Secundaria Hallar distancia mínima entre proyectiles

[Fras]

Hola, nuevamente necesito ayuda...

Tengo un problema que me está complicando, que dice así:



Lo que he hecho es lo siguiente:

Como ambos tienen el mismo alcance horizontal, y sus ángulos de lanzamiento son complementarios, entonces sus velocidades de lanzamiento deben ser iguales.

${V}_{0A }={V}_{0 B}={V}_{0 }$

Descomponiendo las velocidades de A y B en sus componentes rectangulares (tomando en cuenta +$\hat{\jmath}$ hacia arriba y +$\hat{\imath}$ hacia la derecha):

${\vec{V} }_{A } = ({V}_{ o} cos61)\hat{\imath} + ({V}_{0 } sen61-gt)\hat{\jmath} <br />$

${\vec{V} }_{B } = (-{V}_{ o} cos29)\hat{\imath} + ({V}_{0 } sen29-gt)\hat{\jmath} <br />$

Para hallar la distancia mínima, debo hallar la velocidad relativa:

${\vec{V} }_{AB } = [{V}_{ 0} (cos61+cos29)]\hat{\imath} + [{V}_{ 0} (sen61-sen29)]\hat{\jmath} <br />$

Usando un poco de trigonometría me queda así:

${\vec{V} }_{AB } = [{V}_{0 } (2sen45sen16)]\hat{\imath} + [{V}_{0 } (2sen16cos45)]\hat{\jmath} <br />$

${\vec{V} }_{AB } = (\frac{7\sqrt{2}{V}_{ 0} }{25 } )\hat{\imath} + (\frac{7\sqrt{2}{V}_{ 0} }{25 } )\hat{\jmath} <br />$

Luego, para hallar ${V}_{0 }$, utilizo que su alcance horizontal es 100m:

$\frac{2{{V}_{0 } }^{2 }sen61cos29 }{g } =100<br />$

Haciendo la parte de trigonometría:

$2sen61cos29=sen90+sen32=1+sen[2(16)]=1+2sen16cos16=1+2(\frac{7}{ 25} )(\frac{24}{ 25} )<br />$

Reemplazando en la ecuación anterior me queda:

${{V}_{ 0} }^{2 } (1.5376)=100(9.8)<br />$

De donde:

${V}_{0 } \approx 25.25m/s<br />$

Luego:

${\vec{V}}_{AB } =(7.07\sqrt{2}) \hat{\imath} +(7.07\sqrt{2})\hat{\jmath} <br />$

Y esto es aproximadamente:

${\vec{V} }_{AB } = 10\hat{\imath} +10\hat{\jmath} <br />$

Bueno, y según esto tendría que la distancia mínima sería $50\sqrt{2}m$, muy lejos de lo que debería salir (28m), entonces: ¿en dónde me equivoqué?

Gracias.

[Ras]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Si dibujamos la gráfica del movimiento de cada partícula, se intuye que la distancia mínima entre ellas se dará a mitad de recorrido, en la parte mas elevada de cada trayectoria, o lo que es lo mismo, cuando se cruzan. Entiendo que simplemente deberías calcular la distancia máxima en y de cada una de las partículas. La diferencia entre ellas te dará la solución

[Fras]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Hola Ras, gracias por responder.

Si dibujamos la gráfica del movimiento de cada partícula, se intuye que la distancia mínima entre ellas se dará a mitad de recorrido, en la parte mas elevada de cada trayectoria, o lo que es lo mismo, cuando se cruzan. Entiendo que simplemente deberías calcular la distancia máxima en y de cada una de las partículas. La diferencia entre ellas te dará la solución

Pero los tiempos de vuelo son distintos para cada partícula, entonces cada una estará en su punto máximo en diferentes tiempos...
Para el proyectil A, su tiempo de vuelo es 4,51s, mientras que para B es de 2,5s.

[Ras]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Cierto, disculpa, me pase de simplón.
El momento de mayor cercanía sera cuando se encuentren, por lo tanto T sera el mismo para los dos. También estarán en el mismo punto en el eje X, por lo tanto el incremento de uno y de otro se podrá relacionar.
En el momento del encuentro (T), uno habrá recorrido X y el otro 100-X, siempre en el eje x claro.

Edito:Me he entretenido calculándolo y me da 28.5m en T=2.2s

[Fras]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Gracias Ras por tu respuesta.

Edito:Me he entretenido calculándolo y me da 28.5m en T=2.2s

¿Me podrías indicar cómo llegaste a este resultado por favor?, ¿o decirme dónde me equivoqué?, porque no consigo ver mi error en mis cálculos.

Gracias de nuevo
Saludos.

[GNzcuber]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Hola,

Yo lo haría por la distancia relativa. Si llamamos $v_A$ a la velocidad de la partícula en $A$ y $v_B$ a la velocidad de la partícula en $B$. Y tomando como sentido positivo de las ordenadas hacia arriba y sentido positivo de las abscisas de $A$ a $B$, la posición de $B$ respecto a $A$ será:

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \boldsymbol{r}_{B/A} = \boldsymbol{r}_B-\boldsymbol{r_A} \\<br /> \boldsymbol{r}_B = \left[x_B-v_B\cos(\beta)t\right]\boldsymbol{i}+\left[v_B\sin(\beta)-\frac{1}{2}gt^2\right]\boldsymbol{j} \\<br /> \boldsymbol{r}_A = \left[v_A\cos(\alpha)t\right]\boldsymbol{i}+\left[v_A\sin(\alpha)-\frac{1}{2}gt^2\right]\boldsymbol{j} \\<br /> d = ||\boldsymbol{r}_{B/A}|| = \sqrt{(\boldsymbol{r}_{Bx}-\boldsymbol{r}_{Ax})^2 +({\boldsymbol{r}_{By}-\boldsymbol{r}_{Ay})^2}<br /> \end{aligned}$$

$$\displaystyle \boldsymbol{r}_{B/A} = \left[x_B-\big(v_B\cos(\beta)+v_A\cos(\alpha)\big)t\right]\boldsymbol{i} + \left[\big(v_B\sin(\beta)-v_A\sin(\alpha)\big)t\right]\boldsymbol{j}$$

$$\displaystyle d = \sqrt{\left[x_B-\big(v_B\cos(\beta)-v_A\cos(\alpha)\big)t\right]^2+\left[v_B\sin(\beta)-v_A\sin(\alpha)\right]^2t^2}$$

A partir de ahora es un problema de optimización, donde tienes que encontrar $t$ que haga mínimo a $d$, luego sustituyes dicho valor en la función y obtendrás la mínima distancia.

Pruébalo y dime qué te sale.

¡Saludos!

P.D.: Me he olvidado de decirte que por simplificación he considerado $x_A=y_A=y_B=0$, y $x_B$ es la posición inicial de $B$ respecto a $A$.

Y para calcular las velocidades iniciales tienes que en ambos casos las partículas recorren la distancia entre $A$ y $B$, si llamamos $s$ a dicha distancia tenemos:

$$\displaystyle \left\{\begin{aligned}<br /> s = v_i \cos(\theta_i) t \\<br /> 0 = v_i \sin(\theta_i) t -\frac{1}{2}gt^2<br /> \end{aligned}\right.<br />$$

Resuelves el sistema de ecuaciones para cada una de las partículas y obtienes las velocidades.

[angel relativamente]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

¡Claro era un simple problema de optimización!

PD: Iba a corregirte porque te faltaba una raíz en esta expresión: $\sqrt{(\boldsymbol{r}_{Bx}-\boldsymbol{r}_{Ax})^2 +({\boldsymbol{r}_{By}-\boldsymbol{r}_{Ay})^2}$

Pero veo que te has dado cuenta antes

[GNzcuber]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

¡Claro era un simple problema de optimización!

PD: Iba a corregirte porque te faltaba una raíz en esta expresión: $\sqrt{(\boldsymbol{r}_{Bx}-\boldsymbol{r}_{Ax})^2 +({\boldsymbol{r}_{By}-\boldsymbol{r}_{Ay})^2}$

Pero veo que te has dado cuenta antes

Jejeje, de hecho no me faltaba, he puesto \sqtr en vez de \sqrt y no encontraba el error. .

¡Saludos!

[angel relativamente]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Por cierto, creo que te has comido un par de tiempos:

$$\dst\boldsymbol{r}_B = \left[x_B-v_B\cos(\beta)t\right]\boldsymbol{i}+\left[v_B\sin(\beta)-\frac{1}{2}gt^2\right]\boldsymbol{j}$$

$$\dst \boldsymbol{r}_A = \left[v_A\cos(\alpha)t\right]\boldsymbol{i}+\left[v_A\sin(\alpha)-\frac{1}{2}gt^2\right]\boldsymbol{j}$$

¿No sería?:

$$v_B\cos(\beta)t\right]\boldsymbol{i}+\left[v_B\sin(\beta)t-\frac{1}{2}gt^2\right]\boldsymbol{j}$$

$$\dst \boldsymbol{r}_A = \left[v_A\cos(\alpha)t\right]\boldsymbol{i}+\left[v_A\sin(\alpha)t-\frac{1}{2}gt^2\right]\boldsymbol{j}$$

¡Un saludo!

[Al2000]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Mientras ustedes escribían sus mensajes yo lo estaba haciendo por el mismo método. Sólo para confirmar, pongo mis resultados. Sin ninguna simplificación, el tiempo en el cual las partículas están a la distancia mínima vale

$$t_m = - \frac {(x_{01}-x_{02})(v_{01} \cos \theta_1 - v_{02} \cos \theta_2) + (y_{01} - y_{02})(v_{01} \, \mathrm {sen} \, \theta_1 - v_{02} \, \mathrm {sen} \, \theta_2)}{(v_{01} \cos \theta_1 - v_{02} \cos \theta_2)^2 + (v_{01} \, \mathrm {sen} \, \theta_1 - v_{02} \, \mathrm {sen} \, \theta_2)^2}$$

y la distancia mínima es

$$d_m = \sqrt {[x_{01}-x_{02} + (v_{01} \cos \theta_1 - v_{02} \cos \theta_2) t_m]^2 + [y_{01} - y_{02} + (v_{01} \, \mathrm {sen} \, \theta_1 - v_{02} \, \mathrm {sen} \, \theta_2) t_m}]^2$$

Como lo apuntó Fras en su primer mensaje, las velocidades iniciales son iguales y se pueden calcular a partir del alcance horizontal máximo:

$$v_{01} = v_{02} = \sqrt {\frac {(x_{02}-x_{01}) g}{\mathrm {sen} \, (2 \theta_1)}} = 34.0056\,\mathrm{m/s}$$

Al sustituir esta velocidad inicial y los otros datos, obtengo los valores $t_m = 1.9988\,\mathrm{s}$ y $d_m = 27.5637\,\mathrm{m}$

Saludos,

Al

[Fras]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Muchas gracias a todos por su ayuda, ahora mismo me pongo en ello y les cuento qué tal.

Saludos.

EDITO: Creo que encontré un problema con mi resolución que puse al principio del hilo, un problema con la trigonometría, ahora lo he resuelto y me da 28,002m.
Igual lo intentaré con los métodos que me han propuesto.
Gracias de nuevo.

[Ras]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Gracias Ras por tu respuesta.



¿Me podrías indicar cómo llegaste a este resultado por favor?, ¿o decirme dónde me equivoqué?, porque no consigo ver mi error en mis cálculos.

Gracias de nuevo
Saludos.

Creo que esta suficientemente resuelto, pero ya que preguntaste, yo lo hice de este modo.

Calcule $v_{0}$ como ALL2000.
Calculé $v_{Ay}, v_{Ax,} v_{By}, v_{Bx}$ como ya sabes con trigonometría.

Hay un instante t´donde se cruzan los proyectiles, y es cuando A ha recorrido x, y B ha recorrido 100-x

Como el alcance se obtiene multiplicando la velocidad en el eje x por el tiempo, obtuve la incógnita X (nada que ver con el eje x) por medio de este sistema:
$\Delta x_{A} = v_{XA}t$
$\Delta x_{B} = v_{XB}t$

Sabiendo que $\Delta x_{A}=X$ y $\Delta x_{B}=100-X$ despejando t e igualando podemos sacar X.

Una vez tengamos la distancia recorrida en x por cada proyectil, podemos sacar el instante t en que se cruzan, resolviendo en el sistema anterior.

Con el momento del encuentro t´puedes sacar el incremento en la altura (eje y) de cada una en ese momento:
$\Delta y_{A} = v_{yA} t+\frac12gt^2$
$\Delta y_{B} = v_{yB} t+\frac12gt^2$

Teniendo las dos alturas, le restas la menor a la mayor y fiesta

[Fras]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

Esta es mi resolución, corregida:

Como ambos tienen el mismo alcance horizontal, y sus ángulos de lanzamiento son complementarios, entonces sus velocidades de lanzamiento deben ser iguales.

${V}_{0A }={V}_{0 B}={V}_{0 }$

Descomponiendo las velocidades de A y B en sus componentes rectangulares (tomando en cuenta +$\hat{\jmath}$ hacia arriba y +$\hat{\imath}$ hacia la derecha):

${\vec{V} }_{A } = ({V}_{ o} cos61)\hat{\imath} + ({V}_{0 } sen61-gt)\hat{\jmath} <br />$

${\vec{V} }_{B } = (-{V}_{ o} cos29)\hat{\imath} + ({V}_{0 } sen29-gt)\hat{\jmath} <br />$

Para hallar la distancia mínima, debo hallar la velocidad relativa:

${\vec{V} }_{AB } = [{V}_{ 0} (cos61+cos29)]\hat{\imath} + [{V}_{ 0} (sen61-sen29)]\hat{\jmath} <br />$

Usando un poco de trigonometría me queda así:

${\vec{V} }_{AB } = [{V}_{0 } (2cos45cos16)]\hat{\imath} + [{V}_{0 } (2sen16cos45)]\hat{\jmath} <br />$

${\vec{V} }_{AB } = (\frac{24\sqrt{2}{V}_{ 0} }{25 } )\hat{\imath} + (\frac{7\sqrt{2}{V}_{ 0} }{25 } )\hat{\jmath} <br />$

Esto quiere decir que por cada 24m que $A$ recorra respecto a $B$ en el eje $x$, recorrerá 7m en el eje $y$, luego no es necesario hallar ${V}_{ 0}$.

Aplicando relaciones métricas en el triángulo rectángulo, tenemos que el producto entre las distancias recorridas en $x$ e $y$, es igual al producto entre la distancia total (o sea $\sqrt{{(\Delta x)}^{ 2} +{(\Delta y)}^{2 } }$) por la distancia mínima (${d}_{min }$).

Es decir:

$(\Delta x)(\Delta y)=[\sqrt{{(\Delta x)}^{ 2} +{(\Delta y)}^{2 } }]({d}_{ min} )<br />$

Por dato del problema: $\Delta x=100m$, por lo tanto $\Delta y=29.167m$

Reemplazando en la ecuación anterior:

$(100)(29.167)=(104.167)({d}_{ min} )<br />$
${d}_{ min} =28.00023m\approx 28m$

[Al2000]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

¿Relaciones métricas? ¿Triángulo rectángulo?

[GNzcuber]

Re: Hallar distancia mínima entre proyectiles

¿Relaciones métricas? ¿Triángulo rectángulo?

Yo estoy igual, esperaba que en tu post lo explicaras .

Vamos por partes, como Jack el destripador.

Lo primero es el razonamiento de Ras, me gustaría que lo expliques mejor porque no es correcto suponer por las buenas que la distancia mínima será justamente cuando uno esté por encima de otro, no tiene por qué.

Fras, desarrollaré algo porque no sabía que habías hecho, y lo haré de dos formas por si no conocías la segunda:

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \cos(61) + \cos(29) &= \cos(45+16) + \cos(45-16) \\ <br /> &= [\cos(45)\cos(16)-\sin(45)\sin(16)]+[\cos(45)\cos(16)+\sin(45)\sin(16)] \\<br /> &= 2\cos(45)\cos(16) \\<br /> \cos(61) + \cos(29) &= 2\cos\left(\frac{61+29}{2}\right)\cos\left(\frac{61-29}{2}\right) \\<br /> &= 2\cos(45)\cos(16)<br /> \end{aligned}$$

$$\displaystyle \begin{aligned}<br /> \sin(61)-\sin(29) &= \sin(45+16) - \sin(45-16) \\<br /> &= [\sin(45)\cos(16)+\cos(45)\sin(16)]-[\sin(45)\cos(16)-\cos(45)\sin(16)] \\<br /> &= 2\cos(45)\sin(16) \\<br /> \sin(61)-\sin(29) &= 2\cos\left(\frac{61+29}{2}\right)\sin\left(\frac{61-29}{2}\right) \\<br /> &= 2\cos(45)\sin(16)<br /> \end{aligned}$$

Luego, me gustaría saber de dónde has sacado la información para concluir tu procedimiento. Me refiero a que el producto de la distancia máxima por la mínima es igual al producto de $\Delta x$ por $\Delta y$. Usando velocidades relativas.

¡Saludos!