Hallar distancia mínima entre proyectiles

[GNzcuber]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Hola,

Yo lo haría por la distancia relativa. Si llamamos $v_A$ a la velocidad de la partícula en $A$ y $v_B$ a la velocidad de la partícula en $B$. Y tomando como sentido positivo de las ordenadas hacia arriba y sentido positivo de las abscisas de $A$ a $B$, la posición de $B$ respecto a $A$ será:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$\displaystyle \boldsymbol{r}_{B/A} = \left[x_B-\big(v_B\cos(\beta)+v_A\cos(\alpha)\big)t\right]\boldsymbol{i} + \left[\big(v_B\sin(\beta)-v_A\sin(\alpha)\big)t\right]\boldsymbol{j}$$

$$\displaystyle d = \sqrt{\left[x_B-\big(v_B\cos(\beta)-v_A\cos(\alpha)\big)t\right]^2+\left[v_B\sin(\beta)-v_A\sin(\alpha)\right]^2t^2}$$

A partir de ahora es un problema de optimización, donde tienes que encontrar $t$ que haga mínimo a $d$, luego sustituyes dicho valor en la función y obtendrás la mínima distancia.

Pruébalo y dime qué te sale.

¡Saludos!

P.D.: Me he olvidado de decirte que por simplificación he considerado $x_A=y_A=y_B=0$, y $x_B$ es la posición inicial de $B$ respecto a $A$.

Y para calcular las velocidades iniciales tienes que en ambos casos las partículas recorren la distancia entre $A$ y $B$, si llamamos $s$ a dicha distancia tenemos:

$$\displaystyle \left\{\begin{aligned}<br /> s = v_i \cos(\theta_i) t \\<br /> 0 = v_i \sin(\theta_i) t -\frac{1}{2}gt^2<br /> \end{aligned}\right.<br />$$

Resuelves el sistema de ecuaciones para cada una de las partículas y obtienes las velocidades.

[Fras]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Gracias Ras por tu respuesta.

Edito:Me he entretenido calculándolo y me da 28.5m en T=2.2s

¿Me podrías indicar cómo llegaste a este resultado por favor?, ¿o decirme dónde me equivoqué?, porque no consigo ver mi error en mis cálculos.

Gracias de nuevo
Saludos.

[Ras]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Cierto, disculpa, me pase de simplón.
El momento de mayor cercanía sera cuando se encuentren, por lo tanto T sera el mismo para los dos. También estarán en el mismo punto en el eje X, por lo tanto el incremento de uno y de otro se podrá relacionar.
En el momento del encuentro (T), uno habrá recorrido X y el otro 100-X, siempre en el eje x claro.

Edito:Me he entretenido calculándolo y me da 28.5m en T=2.2s

[Fras]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Hola Ras, gracias por responder.

Si dibujamos la gráfica del movimiento de cada partícula, se intuye que la distancia mínima entre ellas se dará a mitad de recorrido, en la parte mas elevada de cada trayectoria, o lo que es lo mismo, cuando se cruzan. Entiendo que simplemente deberías calcular la distancia máxima en y de cada una de las partículas. La diferencia entre ellas te dará la solución

Pero los tiempos de vuelo son distintos para cada partícula, entonces cada una estará en su punto máximo en diferentes tiempos...
Para el proyectil A, su tiempo de vuelo es 4,51s, mientras que para B es de 2,5s.

[Ras]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Si dibujamos la gráfica del movimiento de cada partícula, se intuye que la distancia mínima entre ellas se dará a mitad de recorrido, en la parte mas elevada de cada trayectoria, o lo que es lo mismo, cuando se cruzan. Entiendo que simplemente deberías calcular la distancia máxima en y de cada una de las partículas. La diferencia entre ellas te dará la solución

[Fras]

Hola, nuevamente necesito ayuda...

Tengo un problema que me está complicando, que dice así:



Lo que he hecho es lo siguiente:

Como ambos tienen el mismo alcance horizontal, y sus ángulos de lanzamiento son complementarios, entonces sus velocidades de lanzamiento deben ser iguales.

${V}_{0A }={V}_{0 B}={V}_{0 }$

Descomponiendo las velocidades de A y B en sus componentes rectangulares (tomando en cuenta +$\hat{\jmath}$ hacia arriba y +$\hat{\imath}$ hacia la derecha):

${\vec{V} }_{A } = ({V}_{ o} cos61)\hat{\imath} + ({V}_{0 } sen61-gt)\hat{\jmath} <br />$

${\vec{V} }_{B } = (-{V}_{ o} cos29)\hat{\imath} + ({V}_{0 } sen29-gt)\hat{\jmath} <br />$

Para hallar la distancia mínima, debo hallar la velocidad relativa:

${\vec{V} }_{AB } = [{V}_{ 0} (cos61+cos29)]\hat{\imath} + [{V}_{ 0} (sen61-sen29)]\hat{\jmath} <br />$

Usando un poco de trigonometría me queda así:

${\vec{V} }_{AB } = [{V}_{0 } (2sen45sen16)]\hat{\imath} + [{V}_{0 } (2sen16cos45)]\hat{\jmath} <br />$

${\vec{V} }_{AB } = (\frac{7\sqrt{2}{V}_{ 0} }{25 } )\hat{\imath} + (\frac{7\sqrt{2}{V}_{ 0} }{25 } )\hat{\jmath} <br />$

Luego, para hallar ${V}_{0 }$, utilizo que su alcance horizontal es 100m:

$\frac{2{{V}_{0 } }^{2 }sen61cos29 }{g } =100<br />$

Haciendo la parte de trigonometría:

$2sen61cos29=sen90+sen32=1+sen[2(16)]=1+2sen16cos16=1+2(\frac{7}{ 25} )(\frac{24}{ 25} )<br />$

Reemplazando en la ecuación anterior me queda:

${{V}_{ 0} }^{2 } (1.5376)=100(9.8)<br />$

De donde:

${V}_{0 } \approx 25.25m/s<br />$

Luego:

${\vec{V}}_{AB } =(7.07\sqrt{2}) \hat{\imath} +(7.07\sqrt{2})\hat{\jmath} <br />$

Y esto es aproximadamente:

${\vec{V} }_{AB } = 10\hat{\imath} +10\hat{\jmath} <br />$

Bueno, y según esto tendría que la distancia mínima sería $50\sqrt{2}m$, muy lejos de lo que debería salir (28m), entonces: ¿en dónde me equivoqué?

Gracias.