

$$\displaystyle \int_0^v a\dd a = \int_0^v b\dd b = \cdots = \int_0^v u\dd u = \int_0^v v\dd v = \cdots = \int_0^v aeiou \,\dd aeiou = \frac{v^2}{2}$$

Posiblemente no hayas visto ésto, pero si recuerdas que una integral es una suma, podemos pasar al caso discreto, en analogía, que posiblemente te suene más:

$$\displaystyle \sum_{i=0}^v i = \sum_{j=0}^v j = \sum_{a=0}^v a = \cdots$$

6. Sé que en este caso te has confundido porque al mencionar dos integrales y sólo ves explícitamente dos no entiendes los cambios de variables hechos. Pues, en la línea siguiente

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \int_0^v v'\dd v' &= \displaystyle \frac{kh}{m}\int_{\alpha_0}^{\frac{\pi}{2}}\left[h\frac{\cos(\alpha)}{\sin^3(\alpha)} - <br /> L_0\frac{\cos(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}\right]\dd\alpha <br /> \end{aligned}<br />$$

El primer miembro de la igualdad es una integral inmediata a simple vista, en el segundo miembro de la igualdad tenemos dos integrales, recuerda que la integral es una suma y ésta es lineal respecto el producto: $\int_u^v (a+b)\dd c = \int_u^v a\dd c + \int_u^v b\dd c$.

7. Que la fuerza esté respecto a la posición me refiero a que está en función de la posición, $\mathbf{F}=\mathbf{F}(\mathbf{r})$ ($\mathbf{r}$ es en general para designar la posición, en particular, este caso, $\mathbf{r}=x\mathbf{i}$). Y es que en cualquier lugar que pongas el anillo con el resorte tendrá una fuerza que dependerá de la elongación de éste, y por lo tanto de la posición.

8. El límite inferior es $\alpha_0$, si entiendes el ejercicio y lo que estoy haciendo se puede deducir. Otra forma de verlo es ir a "View" ("Ver" o en el idioma que lo tengas) y poner "Zoom +", o desde el teclado "Ctrl +" para Windows y Linux, y supongo que para Mac también.

¡Saludos!

[angel relativamente]

Re: necesito que me ayuden una vez más

8. El límite inferior es , si entiendes el ejercicio y lo que estoy haciendo se puede deducir. Otra forma de verlo es ir a "View" ("Ver" o en el idioma que lo tengas) y poner "Zoom +", o desde el teclado "Ctrl +" para Windows y Linux, y supongo que para Mac también.

Más fácil aún, si sabes algo de LaTeX pulsas doble click en la fórmula y te sale esto:

\displaystyle \begin{aligned}
a &= \frac{F_x}{m} \\
\int_0^v v'\dd v' &= \displaystyle \frac{kh}{m}\int_{\alpha_0}^{\frac{\pi}{2}}\left[h\frac{\cos(\alpha)}{\sin^3(\alpha)} -
L_0\frac{\cos(\alpha)}{\sin^2(\alpha)}\right]\dd\alpha \\
\frac{v^2}{2} &= \frac{kh}{m}\left[-\frac{h}{2\sin^2(\alpha)}+\frac{L_0}{\sin(\alpha)} \right]_{\alpha_0}^{\frac{\pi}{2}}
\end{aligned}

Un saludete

PD: Perdonad que desvirtúe el hilo